“电磁场理论”课程教学中的抽象概念形象化

赵 瑾， 孙玉发， 吴 萍

(安徽大学 电子信息技术学院， 安徽 合肥 2300391)

“电磁场理论”课程教学中的抽象概念形象化

赵 瑾， 孙玉发， 吴 萍

(安徽大学 电子信息技术学院， 安徽 合肥 2300391)

本文探讨了将微分几何引入“电磁场理论”本科课程教学的途径和意义。在教学主线中引入几何概念，实现抽象概念形象化，优化教学内容层次，使学生建立更清楚的物理概念，从而激发学生的学习兴趣，为“电磁场理论”课程本科教学提供新的教学思路。

电磁场; 微分几何; 教学探索

0 引言

“电磁场理论”是高等工科电类专业技术基础课程，它以场理论分析为逻辑起点，以本科生为讲授对象，是集理论性与应用性为一体的课程[1]。在本科教学阶段，该课程是师生公认难教和难学的课程。近年来随着课程体系调整，“电磁场理论”课程的总课时被压缩。以我校为例，以前“电磁场理论”课程为72课时，现在根据专业的不同，分别调整为64课时、56课时和36课时。如何有效地在较少的课时内让学生掌握基本电磁理论，是目前该课程教学中的一个难点。为了适应新形势下的电磁场教学，我们提出了“抽象概念形象化”、“ 一般推导简易化”、“定理证明附录化”、“复杂演算电脑化”等教学措施。在该课程教学中引入微分几何概念是我们实现“抽象概念形象化”的一种新的教学尝试。“抽象概念形象化”使学生建立更清楚的物理概念，充分揭示电磁现象的物理本质，提高学生的学习兴趣。

1 教学内容选择

时空的基本几何特性在电磁理论中起着核心作用，19世纪Cartan在微分几何领域创立了微分形式。作为几何学概念的微分形式被引入物理学，用微分形式描述电磁场既有一定的普遍性又有矢量分析简单、概念明确等特点[2-4]。应用微分形式既可反映电磁量的几何特性，又能反映标量、矢量的特性，从而更贴切地描述电磁场(切空间中的标量φ，矢量D，B，J。余切空间标量ρ，矢量E，H，A等)。在三维空间中微分形式有四种不同的量可用，这就允许通量密度和场强在数学表达式和图像上有明显的区别，有利于建立更清晰的概念。矢量场的物理解释主要依靠作用其上的微分和积分算子，而微分形式表示法可以直接根据微分形式的种类来反映它的特性。微分几何概念的引入为电磁学的数学特性和直观图像提供精确的解释，实现电磁方程的几何化。微分几何虽然能实现“抽象概念形象化”，但其中涉及到复杂的数学概念，在引入本科生的教学过程中应对教学内容和方式进行合理的设计。

综合考虑教学时间以及学生的接受能力，我们在课程中回避微分流形、切空间和余切空间等深奥的数学概念，而是选取了以下教学内容:

(1) 直接从Maxwell方程出发引入微分形式，并与矢量分析方法相结合，将抽象的数学概念转化成几何图形。表1给出了电磁场基本物理量的矢量形式与微分形式对应关系。图1、图2、图3分别给出了三种微分形式的几何图形。图4描述了1-形式在空间中的线积分，即矢量场中E，H，A线积分的几何图形。

表1 电磁场基本物理量的矢量形式与微分形式对照表

基本矢量名称微分形式基本矢量名称微分形式E电场强度E1-形式ρ电荷密度ρ3-形式H磁场强度H1-形式J电流密度J2-形式B磁通密度B2-形式ϕ电位ϕ0-形式D电通密度D2-形式A磁位A1-形式

图1 1-形式在空间中形成的曲面 图2 2-形式在空间中形成的管道

(2)在教学中直观自然地引入微分形式的概念；将矢量分析中的数乘、点乘、叉乘运算和梯度、旋度、散度运算用微分形式中的外积和外微分运算统一起来。图5给出了矢量运算中的梯度、旋度、散度运算与外微分运算的对应关系。其中Ω0，Ω1，Ω2，Ω3分别表示0-形式，1-形式，2-形式，3-形式。d表示外微分运算。

图3 3-形式在空间中形成的体积元 图4 1-形式在空间中的线积分

图5 矢量微分运算与外微分运算

(3)从微分形式出发，为法拉第定律、安培定律、高斯定律等积分定律建立明确的图形解释。将微分形式与一般教材中矢量分析方法结合，使电磁场课程的讲述更生动，流畅。图6，图7分别给出了高斯定理，安培环路定律与法拉第电磁感应定律的图形解释。

图6 高斯定律 图 7安培环路定律与法拉第电磁感应定律

(4)麦克斯韦方程组的外微分形式

2 教学流程设计

教学实践中，我们力图做到将微分几何的内容与授课内容有机结合，不增加学生负担，不过多占用教学时间。最大特点是将微分几何的知识细化成许多小的知识点。每个知识点只需要 5到8 分钟的介绍性讲述，作为书本内容的有效扩展，让学生更深刻地理解电磁场基本原理。细化过程如下表所示。

3 结语

通过对“电磁场理论”课程几年的教学体会, 我们认为：要想提高该课程理论教学质量和效果, 重要的是激发学生的学习兴趣，提高课堂教学效率，最终实现学生对基本知识的掌控[5]。

(赵 瑾等文)

绕开复杂的微分几何内容将微分形式直接引入本科生教学中，在授课过程中紧密围绕课程主线，对教学内容重新组织，合理安排微分几何内容讲解。将抽象的数学概念转化成几何图形，通过基于微分形式的电磁场描述体系使学生建立更清楚的物理概念，充分揭示电磁现象的物理本质。教学实践的结果表明学生普遍对“抽象概念形象化”的教学方式感兴趣，学生积极性提高，在不增加学生负担的情况下，取得了良好教学效果。

[1] 教育部高等学校电子信息科学与工程类专业教学指导分委员会．高等学校电子信息科学与工程类本科指导性专业规范(试行)[M]．北京：高等教育出版社，2010．

[2] G. A. Deschamps, “Electromagnetics and differential forms,” [J] Proc.IEEE, 1981. 69(6), 676-696

[3] K. F. Warnick and D. V. Arnold, “Differential forms in electromagnetic field theory,”[J] in Antennas and Propagation Symp. Proc., 1996.

[4] 谢正，马玉杰，叶征，离散外微分与计算电磁学 [M]，2010,2(40) 127-136

[5] 卢斌先，王玲玲，宋金鹏，电磁场与微波技术系列课程实践教学探索，南京: 电气电子教学学报，2015， 37(1):57-58

The Abstract Concept Pictorial in Teaching of Electromagnetic Field Theory Course

ZHAO Jin， SUN Yu-fa， WU Ping

(SchoolofElectronicsandInformationEngineering,AHU，Hefei230039,China)

The research and exploration have been put forward for teaching of Electromagnetic Field Theory course with differential geometry in this paper, which include The determination of the teaching main line，the optimization of the teaching content arrangement. Graphical representation of filed quantities and operators is used to help students comprehend and grasp laws in electromagnetic field. We present the benefits of differential forms in teaching electromagnetic especially. This paper gives some creatute thoughts on teaching so as to improve the teaching quality of electromagnetic theory course.

electromagnetic field; differential geometry; teaching exploration

2016-01-04;

2016-05-03

安徽省振兴计划地方高水平大学建设电子信息工程重点建设专业项目(2013gx001)

赵 瑾( 1975-) ，女，硕士，讲师，主要从事电磁场理论及其数值分析方面的教学和研究工作, E-mail: zhaojin@ahu. edu.cn

G642

A

1008-0686(2017)01-0020-03