具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次模型修正问题的解

罗海林, 尹 凤, 黄光鑫

(1.成都理工大学 管理科学学院，成都 610059；2.四川理工学院 理学院，四川 自贡 643000)

具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次模型修正问题的解

罗海林1, 尹 凤2, 黄光鑫1

(1.成都理工大学 管理科学学院，成都 610059；2.四川理工学院 理学院，四川 自贡 643000)

二次模型修正问题来自于振动工程，本文旨在解决具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次模型修正问题。利用矩阵分块和矩阵列向量的方法，分别给出了实二次模型修正问题的可解条件和解的参数表达式，并给出了该问题的一个求解算法，最后给出了一个数值实例。数值实例说明所提出的方法的有效性，即利用测量到的部分谱信息修正一个实二次模型，使未被观测到的谱信息保持不变。

二次模型；模型修正；无溢出现象

本文研究具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次有限元模型修正问题。二次有限元模型修正问题常出现在振动工程中，该问题修正如下振动结构形式的有限元生成模型

(1)

其中：M0,C0和K0分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，这些矩阵满足如下二次束

Q0(λ)=λ2M0+λC0+K0

(2)

其中：特征值λ与自然频率相关，特征向量是系统(1)的模态振型。通常情况下，M0,C0和K0是实对称的。系数矩阵M0,C0和K0满足线性代数系统

M0XΛ2+C0XΛ+K0X=0

(3)

数学上，具有不完全测量数据和无溢出现象的实二次有限元模型修正问题可以描述如下。

问题Ⅰ(实二次模型修正问题) 给定原始二次模型(M0,C0,K0)和少量特征对(Λ1,X1)，在这里Λ1∈Rp×p和X1∈Rn×p,p≼n且p为偶数。设新测得的特征对为(Σ,Y),在这里Σ∈Rp×p和Y∈Rp×p。修正二次模型(M0,C0,K0)到一个新的二次模型(M,C,K),使得

(2)(M,C,K)中其余的2n-p个特征对与原始模型(M0,C0,K0)中的特征对保持一致。

在问题Ⅰ中，(1)为部分测得的特征对数据，(2)为无溢出条件。修正后模型(M,C,K)满足(1)和(2)两个条件，故称问题Ⅰ为具有不完全测量谱数据和无溢出现象的实二次模型修正问题。

在过去这些年里有大量关于无溢出的二次模型修正问题的成果。在文献[1]中，采用了一种全新的方法——近似逼近来求解二次模型修正问题；文献[2]用了迭代算法解决无阻尼系统下的二次模型修正问题；文献[3]用到迭代算法解决了二次模型修正问题；文献[4]求解了模型λ2M0+K0中的对称矩阵K的参数表达式，并且满足无溢出条件；在文献[5]中，发现了一个低阶二次模型修正问题的算法，仅仅测得特征向量数据，使修正后的模型保持对称性和无溢出条件；文献[6]提出了无溢出现象一套完整理论；文献[7]给出了一种直接求解有限元模型修正问题的新方法。通过构造低阶二次数，使得修正后的模型保持无溢出与M和K正定(或半正定)。文献[8]采用最佳逼近方法求解无阻尼系统下的二次模型修正问题，使得修正后的模型保持物理连接性和满足无溢出条件。文献[9]研究的是阻尼陀螺系统下的二次模型修正问题，给定矩阵M,C和K都是对称的(其中M和K是正定矩阵)，矩阵G和N是反对称的，使得修正后的模型保持原有结构(即对称性或反对称性和正定性)。文献[10]考虑的是质量矩阵M0确定和无阻尼的二次模型修正问题，采用矩阵线性变分不等式的方法修正刚度矩阵，使得修正后的刚度矩阵K改变最少，并且保持对称性、正定性和稀疏性。

1 问题Ⅰ的可解条件

在这一节中，我们首先给出了2个引理；然后，我们给出了问题Ⅰ的可解条件。

引理1[11]给定测量特征对(Σ,Y)∈Rp×p，无溢出的二次有限元模型更新问题可解，当且仅当存在一个可逆矩阵T∈Rp×p和矩阵DΣ，使得

Y=X1T

(4)

和

(5)

引理2[11]如果(M,C,K)是无溢出的二次有限元模型修正问题的解，那么

(6)

(7)

(8)

其中Φ=ΦT∈Rp×p满足西尔维斯特方程

=(Λ1-Θ)TM1+M1(Λ1-Θ)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

使得引理1成立。

证明 设Y=Yij(i=1,2,3,4;j=1,2)。将X1和T分块为

(14)

因为Y12,Y21,Y31,Y32被测得，由(14)式有

Y12=X11T12+X12T22

Y21=X21T11+X22T21

Y31=X31T11+X32T21

Y32=X31T12+X32T22

由以上4个等式得

(15)

ATτ=Yτ

(16)

因此，解方程(16)也等于求解方程(15)，那么就有

(17)

(18)

由(18)式得

(19)

由(19)得

(20)

又因为

(21)

由(20)和(21)我们得到

(22)

又因为引理1在文献[11]中已证得，所以我们得到存在可逆矩阵T使得引理1成立。证毕。

2 问题Ⅰ的解

在这一节中，我们首先给出vec(Φ)的参数解；然后,给出vec(M)、vec(C)和vec(K)的参数解的表达式；最后给出了问题Ⅰ的一种求解算法。

vec(Φ)=[(Ip⊗B)+(B⊗Ip)]-1vec(D)

(23)

(24)

BΦ+ΦBT=D

(25)

其中：B∈Rp×p,D∈Rp×p且D=DT。

由克罗内克积得

vec(BΦ)=(Ip⊗B)vec(Φ)

(26)

vec(ΦBT)=(B⊗Ip)vec(Φ)

(27)

由(25)式得

vec(BΦ)+vec(ΦBT)=vec(D)

(28)

结合(26)、(27)和(28)式有

vec(D)=(Ip⊗B)vec(Φ)+(B⊗Ip)vec(Φ)

当Ip⊗B+B⊗Ip可逆时,那么(23)式成立。

下面，我们利用矩阵列向量的方法，将引理2列向量化得出vec(M)，vec(C)和vec(K)的解。

定理3 如果(M,C,K)是问题Ⅰ的解,那么

(29)

(30)

(31)

其中vec(Φ)由定理1确定。

下面我们将找出一种算法去求解问题Ⅰ。

算法1 问题Ⅰ的求解算法

(1)输入：①对称有限元模型(M0,C0,K0)； ②被测量的实验数据Σ∈Rp×p和Y∈Rn×p；③相应的特征对Λ1∈Rp×p和X1∈Rn×p。

(2)计算过程：

①如果定理1成立,那么我们由(10)、(11)、(12)和(13)式计算可逆矩阵T11,T12,T21,T22；否则问题Ⅰ不可解，运行结束。

③将vec(Φ)的解代入(29)、(30)和(31)式，求得vec(M)、vec(C)和vec(K)的解，运行结束。

(3)输出：无解或向量vec(M)、vec(C)和vec(K)的解。

3 数值实例

已知模型Q0(λ)=λ2M0+λC0+K0。其中：矩阵M0,C0,K0(M0和K0正定)分别为

因为M0正定，二次模型Q0(λ)有10个特征值。首先，我们要计算10个特征对(Λc,Xc)。计算得到需要更新部分的特征对为

(Λ1,X1)是由Q0(λ)的10个特征对中选出的2个。被测量的频率和阵型的对应矩阵表示为

由算法1求得矩阵T11，T12，T21，T22和列向量vec(Φ)

T11=-0.73543，T12=-0.56673，

T21=-0.16357，T22=-0.53524

验证：计算(Σ,Y)和(Λ,X)的相对残差为

=1.22×10-13

和

=5.964×10-14

4 总 结

本文研究了具有不完全测量数据和无溢出的实二次模型修正问题，分别给出了该问题的可解条件和参数表达式。

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Solution to real quadratic model updating problems with incompletely measured data and no spillover

LUO Hailin1, YIN Feng2, HUANG Guangxin1

1.CollegeofManagementScience,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China; 2.SchoolofScience,SichuanUniversityofScienceandTechnology,Zigong643000,China

This paper aims to solve the real quadratic model updating problems with incompletely measured data and no spillover which usually appears in vibration engineering. By using the method of partitioned matrix and the columns of the matrix, the solvable conditions and parameter expression of the solution for the real quadratic model updating problem are proposed and an algorithm is constructed for the solutions of the problem. Finally a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method. It shows that the real quadratic model updating problems can be updated by part of the spectral information measured, at the same time, remains the rest spectrum information unchanged.

real quadratic model; model updating; no spillover

10.3969/j.issn.1671-9727.2017.03.10

1671-9727(2017)03-0368-05

2016-06-06。

国家自然科学基金项目(11501392); 四川省科技厅应用基础项目(2016JY0249); 四川省高校重点实验室开放基金项目(2015QZJ02)。

罗海林(1989-)，男，硕士研究生，研究方向：计算数学, E-mail:18781946224@163.com。

O321

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