平行四边形易错题解析

周杰

平行四边形易错题解析

周杰

平行四边形是中心对称图形中最基本的几何图形，也是“空间与几何”领域的研究对象之一.下面，我们总结分析同学们在学习这部分知识时易出现的几类错误，希望能帮助大家走出误区.

一、基础不牢

例1已知四边形ABCD，如图1，AD∥BC，试着再添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形.

图1

【错解】∠3=∠4或AB=CD.

【剖析】由题意可知，四边形已经有一组对边平行，所以只要这组对边相等或另一组对边平行即可.而错解中由∠3=∠4推出的还是已知的AD∥BC，所以添加的这个条件是无效的.相反，添加∠1=∠2是可行的，因为由∠1=∠2可推出AB∥CD，此时利用两组对边分别平行的判定定理即可.错解中的AB=CD也不行，等腰梯形就是一个反例.

【正解】∠1=∠2或AB∥CD等.

【点评】这道题实际考查同学们对平行线判定的掌握情况，所以大家不仅要掌握好平行四边形的判定定理，还要对之前所学的平行线的判定方法了如指掌，这样，才能百战百胜.

二、理解不深

例2已知四边形ABCD，有下列四个条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB= CD，以其中的两个条件为一组，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）.

A.2组B.3组C.4组D.5组

【错解】A.

【剖析】所给的四个条件中，两个一组，共有六种情况：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中①④、②④是课本上的判定定理，同学们能够很快判断出来，但是对于①③（一组对边平行，一组对角相等）这样的命题，一些同学没有进行深入思考，所以会有所遗漏.实际上，这是一个真命题，很容易就能证明四边形ABCD是平行四边形.

【正解】B.

【点评】对于平行四边形的判定问题，我们能够运用的工具不仅有教材中相关的判定定理，还有一些相关的真命题（推论），把它们的条件稍作转化，就可以进行判定了.所以，在解题过程中，同学们要认真审题，对照判定定理仔细思考，方能得出正确结论.

三、考虑不周

例3平面直角坐标系内有A（-2，1）、B（-3，-1）、C（0，-1）三点，点D也在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是一个平行四边形，则点D的坐标为.

【错解】（1，1）.

【剖析】如图2，先把A、B、C三点的坐标在平面直角坐标系中标出来.

图2

因为以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是一个平行四边形，所以线段AB不是边就是对角线.过C、A、B三点分别作AB、BC、AC的平行线，然后利用平行四边形的定义，将符合条件的点找出，即D1、D2、D3.因此符合题意的D点共有三个.

【正解】（1，1）、（-5，1）、（-1，-3）.

【点评】已知三个点求第四个点，使它们构成平行四边形，解题的关键是根据平行四边形的定义（两组对边平行的四边形是平行四边形），正确画出所有符合条件的平行四边形.顺便提醒同学们，以后遇到没有给出图形的平行四边形问题时，要善于画出所有可能的情形，当题目中有不确定的已知条件时，要注意分类讨论，全面考虑，这样才不至于漏解.

四、说理不严

例4已知平行四边形ABCD，如图3所示，AC、BD交于点O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F.求证：OF=OE.

图3

【错解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别为E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∠AOE=∠COF（对顶角相等），∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE.

【剖析】错解中，因为题目中未明确指出点E、O、F在同一直线上，因此不能肯定∠AOE与∠COF是对顶角，若用到这个条件，必须先给出严格的证明.

【正解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠DAO=∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别为E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，∴ΔAOE≌ΔCOF（AAS），∴OF=OE.

【点评】运用平行四边形的性质证明三角形全等，当对应角的位置关系似乎是对顶角时，要根据所给出的条件认真识别，看它是否满足对顶角的条件，若不满足，则须另找判断三角形全等的条件，不可主观臆断.

江苏省扬州市田家炳实验中学）