扩散过程占位时的双Laplace变换

陈晨,陈晔,周林

(1.长沙理工大学 数学与统计学院,湖南 长沙,410114;2.湖南文理学院 数学与计算科学学院,湖南 常德,415000)

扩散过程占位时的双Laplace变换

陈晨1,陈晔2,周林1

(1.长沙理工大学 数学与统计学院,湖南 长沙,410114;2.湖南文理学院 数学与计算科学学院,湖南 常德,415000)

用文献提出的方法,探讨了一维时齐扩散过程,当c＜a＜b时,在离开区间(c,b)之前,分别在区间(c,a)或(a,b)的占位时与停时τc和τb的双Laplace变换。Laplace变换的表达式用扩散过程对应的微分方程的解表示。

时齐扩散过程;占位时;Laplace变换

占位时是随机过程在某个区域内逗留的时间总和,它是随机过程理论研究的热门问题之一,被广泛应用于风险理论和金融模型。近年来,国内外学者对随机过程占位时的研究取得了一些成果[1-10]。计算占位时的Laplace变换表达式主要有3种方法,经典的方法是在文献[2]和文献[3]中使用的求解过程对应的随机微分方程的方法。Cai等[4]用这种方法得到了带双边指数跳扩散过程占位时的Laplace变换。Landriault等[5]首次提出了逼近占位时的方法,结合游程理论,得到了谱负Lévy过程的占位时的Laplace变换。Li和Zhou[6]运用文献[5]的方法,研究了一维时齐扩散过程的联合占位时的Laplace变换。Li等[7]用同样的方法,求出了时齐扩散过程的占位时的双Laplace变换。为了克服随机过程的路径无变差性,Li和 Zhou[8]首次提出了利用泊松过程的性质,将占位时问题转化为某个随机事件的概率,并得到了谱负Lévy过程的联合占位时的Laplace 变换。Li等[9]用这种方法得到了谱负Lévy过程的双边折扣位势测度的表达式。Chen等[10]用同样的方法,求出了时齐扩散过程的联合占位时的Laplace变换。本文用文献[8]的方法,考虑一维时齐扩散过程。当c＜a＜b时,在离开区间(c,b)前,分别呆在区间(c,a)和(a,b)上的占位时与停时τc和τb的双Laplace变换,其结论用扩散过程对应的微分方程的解表示。

1 预备知识

2 主要结果

采用泊松方法研究一维时齐扩散过程X,当c＜a＜b时,在离开区间(c,b)之前,分别在区间(c,a)或(a,b)的占位时与停时τc和τb的双Laplace变换。在下文中始终定义λ−,λ+为2个非负整数。在本节的证明中,将用到扩散过程的位势测度理论,把它作为引理给出。由文献[10]中引理2.1,有以下结论。

[1]Borodin A N,Salminen P.Handbook of Brownian Motion-Facts and Formulae [M].2nd edition.Basel:Birkhäuser Verlag,2002.

[2]Pitman J,Yor M.Laplace transforms related to excursions of a one-dimensional diffusion [J].Bernoulli,1999,5(3):249-255.

[3]Pitman J,Yor M.Hitting,occupation and inverse local times of one-dimensional diffusions:martingale and excursion approaches [J].Bernoulli,2003,9(1):1-24.

[4]Cai N,Chen N,Wan X.Occupation times of jump-diffusion processes with double exponential jumps and the pricing of options [J].Mathematics of Operations Research,2010,35(4):412-437.

[5]Landriault D,Renaud J F,Zhou X.Occupation times of spectrally negative Lévy processes with applications [J].Stochastic Process Appl,2011,121(2):629-2 641.

[6]Li B,Zhou X.The joint Laplace transforms for diffusion occupation times [J].Adv Appl Probab,2013,45(1):1-19.

[7]Li Y Q,Wang S,Zhou X,Zhu N.Diffusion occupation time before exiting [J].Frontiers of Mathematics in China,2014,9(4):843-861.

[8]Li Y Q,Zhou X.On pre-exit joint occupation times for spectrally negative Lévy processes [J].Statistics and Probability Letters,2014,94(1):48-55.

[9]Li Y Q,Zhou X,Zhu N.Two-side discounted potential measure for spectrally Lévy process [J].Statistics and Probability Letters,2015,100(1):67-76.

[10]Chen Y,Yang X,Li Y Q et al.A joint Laplace transform for pre-exit diffusion of occupation times [J].Acta Math Sinica,English Series,2017,33(4):509-525.

(责任编校:刘刚毅)

Double Laplace transform of occupation times for diffusion process

Chen Chen1,Chen Ye2,Zhou Lin1
(1.College of Mathematics and Statistics,Changsha University of science and Technology,Changsha 410114,China;2.College of Mathematics and Computational Science,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

The approach of Li and Zhou (2014)is adopted to discuss double Laplace transform of one-dimensional time-homogeneous diffusion process.Whenc＜a＜b,double Laplace transforms of stopping timeτcorτband occupation times over intervals (c,a)and (a,b)are found out before exiting interval (c,b).The results are expressed in terms of solutions to the differential equations associated with the diffusions generator.

time-homogeneous diffusion process;occupation time;Laplace transform

O 211.6

A

1672-6146(2017)02-0001-04

陈晨,908108839@qq.com。

2017-02-18

国家自然科学基金(11571052,11171044);湖南省自然科学基金(2016JJ4061);湖南省研究生科研创新项目(CX2016B417);湖南文理学院科学研究项目(15ZD05)。

10.3969/j.issn.1672-6146.2017.02.001