类比法在数学教学中的应用
2017-06-01谢桂真
谢桂真
摘 要：类比是一种相似性的比较方法，在立体几何与平面几何、解析几何及不等式中有着广泛的应用。本文剖析了类比法的原理、意义及类型，探讨了类比法在数学教学中的一些应用。
关键词：数学教学 类比 对应 应用
类比法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，在科学发展史上起过重要作用。法国数学家兼天文学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”其他许多数学家虽然没有发表类似的看法，但他们在科学研究中自觉地运用类比方法取得的成就，则是用事实和行动肯定了这种方法的价值。这方面最典型的例子是瑞士数学家欧拉用一元2n次方程去模拟超越方程 。这是有限与无限间的类比，从而导出 的著名结论。尽管目前关于数学的表达方法和表现手段呈多样化，但类比法因其特殊的魅力仍可作为人们解决问题的主要手段。
一、类比的原理、类型及用途
1.类比的原理
类比法是根据两个不同的对象之间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法，可以用如下图表来显示。
2.类比的意义
类比推理是一种“合情”的“似然”推理，这一结论的正确性不能肯定。
例：长方形与长方体可以运用类比推理，因为它们有类比根据。长方形交于一顶点的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行，而长方体交于一顶点的三个面两两互相垂直，相对的两个面互相平行。
类比推移一：又因长方形的对角线互相垂直平分，那么长方体任两个对棱面也互相平分，这个类比是正确的。
类比推移二：又因长方形的对角线长的d的平方等于交于一顶点的两条边a和b（长和宽）的平方和，即d2=a2+b2，那么，长方体任一对棱面面积S的平方等于交于一顶点三个面面积S1，S2，S3的平方和，即
S12=S22+S32。
这个类比推理是不正确的，举一简单的反例，棱长为1的正方形。
S2=（1× 2）2=2；S12+S22+S32=3，2≠3。
即使类比推理结论不一定完全正确，但如果推理的作用大于它的缺陷，那么就是可行的。在自然科学的各个领域，利用类比可以解决一些复杂的问题。这是由于自然界无论是宏观还是微观，同类事物的相似性远大于它的差异性。
3.类比的分类
第一，简单共存类比。它是根据对象的属性之间具有简单共存关系而进行的推理。多项式的四则运算与整数的四则运算之间的类比就是简单的共存类比。
第二，因果类比法。它是根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理。例如在三角形中，三条中线交于一点，且交点分每条中线为2：1，四面体中，类比出可能成立的结论：四条中线（顶点与对底面重心的连线）交于一点且交点分每条中线为3：1。
第三，对称类比法。它是根据对象属性之间具有对称性而进行的推理。
第四，协变类比（数学相似类比法）。它是根据对象属性之间具有某些确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理。
第五，综合类比法。它是根据对象属性的多种关系的综合相似而进行推理。
二、类比法在数学教学中的应用。
1.立体几何与平面几何进行类比
笔者在学习平面的概念时，将平面同直线进行类比。直线是两端无限延伸，它没有粗细之分，而平面是向四周无限延伸，也没有厚薄的区别。一个点可把一条直线分成两条射线，同样，一条直线可将一平面分成两个半平面。在学习二面角的定义的时候，将二面角和平面几何中的角进行类比，平面几何中的角的定义“从公共端点出发的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边”；在立体几何中，二面角是这样定义的——“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面”。通过和之前学过的知识进行类比，学生很容易接受。
在立体几何教学中判断两个定点距离相等的点的集合，到角的两边距离相等的点的集合，分别是怎样的图形时，可让学生自己与平面几何进行类比，找出哪些类同之处，哪些不同之处，明确立体几何在平面几何上如何继承与发展，对学生迅速建立空间概念，掌握空间图形性質，是很有好处的。
在学习多面体时，可以把平面几何中的点和直线与立体几何中的直线和平面对应起来，那么平面图形中的多边形也能与立体图形中的多面体进行类比。如果把平面几何中边数最少的三角形与立体几何中面数最少的四面体对应起来，可以用类比的方法将三角形的一些性质引向空间，得出四面体的一些性质，不妨以正三角形与正四面体为例作一比较。
在正三角形中各边相等，各角相等且都等于 ，任一顶点到对边的垂线足为对边的中点且垂线长均相等，外接圆与内切圆同心且圆心分所在高之比为2：1；在正四面体中，各面全等，各二面角相等，都等于 ，任一顶点到对面的垂线足为对面三角形的中心且长相等，外接球与内切球同心，且球心把所在高分为3：1。
在推导正四棱台体积公式时，可先由学生回忆一些图形的面积和体积公式，由梯形的面积公式 ，学生通过类比的方法猜想正四棱台的体积公式有以下三种形式：
然后通过考虑特殊情况：当 时， 是正四棱锥的体积公式，当 时， 是正方体的体积公式。从而得到（3）是正四棱台的体积公式。
上述问题可图示为：
2.解析几何中椭圆与双曲线、抛物线的类比
（1）定义中的类比。学习了椭圆的定义“平面内到两个定点的距离之和等于定长（大于这两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆”，推导出了椭圆的标准方程，研究了椭圆的性质以后，在讲授双曲线这一节内容时，可通过类比的方法，得出双曲线的定义、标准方程及其性质。
同样，在得出椭圆、双曲线的第二定义“平面内到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比等于c/a的点的轨迹，当a>c>0时是椭圆，当0
（2）习题中的类比。已知抛物线的焦点为F，过F作抛物线的弦AB与抛物线交于A、B两点，则以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切。
证明：如图1，不妨设抛物线的方程为y2=2px（p2o），设AB中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于抛物线的准线L，垂足分别为A1、B1、N，由抛物线的定义得2︱MN︱=（︱AA1︱+︱BB1︱）= （︱AF︱+︱BF︱）=︱AB︱，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
通过对题目的感知、理解，根据抛物线定义进行解答之后，引导学生进行探索：联想到圆锥曲线的统一性，在椭圆和双曲线中情况会怎样？
问题1：若椭圆方程为 ， 其右焦点为F，以过F的弦AB为直径的圆与椭圆的右准线L的位置关系如何？
问题2：若双曲线的方程为 ，其右焦点为F，以过F的弦AB为直径的圆与双曲线的右准线L的位置关系如何？
通过类比，学生能够较快得出结论：问题1的答案是相离，问题2的答案是相交。
3.函数中的类比
（1）讲授内容的类比。在讲授函数单调性时，学习了增函数的定义：“如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是增函数”。增函数定义可以类比出减函数的定义“如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是减函数”。这样既熟悉在数学研究中的类比思想，也培养了学生数学语言的表达能力。
在讲对数函数时，因对数函数和指数函数互为反函数，故把对数函数与指数函数类比，对数函数的定义域和值域是指数函数的值域和定义域。对数函数 的图像与
的图像关于直线 对称，因此由 的图像即可得到 的图像，然后再根据图像的特征得出对数函数的性質。故，如果两个函数互为反函数，对于这种情况，教师通常可以用类比法来解决。
（2）习题中的类比。
例1：设函数 ，利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法，求 的值。
分析：观察每个因式的提点，类比推导等差数列前 项和公式的倒序相加法，尝试计算。
发现 正好是一个定值，
由此可知，通过弱化或强化条件与结论，找出它与某类问题的区别和联系便可以变更出新的命题。
在提倡素质教育的今天，除了使学生 “学会”之外，更重要的还应当使学生“会学”会思考，掌握科学的思维方法，比如类比法。因此，今天强调类比的重要性，不仅在于它是一种解题策略，更在于它是素质教育中不可缺少的一环。 （作者单位：青岛海洋技师学院）
