考虑不同年龄段的老挝湄公血吸虫病模型研究

Sakhone Sysavathdy 田守静 齐龙兴

摘 要：基于实际数据中不同年龄段病人的比例不一样这一现象，建立一个老挝湄公血吸虫病数学模型，模型中考虑人宿主和钉螺宿主的感染比例，并将人宿主分为不同的8个年龄段，得出了平衡点的存在性，求出基本再生数，对模型的平衡点的稳定性进行了讨论和数值模拟，最后给出最佳控制策略.

关键词：老挝湄公血吸虫病；不同年龄段；稳定性；数值模拟；控制

中图分类号：O175 文献标志码：A

0 引言

血吸虫病是一种慢性寄生虫病，是由多种因素诱发的一种疾病，主要受到环境、寄生虫、载体和宿主的影响.目前，血吸虫病仍然是发病率和死亡率很高的一种疾病.世界卫生组织（WHO）认为，血吸虫病作为仅次于疟疾的一种疾病，主要存在于第三世界的某些国家中，对世界公共卫生与世界经济的发展有着极大影响[1-3].

1 老挝湄公血吸虫病的简介

老挝湄公血吸虫病只发现于老挝最南方的占巴塞省，而其他省份没有血吸虫病的报道.主要集中在两个城市：孔市和幕拉巴某市.与孔市相比，幕拉巴某市发生湄公血吸虫病的地区较小.这两个地区具有大量的贝类生物，其中一种就是湄公血吸虫的感染中介.

从老挝公共卫生占巴塞省处收集统计的数据来看，血吸虫病感染率从2010年～2015年仍然很高.2010年，老挝血吸虫病的感染率是3.52%，2011年增长至10.82%，2012年增加到17.78%，2013年下降到2.44%，但2014年又增加到9.02%，感染率最低的是2015年的1.31%.为监测评估，需要抽取一个村子，对其进行血吸虫病检查，观察村民是否有感染现象的出现.具体监测评估是：在每个城市，每隔1年或2年，在2个～4个村子里随机抽取不同年龄层的300人～500人，对其大便进行检查，观察是否有寄生虫卵出现，以监测疾病感染的速度和严重程度.结果显示，由于生活方式的不同，不同年龄段的人的感染率不同，如图1所示.

2 数学模型

在中国，日本血吸虫病及其数学模型已经有很多相关的研究[4-8].但针对老挝湄公血吸虫病还没有太多的研究，尤其是利用数学模型来分析讨论湄公血吸虫病的传播发展趋势及其控制措施就更少；因此，本文根据湄公血吸虫病传播的实际情况以及来自老挝占巴赛省医院的资料中显示的不同年龄段的感染率（图1）和参考文献[9-10]，在Barbour模型[11]的基础上，建立模型 （1）.首先对模型做如下假设：Pk（t）表示不同年齡段的人宿主中感染的比例，y（t）表示钉螺宿主中感染的比例.

■=aky（1-Pk）-（δH+γH）Pk=f（P1， …， P8， y）；k=1，…，8■=bfH■ekPk（1-y）-（d+θ）y=g（P1，…，P8，y）； （1）

其中（k代表不同年龄段“1：1岁～4岁，2：5岁～9岁，3：10岁～14岁，4：15岁～19岁，5：20岁～29岁，6：30岁～39岁，7：40岁～49岁，8：>49岁”），ak代表不同年龄段的病人传染率系数，fH代表人的粪便输出量，ek代表人的每克粪便的虫卵数，δH代表人的死亡率，γH代表人的恢复率，b代表阳性螺的传染率系数，d代表钉螺的自然死亡率，θ代表阳性螺的因病死亡率.根据基本再生数的生物意义可得：

R0=bfH■■.

从模型（1）可以得出平衡点的存在性.由aky（1-Pk）-（δH+γH）Pk=0可解得 ：

Pk=■

将Pk代入模型（1）的第二个方程，得：

bfH■ek■（1-y）-（d+θ）y=0，

进而得

y=0和■■=■ .

令：

F（y）=bfH■■-（d+θ），则

F（0）=bfH■■-（d+θ）=（d+θ）（R0-1）.

则有：

F（0）>0，当R0>1时，F（0）<0，当R0<1时，F（0）=0，当R0=1时， 以及 F（1）=-（d+θ）<0，且

F '（y）=bfH■-■=bfH■■<0，

即F（y）关于y严格单调递减.

1）若R0>1，F（0）>0，F（1）<0，F '（y）<0，则在（0，1）中F（y）=0只有唯一的一个y*∈（0，1）.

2）若R0<1，F（0）<0，F（1）<0，F '（y）<0，则在（0，1）中F（y）=0无正解.

所以，当R0<1时，无正平衡点， 当R0>1时，有唯一的正平衡点（ ），其中

.

由y=0可计算得无病平衡点E0（0，0，0，0，0，0，0，0，0）.下面讨论E0（0，0，0，0，0，0，0，0，0）的局部稳定性.

记系统（1）为：

■=a1y（1-P1）-（δH+γH）P1 = f1，■=a2y（1-P2）-（δH+γH）P2 = f2， …■=a8y（1-P8）-（δH+γH）P8 = f8，■=bfH（e1P1+…+e8P8）（1-y）-（d+θ）y = g.

可得雅可比矩阵为：

由

可得：

由式（2），解得：

λ1=λ2=…=λ7=-（δH+γH）.

由式（3）得：

λ2+[（δH+γH）+（d+θ）]λ+（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak=0，

其中：

a=1，b=（δH+γH）+（d+θ），c=（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak.

由根与系数的关系可得：

λ8+λ9=-[ （δH+γH）+（d+θ）]，λ8λ9=（δH+γH）（d+θ）-bfH■ekak=（δH+γH）（d+θ）（1-R0）.

当R0<1时，λ8+λ9<0λ8λ9>0，可解得λ8<0；λ9<0；所以E0是局部渐近稳定的.

当R0>1时，λ8·λ9<0，说明λ8，λ9中必有一个正的；故E0是不稳定的.

下面进行一些数值模拟，并对其给予分析.

3 数值模拟及控制

利用Matlab 软件进行数值模拟.

根据参考文献[10]，选取参数值如下：a1=1.13×10-4；a2=7.52×10-4；a3=1.18×10-3；a4=1.03×10-3；

a5=6.39×10-4；a6=3.97×10-4；a7=2.47×10-4；a8=1.39×10-4；e1=105；e2=103；e3=195；e4=170；e5=100；e6=95；

e7=75；e8=45；b=5.15×10-6；fH=1 120；δH=3.26×10-4；γH=0.003 8；d=0.02；θ=6×0.02.（时间t的单位是w）

可以计算得：

R0=bfH■■=6.402 9>1.

说明该地区湄公血吸虫病会持续传播下去.图2～图10也进一步验证了这一理论结果.

由于老挝的国情特色，灭螺措施无法进行.为了更好的预防湄公血吸虫病，公共卫生部门开设了一系列的健康教育课程，以提高人们的卫生健康意识，规范人们的日常行为，进而减少疾病发生的概率.所以在選取控制措施时，只能通过调控传染率，即参数a1，a2，…，a8来研究并比较哪种措施最好.下面分别将8个传播病率分别减小一半来进行比较，图形如下（图11～图19）：

通过图11～图19可以看出，减小不同的传染率（a1，a1，…，a8）的效果不同. 从P1～P8的图形可以看出，除了减小相对应的各自传染率系数外，控制效果最显著的是减小a3，最不明显的是减小a8.此结论说明：在老挝，采取一定的措施使得10岁～14岁年龄段的病人的传染率减小，对控制老挝血吸虫病的传播是最有效的一种策略.

4 结论

本文主要工作是建立老挝血吸虫病数学模型，得出无病平衡点和地方病平衡点的存在性，并对平衡点的稳定性进行了讨论和数值模拟，最后给出最佳控制策略.

在老挝一些疫区，当反复的临床疗法和环境改善相结合时，血吸虫病感染和传播控制有所减缓.然而，老挝湄公血吸虫病因为中间宿主的生态特性，现有水平的很多干预似乎效果都不是很突出.首先，由于湄公河的水位很高，氯硝柳胺对钉螺没有强烈的影响，灭螺剂的应用在老挝以失败告终.其次，由于没有足够的资金，当地的社区并没有建设完善的公共厕所和洗浴措施，通过管理人体排泄物来减少传播的方法无法维持下去；除了外部组织的一小部分的干预，目前政府还没有计划用于补贴或其他形式的资金支持环境改善；因而，改善环境的举措也是不太可行的.另外，动物宿主还有待进一步确认.目前老挝湄公血吸虫病防治的目标仍然是控制发病率和控制传播途径.

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