复变函数积分种类和办法及留数简单计算技巧

李梦雨 岳晓蕊

摘 要：文章旨在研究复变函数的积分的种类及其计算办法，通过分析复变函数与实变函数积分的联系与不同，根据被积函数与积分曲线的种类，文章将复变函数的积分主要分成三大类：路径积分、解析函数的积分、闭合曲线上的积分，针对上述分类，分别讨论计算办法。特别地，对于无穷远点处的留数的计算，文章提供了一种较为简单的判断办法，并给予严格证明。

关键词：复变函数的积分；路径积分；牛顿-莱布尼茨公式；闭合曲线上的积分；无穷远点处的留数

中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）24-0113-03

Abstract： This paper probes into categories and calculation methods of integral of complex function. By analyzing the integral connections and differences between complex function and real variable function， this paper indicates three major categories： path integral， integral of analytic function and integral of closed curve based on the varieties of integrand and integral curve. It discusses calculation method respectively on the basis of the categories. Particularly， this paper puts forward an easier method to judge residues at the infinity and strictly demonstrates the method.

Keywords： integral of complex function； path integral； Newton-Leibniz formula； integral of closed curve； residue at the infinity

引言

复变函数的理论研究距今已有两百多年的历史，是數学中即古老又较为成熟的一门学科。复变函数的发展过程中相关理论及其应用的重要性可见一斑，尤其是解决一些实际问题，例如，物理中的电磁学和热力学、空气动力学、流体力学、弹性力学等领域中的数学模型。复变函数作为实函数的扩展，即当自变量退化为实数时，则复变函数即为实函数。自然地，实函数理论中的一个重要概念——积分，也扩展到复数领域。复数由实部和虚部构成，而复变函数也是由两个二元实变函数相对应，这样在处理复变函数积分时就要显得麻烦得多[1-3]。

本文旨在研究复变函数的积分的种类及其计算办法，并以典型例题加以说明。通过分析复变函数与实变函数积分的联系与不同，根据被积函数与积分曲线的种类，将复变函数的积分进行分类，并针对不同种类阐明计算办法。其中，对于无穷远点处的留数的计算，本文提供了一种较为简单的判断办法，并给予严格证明；特别地，当函数为有理分式时，分母的最高次幂大于等于分子的最高次幂加2时，则该函数在无穷远点处的留数为零。

一、准备工作

四、结束语

本文整理归纳了复变函数积分的种类和计算方法。通过对比实函数与复变函数的联系与区别以及探讨积分路线和被积函数的不同情形，将复变函数的积分分为三类，并分别给出了积分办法。尤其在留数定理的办法中，我们发现并严格证明了一种计算无穷远点处留数的高效的方法，从而简化计算步骤。

参考文献：

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