关于三重积分的一题多解

房明磊 耿显亚 李强

摘 要：给出了四种计算三重积分的基本方法，对同一个积分问题分别通过四种方法求解，并且给出了利用这四种方法所适用的条件和应注意的问题。

关键词：三重积分；直角坐标；球面坐标；柱面坐标

中图分类号：O172.2 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）24-0108-03

Abstract： This paper illustrates four essential methods to calculate triple integrals. One triple integral problem can be solved by four methods. Besides， this paper proposes the conditions and problems for using the four methods.

Keywords： triple integral； Cartesian coordinates； spherical coordinates； cylindrical coordinates

重积分一直以来都是学生在高等数学课程中学习的重点同时也是难点[1，2]，重积分通常指二重积分与三重积分。二重积分的求解通常是将一个二重积分转化为二次积分，一般在直角坐标下与在极坐标系下考虑。在直角坐标系下根据积分区域通常分为X-型的或者Y-型的，X-型的积分表示先对y再对x积分，Y-型的积分表示先对x再对 y积分。在极坐标系下求解二重积分时一般积分区域是与圆相关的区域，它将一个二重积分转化为先对极径r再对极角？兹的二次积分。求解三重积分的基本思想是把三重积分转换为三次积分，三重积分的常用求解方法有：在直角坐标系下的投影法（也称为先一后二法）和切片法（也称为先二后一法）、柱面坐标法和球面坐标法。怎么求解三重积分，一直困扰着很多同学，他们经常是拿到题目不知道用什么方法。主要表现为：首先很多同学对积分区域的空间想象或图形不是很清楚，其次对三重积分计算适用于什么方法不能很好的把握，最后是對变量的积分上下限不知如何确定。下面用一道三重积分的例子[3]分别介绍在使用投影法、切片法、柱面坐标法、球面坐标法进行计算时所适合使用的条件和应注意的问题，直观的体会它们的区别和进行计算的复杂程度。

一、采用投影法求解（先一后二）

投影法是计算三重积分最基本的方法，在求解中首先考虑条件是否满足切片法、柱面坐标法、球面坐标法所适用的条件，若满足，不用投影法，若都不满足这时才考虑采用直角坐标系下的投影法。利用投影法求解时：首先要确定积分区域？赘在某个坐标平面的投影区域，如考虑在xoy面上的投影，投影区域就是变量x，y的范围；其次确定变量z的范围，用平行于z轴且与z轴正向同方向的射线从左到右去任意穿过积分区域？赘，若穿入或者穿出的曲面都是同一曲面，那么把这两个曲面方程中的变量z分别用 x，y来表示，积分变量z的上下限就已确定，穿入的曲面为积分下限，穿出的曲面为积分上限，否则，穿入或者穿出的不是同一曲面，就要对积分区域进行分割处理。

二、采用切片法求解（先二后一）

切片法一般适用的条件为：第一：被积函数仅为某一个变量的函数，如只为变量z的函数；第二：用平行xoy面的平面去切割积分区域？赘时，所截的面是规则图形，比如是圆或圆的一部分时可以考虑采用切片法求解。在采用切片法求解时要注意截面是否发生变化，若有变化需对积分区域进行分割处理后计算。如何判断截面是否发生变化：用平行xoy面的平面由下往上依次去切割积分区域？赘，若平面与不同的曲面相交，则表示截面发生了变化；否则没有发生变化。若截面没有变化，那么把这个曲面方程中含变量x，y的项放在等号的左端，其他项放在等号的右端，再把等号变成小于等于，此表达式就是截面区域的方程。

三、采用柱面坐标法求解

柱面坐标法一般适用的条件为：第一：被积函数中含有两个变量的平方项，如含有x2+y2某种形式；第二：积分区域？赘在某个坐标平面上的投影区域是圆、环或圆的一部分，如在xoy面上的投影区域为圆或者圆的一部分，则适用于柱面坐标法求解。在采用柱面坐标法求解时：首先要明确变量的转变，从x，y，z变成了？兹，r，z其中？兹，r分别为积分区域？赘在xoy面上的投影区域用极坐标系来表示的极角和极径，柱面坐标一般表示形式为x=rcos？兹，y=rsin？兹，z=z。其次三重积分中体积元素变为dxdydz=rd？兹drdz。柱面坐标法与前面的投影法联系起来，可以理解为投影法的特殊形式，当投影法的投影区域适用极坐标系处理时，则直角坐标系下的投影法即转化为柱面坐标法，因此往往柱面坐标法不用特殊的去学习，若投影法和二重积分的极坐标求解清楚，那么用柱面坐标法就没有问题了。

四、采用球面坐标法求解

最后注意是否要对积分区域进行分割计算：通常用过坐标原点的射线去任意穿过积分区域？赘，若穿出的曲面不是同一曲面，则需要对积分区域进行分割计算，否则不需要分割。

在这个例子中，若直接采用三重积分在直角坐标系下的投影法计算该问题比较复杂，虽然这种方法的计算较为复杂，但有助于学生掌握在直角坐标系下如何将三重积分转化为三次积分，而利用切片法计算时注意到了积分区域属于需分割情形，要对积分区域进行分割，但求解时发现先计算的二重积分恰好是截面为圆的面积，接下来计算定积分时是对多项式函数的积分，虽要计算两个积分，但是计算都很简单，很容易就可得出结果。观察满足适用条件时发现此题也适用于柱面坐标法和球面坐标法，求解计算量也不大，所以此题在积分区域或被积函数的特点上都符合切片法、柱面坐标法和球面坐标法所适用的条件，此例采用切片法、柱面坐标和球面坐标计算都很适用。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吕中学.关于三重积分的计算[J].高等数学研究，2016，19（2）：48-50.

[3]许锋.高等数学（下）同步辅导及习题[M].天津科学技术出版社，2016.

[4]苏欣，游煦.基于Mathematica的重积分研究[J].高教学刊，2015（19）：255-257.

[5]高建召.微积分慕课教学资源与应对策略[J].高教学刊，2017（04）：58-59.

[6]杨晶.微积分教学中的数学思想方法的探究[J].高教学刊，2016（17）：117-118.

[7]肖俊.一道三重积分计算题引出的思考[J].高等数学研究，2017（02）.