谈数学教学中反例的使用

段恩祥

摘 要：反例就是用来说明某个命题不成立的例子。在数学教学过程中，会经常遇到很多命题需要判断它的真假性。对于真命题而言，多少个正确的实例都抵不过一个严谨的证明。而对于一个假命题，只需要举出一个不符合的例子即可证明。严谨的思维能力可以解决一个问题，一个恰如其分的反例也可以解决一个问题。在讲授过程中，学生很有可能会因为对概念理解不透、對定理掌握不够、对公式记忆模糊、对数学思想方法的应用不熟练，而出现各种错误。通过反例适当的引导，就可能纠正错误，并且在教材上例题习题都是一些正向的实例，其实进行一些反例的教学也可以起到加深数学概念的理解，对于培养学生逆向的数学思维也有一定的帮助。下面就多年教学经验浅谈数学反例在教学中的使用方法。

关键词：反例；真命题；假命题

一、小学数学教学的反例

小学数学讲授的是最基本的数学概念，这时的学生刚刚接触有关的数学概念，各方面的接受能力比较弱，教学也适合大量的正面引导。小学高年级知识还是以正向讲解为主，但是随着题型逐渐丰富，反例就可以加强理解。

例1：在学习完有关小数的内容后，知道小数有这样一个特点，即小数末尾的0可去可不去，按照题意的需求进行选择。学生在理解过程中容易出现如下的错误，认为小数点后的0都可以去掉，可以举1.08与1.80进行比较，很明显1.08去掉0变为1.8，是错误的。

二、初中数学中的反例

初中数学相比小学数学，注重更多的是基础性的概念和定理，并且重难点清晰明了。加强对基本数学概念的透彻理解和公式的灵活应用尤其重要。但是在讲解概念的过程中，学生可能会产生偏差，如果在此基础上举出一个反例，就可能纠正过来，正确理解概念、公式。

比如学生往往会存在着一种对知识理所当然的理解，例如判断“两个无理数的和一定是无理数”，学生会认为两个无理数的和就是无理数，但是π与-π都是无理数，但他们的和是0，是有理数，因此这是一个假命题。这个例子对实数的概念和实数的基本运算都有了进一步的掌握。有利于学生跳出思维定势。

再如教材中的性质定理，就是我们在解题过程中的工具与武器。但在运用定理的过程中，容易忽视某些要点，这样就会得出错误的结论。在学习平行线的相关性质之后，知道如果两条直线平行，可以推出同旁内角互补，同位角相等，内错角相等三个结论，这时就可以提出这样一个反例，如果两直线不平行，那么同旁内角互补（同位角相等或内错角相等）这个结论还成立吗？这时就会明白如果没有直线平行的前提，结论是不一定正确的的。恰当的在学习有关性质定理时提出一个反例，对理解有很大的促进作用。有利于灵活应用性质定理。

例：当a何值时，关于x的二次方程（1-a2）x2-2x+2=0有两个实根？

在解这道题的过程中可能会没有注意到它的前提条件，这个方程是一个二次方程，因此解答过程中可能会出现类似下面错误的解答，漏掉条件，只要满足Δ≥0，也就是4-4×21-a2≥0，解得a≥22或a≤-22。又关于x的平方项的系数必须不为0，则1-a2≠0，a≠1且a≠-1.这个例子是从命题中寻找反例的线索。

三、高中数学中的反例

相对于小学、初中，高中数学学习的内容多样化涉及了集合、不等式、函数、数列、平面向量等，高中阶段的数学学习更应该应用思维能力。对于理解基本数学概念和应用公式的能力要求更高，其中的性质和定理包含更多的要点，更多反例教学就可以运用其中。

例1：在理解相关关系与函数关系时，先讲当一个变量的取值一定时，与之相对应的另一个变量的取值带有一定的随机性，联系以前学习过的函数关系，很多学生就会认为相关关系是一种函数关系，然后可以举出这样一个反例，对“正方形的面积与边长是相关关系”这一命题做出判断，很明显，他们不是相关关系，因为当边长的取值确定时，面积的取值也随之确定，不具有随机性，是很确定的函数关系。这就可以进一步的理解相关关系与函数关系之间的区别。有利于加强对概念的理解。

例2：学习了等比数列前n项和公式后，学生在等比数列求和中往往直接应用公式，而不考虑q是否为1。对此，教师可设计例题：求和cosα+cos2α+cos3α+……+cosnα，学生做题中易忽略cosα=0和cosα=1两种情况。通过教师提醒，让学生认识到cosα=0时{cosnα}非等比数列；当cosα=1时{cosnα}虽是等比数列，但q=1时求和不能套用上面公式，这样举出反例可以让学生求等比数列前n项和公式时注意分类，使学生认识到学习必须仔细观察，培养自己的观察力，提高数学思维的敏锐性。

例3：在函数单调性学习时，学生对单调性概念不易理解，容易出现一些错误，可以通过反例教学使学生对定义加深理解和认识。已知在区间（-∞，a）∪（a，+∞）上的函数y=f（x），在区间（-∞，a）上是减函数，在区间（a，+∞）上也是减函数，问函数y=f（x）在其定义域上是减函数吗？（学生做此题认为该函数在其定义域上是减函数）教师可以通过反例纠正学生错误，深化学生对单调性的认识。

例4：在求数列通项公式时，已知数列2，4，8……求an，一眼看上去会认为这是一个等比数列，于是an=2n。实际上只给出前三项的数列，没有给出他们之间的关系，是无法判定以后各项是以什么样的规律存在的。譬如这个数列还可以是an=n2-n+2等等。

直接求解所得的整个理解过程不仅可以复习巩固知识点，还可以引领我们学会深挖知识的要点，学会全面分析问题的能力。数学的知识点不是相互独立的，而是相互关联的，但大部分学生都只关注眼前所学的，不会很好的全面利用知识点分析问题，如果在某一类型题中，提出反例，除了掌握此类题，还可以更好的理解知识的要点，使得整个知识体系更加完善。

四、结论

反例也是发现问题和解决问题的途径，反例除了有以上作用外，还可以起到激发学习兴趣的效果，同时还能够养成发展发散思维的习惯，有助于完成数学教学。