分析微梁尺寸效应的传递矩阵法

李晓妮 程涛

摘 要：微梁是微机电系统中的常见结构，尺寸效应是微梁不同于其他梁的重要特征.基于偶应力理论和最小势能原理，推导了微梁弯曲时一阶微分方程组和边界条件，通过引入状态向量，建立微梁状态向量间的传递关系，得到系统的状态空间方程，并借助精细积分法求解传递矩阵，建立了一种分析微梁尺寸效应的高精度传递矩阵法.数值结果验证了本文的有效性.

关键词：微梁；尺寸效应；传递矩阵法；偶应力

中图分类号：TU31；O34 文献标志码：A

0 引言

随着微机电系统（MEMS， Micro-Electro-Mechanical System）在航天航空，机械电子，生物医学等领域的广泛应用，有关微尺度问题受到了众多学者的关注.微梁是微机电系统（MEMS）中常见的微结构，它们的尺寸通常是微米或亚微米量级的.很多实验发现这类微结构的力学行为与结构尺寸相关（即微尺度效应），这是经典弹性理论无法解释的.20世纪60年代出现的弹性偶应力理论对这一现象做出了合理的解释.Yang等[1]改进了偶应力理论（修正偶应力理论），将描述尺度效应的两个附加常数减少为一个，大大地降低偶应力理论的应用难度.

最近几年，偶应力理论被应用到更多新的领域.文献[2-3]将偶应力理论应用于层合梁，分析其大变形下的稳定性和尺度效应.苏文政等[4]建立了多孔固体的等效偶应力动力学一维铁木辛柯梁模型.崔可兴等[5]基于应变梯度理论对压电振动能量采集器进行建模和尺度效应分析.

除了在多个实际工程领域的应用，基于偶应力理论的数值求解方法也不断被报道.Kahrobaiyan等[6]基于修正偶应力理论和有限元理论建立了能够反映微梁尺寸效应的一种新的梁单元.颜世军等[7]和陈万吉等[8]基于修正偶应力理论建立了线弹性体和层合板的有限元方法，分析结构的尺寸效应.杨海天等[9]将无网格伽辽金法用于求解平面偶应力问题，分析了微结构的尺度效应.王卫东等[10]基于偶应力理论，采用non-Sibsonian插值的自然单元法，求解了薄梁弯曲问题.这些求解方法在偶应力问题中的应用进一步促进了偶应力理论的完善和发展.

传递矩阵法具有原理简单、求解精度和效率较高等特点，本文将其与偶应力理论结合起来，分析微梁的尺寸效应.首先基于修正的偶应力理论，推导微梁弯曲时一阶微分方程组，建立系统状态变量之间的传递关系，得到系统的状态空间方程，并采用精细积分法求解传递矩阵，建立了一种分析微梁尺寸效应的传递矩阵法.

1 基于修正偶应力理论的微梁理论模型

与经典弹性理论不同，偶应力理论在应力张量和位移矢量的基础上，增加了可以描述微尺度效应的偶应力张量和旋转矢量.由于构造方式的不同，偶应力理论种类繁多.Yang等[1]的修正偶应力理论由偶应力理论发展而来，通过重新定义曲率张量，使得应变能密度只与应变和曲率张量的对称部分有关，且在本构方程中只需一个描述尺度效应的参数.

1.1 修正偶应力理论

微梁上作用有分布载荷或集中力时，如算例2中简支梁算例的情况，首先根据载荷情况对梁分段，由于两端交界面两侧的状态向量因载荷变化而不同，需根据连续性和载荷条件修改相应的状态向量，再进行计算.

2 算例验证

图3为悬臂微梁自由端挠度的偶应力理论解与经典解之比随厚度变化曲线，随着厚度的增加，二者的比值接近于1，即在厚度较小时，尺寸效应明显，而在厚度较大时偶应力解与经典解差异很小. 通过与解析解比较，可以看出本文方法的计算结果精度较高. 图4为采用本文方法得到不同厚度下的微梁挠度曲线，从图4中可以看出随着厚度的减小，经典解与偶应力解的差异变大，当厚度减小至h=20 ？滋m时，两种方法的结果出现较大背离，偶应力解呈现出较强的抵抗变形能力，而经典理论解则没有. 这种差异说明是否考虑尺寸效应对结构响应的预测影响很大，在微结构中应予以考虑.

对于载荷和边界条件复杂的结构，采用解析方法求解比较困难，本文提出的半解析半数值方法，可以高精度求解这类偶应力问题. 算例2以复杂载荷作用下的简支微梁为例，验证本文方法的有效性.

算例2 图5所示简支梁，梁上作用有分布载荷q1=1 N/m，q2=2 N/m和集中力P=50 ？滋N，微梁的宽度和长度分别为b=2 h和L=20 h，其他参数均与算例1相同. 图6和图7分别为不同厚度下微梁挠度变化曲线.

从图6和图7可以看出，随着厚度的减小，经典理论解与偶应力理论解差异逐渐变大，尺寸效应所产生的影响较大，不可忽略.

3 结论

基于偶应力理论和最小势能原理，建立微梁状态向量间的传递关系，借助精细积分法求解传递矩阵，形成了一种分析微梁尺寸效应的传递矩阵法.这种方法原理简单，精度较高，而且可以方便地求解各种边界条件下微梁的变形. 数值结果表明，本文的方法具有良好的精度和稳定性. 通过分析不同边界条件和载荷作用下微梁的弯曲变形，可以看出：当微梁的尺寸与材料的尺度参数相当时，尺寸效应非常明显，在设计计算时需要考虑其影响. 因此，在微机电系统中，考虑尺寸效应的影响对于预测微系统的响应具有重要意义.

参考文献

[1] YANG F， CHONG A C M， LAM D C C， et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J]. International Journal of

Solids and Structures， 2002， 39（10）： 2731-2743.

[2] 陳万吉，赵国水.偶应力理论层合梁大变形非线性分析[J].沈阳航空航天大学学报，2013， 30（4）：1-6.

[3] 陈万吉，郑楠.偶应力理论层合梁的稳定性及尺度效应[J].沈阳航空航天大学学报，2012， 29（4）：29-34.

[4] 苏文政，刘书田.一类多孔固体的等效偶应力动力学梁模型[J].力学学报，2016， 48 （1）：111-126.

[5] 崔可兴，霍睿，李淑颖，等.基于应变梯度理论的微压电振动能量采集器建模与仿真[J].机械设计与制造，2015 （1）：195-200.

[6] KAHROBAIYAN M H， KHAJEHPOUR M， AHMADIAN M T. A size-dependent beam element based on the modified couple stress theory[C]// ASME 2011 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Denver：ASME， 2011（8）：591-597.

[7] 颜世军，刘占芳.修正偶应力线弹性理论及广义线弹性体的有限元方法[J].固体力学学报 ，2012， 33（3）：279-287.

[8] 陈万吉，杨胜奇.有限元方法研究修正偶应力Mindlin层合板的尺寸效应[J].沈阳航空航天大学学报，2014， 31（3）：1-8.

[9] 杨海天，何宜谦，陈国胜. 无网格伽辽金法求解平面偶应力问题[J]. 计算力学学报，2010， 27（4）：590-595.

[10] 王卫东，张敦福，赵国群，等. 基于偶应力理论的自然单元法研究[J]. 机械强度，2009，31（4）：634-637.

[11] 向宇，黄玉盈，袁丽芸，等.非线性系统控制方程的齐次扩容精细积分法[J].振动与冲击，2007 （12）：40-43.

[12] 赖国森，向宇，袁丽芸，等.多层框架结构静力分析的精细元法[J].广西工学院学报，2011， 22 （1）：7-12.

[13] 余婧妮，向宇，李晓妮，等.求解梁大变形问题的一种精细分析方法[J].广西科技大学学报，2014，25（4）：34-39.

[14] LAM D C C， YANG F， CHONG A C M， et al. Experiments and theory in strain gradient elasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2003， 51（8）：1477-1508.

[15] PARK S K ， GAO X L. Bernoulli-euler beam model based on a modified couple stress theory[J]. Journal of Micromechanics and

Microengineering， 2006， 16（11）：2355-2359.

Abstract： The micro-beam is the common structure of MEMS （micro-electro-mechanical system）， of which the size effects are the significant characteristic different from other beams. The first order differential equations and boundary conditions of the micro-beam bending deformation are derived from the couple stress theory and the principal of minimum potential energy. The transfer relations between the state vectors are established， and the state space equations are obtained. Precise integration method is used to solve the transfer matrix. So the transfer matrix method with high precision is set up to analyze the size-dependent effects of micro-beam. Several numerical examples are used to test the present method and the results show the validity of the method.

Key words：micro-beam； size-dependent effects； transfer matrix method； couple stress

（學科编辑：张玉凤）