概率论与数理统计教学方法的研究

余国胜 危合文 刘军 姚春临

摘 要：概率论与数理统计是工科类本科生的公共必修基础课，具有理论与应用并重的特点。文章结合自己的工作实践，探讨了概率论与数理统计的教学方法，进而提供了一种培养学生的创新思维和独立思考能力的有效途径。

关键词：概率论与数理统计；思想方法；教学

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）08-0059-02

Abstract： The probability theory and mathematical statistics is a basic compulsory course for undergraduates majored in science and engineering. It has the characteristics of emphasizing on theory and application. Combined with the author's working practice， this paper discusses some teaching methods about probability theory and mathematical statistics and provides effective ways to cultivate students' creative thinking and independent thinking ability.

Keywords： probability theory and mathematical statistics； thinking methods； teaching

引言

讲授概率论与数理统计已经十一年了，对这门课程有了深入的了解，把握知识的重难点，教学效果好。但是也存在一些问题，有些学生学习态度不端正，上课注意力不集中，还有一些学生高等数学，线性代数学得不够好，因此学习概率论与数理统计有困难，此外学生的学习水平参差不齐，有的学生接受能力比较强，有的学生接受能力比较弱，这都给教学带来一定的难度。目前，我校采用的是学分制。由于学时的限制，教师不得不赶进度，讲授完教学大纲规定的内容，根本没有时间讲解实例和章节彼此间的联系，不能有效编织科学有效的知识网，造成学习知识不够系统。在课堂教学中，学生参与进来的积极性不高，往往是被动接受知识，没有有效调动学生学习的自主性及创造性。考核方式是平时成绩+期末卷面成绩，平时成绩占30%，期末卷面成绩占70%。平时成绩一般由考勤，作业，问答三方面构成，平时成绩对综合成绩影响不大，没法全面考核学生。此外，期末考试试卷只是考察学生知识点掌握的情况，一般倾向于考察学生的逻辑思维、抽象思维与计算演算能力，而忽视了实际开拓创新能力的培养，导致难以达到人才培养方案对人才知识结构和能力的要求。

随着教育科学的不断发展，有关其他领域的新的教学理念也在改造后被广泛移植，应用到概率论与数理统计的教学中。数学思想方法是数学的灵魂所在，是联系数学各类知识的桥梁，是数学学科赖以建立和发展的重要因素。因为只有掌握了数学思想方法才能抓住数学的灵魂，掌握数学的“通性”、“通法”，才能从整体上，本质上认识数学，避免学生“囫囵吞枣”、死记硬背，从而优化思维品质，提高数学能力。之所以强调概率论与数理统计的思想方法及其教学，是针对过去我们片面强调基础知识教学，简单地抛出结论性的东西，满堂灌而言的。尽管概率论与数理统计的思想方法具体体现于基础知识中，但两者不能相互替代。因此，结合教学内容，对学生进行概率论与数理统计思想方法的渗透，并将这项工作贯穿于整个概率论与数理统计教学过程中是十分必要的。

一、通过小结，提炼出概率论与数理统计思想方法

学习完一章，就要对知识要点进行“小结”，小结起着提纲挈领的作用，能使学生理解概念的现实背景和含义，能使学生明确要点。例如在第一章结束以后，可小结一下处理有关掷硬币问题的思想方法。将一枚硬币连掷三次，求下列事件的概率：（1）三次都是正面；（2）一次正面，两次反面；（3）至少一次正面。分析：如果用H表示正面，T表示反面，则连掷三次的可能结果是：

{HHH，HHT，HTH，THH，TTH，THT，HTT，TTT}。

且由对称性易知，每个基本事件发生的可能性相等，因此可用古典概率计算概率。于是

这种思维方法可概括为“表示问题、分解问题、转化问题”，它是处理更一般问题时常用的方法，由此可见，通过小结可以使学生做到举一反三。此外可以进一步推广到n重伯努利试验的情形，可以得到一系列有用的结果。当n很大时，相关的概率计算起来很困难。学了泊松分布以后，二项分布的泊松近似，即泊松定理，就很好地解决了这个问题。将相应知识串联起来，织成网，学生学习知识更加系统，学习兴趣就会大大提高。

二、善于结合身边的实例进行教学

全概率公式与贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，它能把复杂的概率计算化繁为简。如果教师照本宣科，脱离实际应用，学生要真正理解和掌握其精髓是困难的。教师在讲授贝叶斯公式时，可以设计这样的一个游戏案例：假設袋中装有 m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷？酌次，已知每次都是国徽，问这枚硬币是正品的概率？这是一个有趣的问题。若设在袋中任取一枚正品为事件A，任取一枚次品为事件A，B为事件抛？酌次为国徽，即求条件概率P（A|B）由条件概率的定义和全概率公式可以得到

对于固定的m，n，？酌越大，这个条件概率越小，当？酌→∞ 时，由实际推断原理，可以断言从袋中取出的是次品，这与实际是相符的。

日常生活中，人们出行时经常乘坐公交车，公交车的车门高度设计与人的身高是有关系的。如果太矮，乘客就容易撞到头。如果太高，既不经济也不安全。自然而然的一个问题是：如何设计车门的高度比较合理？根据概率统计的常识，人的身高 服从正态分布（汽车设计手册中也是这样指出的），即X～N（？滋，？滓2）。小孩的身高比较矮，可以不考虑。成年女子的身高一般也比同龄的男子矮，因此在设计公交车的车门高度时，我们重点考虑成年男性。由各国统计资料，可得各国各民族成年男子身高的？滋和？滓2值。例如对于中国人，？滋=1.75，？滓=0.05（当然根据时间的不同，统计数据也可能有所不同，此处仅以此数据为例），现要求上下车时要低头的成年男子不超过0.1%车门需要多高呢？设车门高度为h，X为中国成年男子的身高，则 X～N（1.75，0.052）则成年男子乘车需要低头的概率为

三、引入多媒体、统计软件教学，完善课程的考核评价体系

传统的教学模式是“一支粉笔，一块黑板，教师满堂灌”。 教学手段相对单一，教学信息量相对有限，教学效果难以保证。借助于现代化多媒体技术，利用成熟的统计软件，可以大大节省教学 时间，丰富教学内容。利用统计软件帮助学生解决单调、繁琐的计算，增强学生学习的主动性。 例如在讲授最大似然估计时，单调、枯燥的“填鸭式”教学往往会使学生产生厌烦情绪。此时，在运用传统教学方法的同时，运用多媒体以图像、声音和动画举个例子：一个农民和一个百步穿杨的猎人去打猎，看到一只兔子跑过，听到砰的一声枪响，兔子应声倒地，问：这一枪最有可能是哪个人放的。通过设置情景，会让抽象的理论更加具体，使枯燥的课堂生动起来。需要指出：对于只要求学生了解的内容、概念和图表运用多媒体技术能节省时间，提高效率。对于需要证明的定理，还是传统的课堂演板为宜。随着计算机技术的迅猛发展，使得计算机技术在数理统计中有了用武之地，各种成熟的统计软件破解了数据挖掘，数据分析工作中的难题，使学生得以摆脱单调，乏味的计算，大大提高了学习效率。

考核评价是教学过程中的重要环节，考试是实现教学目标的重要手段。制定科学完善的课程考核评价体系就显得尤为重要。在批改学生作业的过程中，发现有些学生存在互相抄袭的现象，平时成绩根本发挥不了太大作用。为此，有必要探索一种多样化考核方式的方法。现在由于高校扩招，公共课一般都是大班授课，利用微信点名，可以节省时间，提高效率。通过网络在线课程批改作业，可以有针对性地对学生进行辅导。在期末试卷阅卷过程中，发现学生为了应付考试，存在死记硬背，突击复习的现象。提出期末试题中，除了传统的选择题、填空题、计算题外，加入开放性的考题很有必要。

四、实施分层次教学模式

我校一般在大二开设概率论与数理统计课程。学生一般可以分为两类：考研和拿学分的。针对考研学生，在讲授知识时，要提高深度，启迪他们的思维，拓展他们的能力，解决“吃不饱”的问题。针对拿学分的学生，教师要按照大纲要求不折不扣地安排教学内容，达到培养目标的要求。根据学生的实际情况，教师可以有的放矢的实施分层次教学，对考研的学生作业量要大一点，难一点。除了要帮助学生掌握概率论与数理统计的基本思想方法外，可把更多的理论知识教给学生自学，教师只须对此进行有针对性的辅导。对基础不好的学生采取帮扶，让他们端正学习态度，迎头赶上，使教学收到实效。可以尝试让学生上讲台，让他们去讲，老师在下面听，可以不时地提问，使学生得到锻炼，提高他们的学习兴趣。此外，鼓励学生提出有价值的问题，给予加分的奖励，要重视“灵感”，有价值的问题不可能从天而降，要引导学生看一些参考书，第一次课就把这些书推荐给大家，创造条件培养他们发现问题的能力。有时学生提出的问题很肤浅，这个时候需要鼓励，切忌抹杀了他们提问题的热情。研讨课上，利用自己知识面相对比较广的优势，欢迎大家提问题，尽其所能地一一作答，真正做到教学相长。让学生知无不言，畅所欲言，形成良好的学习氛围。

参考文献

[1]张安彩，邱建龙，杨成东，等.工科概率论与数理统计教学改革的几点思考[J].湘南学院學报：自然科学版，2014，35（5）：49-52.

[2]李印，苗晨，刘国志，等.概率论与数理统计课程教学改革与探索[J].中国冶金教育，2015（5）：12-17.

[3]郭长河，庞彦军.以应用为导向的《概率论与数理统计》教改研究[J].河北工程大学学报（社会科学版），2016，31（2）：98-100.

[4]徐群芳.《概率论与数理统计》课程教学的探索与实践[J].大学数学，2010，26（1）：10-13.

[5]徐凤林.关于工科院校概率论与数理统计教学改革的思考实践[J].山东师范大学学报（自然科学版），2014（29）：1-3.

[6]沙秀艳，辛杰.《概率论与数理统计》教学实践与探索[J].大学数学，2013，29（4）：9-12.