对两道高等数学题算法的建议

李卫高

摘 要： 鉴于高等数学教学中发现的两个问题，在解题步骤中缺乏依据或不够全面，本着数学严谨性的要求，对其解法分别给出了修改和完善。

关键词：高等数学 极限 导数 算法

中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）12-0194-01

数学是一门严谨的学科，在解答问题中学会严格的按照定义、公式进行推理演算，做到前后有依据，变化有规则，不仅可以提高对解题正确性的把握，還能反过来加深对概念、定理的理解，学习高等数学，更要注重这方面的要求。

以下是教学中遇到的两个问题：

一、计算

这是高等数学某教材中第一章的课后习题，题目的用意是让利用重要极限求解。有不少学生是这样解的

答案是对的，但步骤却有些牵强，体现在倒数第二步，对幂指函数的底部和指数分别求极限，这是想当然的做法。在极限的运算法则中，有四则运算、复合运算，而上面的算法就缺少依据，巧合的是幂指函数只要底部与指数有极限，上面的算法算出的结果一般是对的。这是因为利用运算法则，我们有

先利用对数恒等式把其化为复合函数，根据复合函数求极限方法，把极限符号提到指数上，再用乘积运算求出指数的极限，得到结果。尽管复杂了一些，但保证了每一步计算有依据，提高了对做题正确的把握。

二、推导幂函数求导公式

导数基本公式 是高等数学里最为熟悉的公式之一。查阅不同的教材可以发现，对该公式的证明主要有两种：一是用定义证明；二是利用隐函数求导。定义证明是很基础的推导，但计算过程却不简单，在数学专业教材中可见；另一种证法却很简单明了，有不少高等数学教材都有使用，证明如下，设

两边取对数

两边对 求导

所以

过程非常简单，算法的巧妙使得我们不想细看它的每一步。然而，这里要提出的是，这种推导缩小了 的范围，第一步取对数默认了幂函数及

取正值，而一般的幂函数也有负值的情况。

回忆一下幂函数的定义，设 为互质的正整数。当 为正有理数，记 ， 为奇数， ； 为偶数， 。当 为负有理数，记 ，

为奇数， （非零实数集）； 为偶数， 。当 为无理数， 。

当 ， 。

由幂函数定义，分情况讨论其导数：

1.当 ，有 。两边取对数得 ，对 求导得 ，于是 （*）

2.当 ， （ 为奇数）。 有 符合公式（*）；

为偶数时， ，两边取对数得 ，对 求导得 ，

仍有 ； 为奇数时， ，两边同乘-1后取对数

，求导得公式（*）。

3.当 ， 为正有理数， 。当 时，

适合公式（*）；当 时， 适合公式（*）；当 时，

适合公式（*）。

综合以上讨论，对任意幂函数都有导数基本公式（*）成立。