以退为进，直逼数学本质

张婧

摘 要：在数学教学中，“退”就是“退”到简单，“退”到学生能够理解或可以顺利解决问题的地方，认真探究、对比、思考，而后“进”。从某种意义上说是一种“进”与“退”的艺术。通过适当的“退”和必要的“进”，能使得学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。

关键词：退；进；起点；认知结构

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）23-102-2

在日常的教学过程中总会有这样的感觉，某一个单元里面的一个章节孩子学得很吃力，有时笔者在反思，为什么就偏偏这个章节孩子觉得难，究竟是什么原因呢，小学阶段的内容没有理由让孩子学得吃力，带着这些疑问在教学中我不断地反思与实践。华罗庚指出：善于“退”，足够的“退”，“退”到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍。笔者这里所说的“退”不是固执己见，停滞不前，而是通过深刻把握，寻找“进”与“退”的契合点，从而达到解决数学问题的目的。

【片段一：比30米少23——引发的反思】

一次区里面的调研考试，这道题的得分率不高，当时心里耿耿于怀，这题并不难啊，原因何在？很多的孩子只计算了30×23就万事大吉了，于是笔者就怀疑可能没讲清楚，也可能对比练习做的不够，带着这样的疑问在日常的练习中又增加了对比练习。算一算（1）30的23是多少？（2）比30米少23是多少？（3）比30米多23是多少？（4）比30米多23米是多少？学生测验结果如下：

不断地对比，然后组织孩子讨论，加以区分，没想到班上总是有那么一些同学的答案让人吃惊。笔者也没辙了，正常的教学继续进行，这块心头病总感觉没解决，不禁产生疑问，真的是比了就能区分了，也有一种可能比了更分不清了。直到教学《列方程解决稍复杂的百分数实际问题》，这个时候心里不禁更害怕，比30米少23是多少，学生都学得这么吃力，再学习比30米少20%，学生岂不是觉得更难？

【片断二：新知识探究】

例题：实际栽树240棵，实际比原计划多种植20%，原计划栽树多少棵？

说说你是怎么想的？很多孩子在完成这个表格的时候出现了状况，不少学生设原计划栽树x棵，比原计划多的树木棵数不会表示，直接写成20%，果然难上难。学生上次的问题还没有彻底解决，又来了新的问题，对于后进生来说，接下来做题寸步难行，继续寻找适合孩子理解的教学方式。究竟孩子的思维起点、已有知识经验的起点在哪里？我所预设教学起点的和孩子之间还有多少差距？也许差距就那么一点点，只需稍稍转化一个思路。

【片段三：难点再尝试】

部分孩子学得如此吃力，攻克这个问题迫在眉睫，若找到解决这个问题的方法，那么之前的分数知识也一并理解，否则一团一团的谜团缠绕在孩子脑中，为了新知识的再次进行下去，此时不得不退下来，退到哪里合适？退到学生已有的经验中去，退到学生一看就明白的道理中去。

学生在一年级已经接触过这样的线段，为什么到了六年级还害怕？其实和例题比，只不过多了个20%，教师将题目退到一年级的水平，A是5，B比A多2同学们都会计算，在这里采用的是加法5+2，如果A是5，B比A多15，还能直接用5加15吗，学生立刻摇头，这里多出的部分是表示分率，要算出具体的量，然后就和一年级的题目类似，才能把两个量加起来。同理B比A多20%能直接加吗？这里的20%也表示分率，所以题目中要填上（20%x）。这一退，把其中的道理“退”的清清楚楚、明明白白，所有的学生都点头大悟，原来六年级学习的题目和一年级之间就这么点差距啊。

【片段四：尝试后的喜悦】

大教育家奥苏伯尔曾说过，假如把一切教育心理学定理总结为一条定理的话，就是影响学习最重要的因素就是学习者已经知道了什么。学生理通了，怎么变化都不成问题。原来通过简单的对比让学生去记住方法没有用的，一时记住了，事后又抛之脑后。这个时候教师没有满足于学生现有水平，而是再次给出这样的线段，现在你可以出题考考大家吗？学生思维活跃，涌现出各种各样的答案：

生1：B比A多16，A是30，求B是多少？

生2：第一天修路100米，第二天比第一天多修20%，第二天修多少米“？

生3：B是360，比A多20%，A是多少？

生4：B比A多14，给A 8个，则A、B相等，算一算A、B分别是多少？

生5：第二条线段比第一条线段多多少？

……

师追问：你觉得你出的题目适合几年级学生做，一到六都能做吗？你们太厉害了，从当初的不会，到现在都会出题了，真了不起！此时此刻你想对初学者提醒点什么？

生1：把题目改成以前学过的知识，就容易多了。

生2：把分率化成具体的数量，就可以像以前那样加加减减了。

反思：是啊，构建简单模型，没有任何分数与百分数的干扰，只有两条线段，学生一眼就能看出谁比谁多，以前的学习中遇到多几个就直接加几，而现在不能直接相加，先要加工处理一下信息，才可以相加。留下主干，便于学生对比，只看这样的图你能说说怎样的数量关系，又能出哪些题目。教师带领学生回忆以往的知识经验，学生对比今天知识与以往旧知的区别，利于学生更好地建构知识之间的联系。解决这样的分数与百分数问题其实就是让学生经历并主动建构模型，让学生觉得似曾相识，实际上让学生感觉到困难的知识，很大因素是因为学生没有见过这样的形式，而这恰恰是构成他们思考的最大障碍。教师教学时足够的退，退到最简单又不失关键的地方。那么，学生很快就能找到解决问题的精髓了。

【案例的启示】

一、“退”到学生数学学习的起点

《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展和已有的知识经验基础之上，学生的数学学习活动是在教师组织、引导下的自我建构、自我生成的过程。低起点，高落点，训练思维于无形之中。当教师删减掉一切数据，留下两条线段，学生很容易根据线段说出数量关系式，第二条线段比第一条线段多，第一条线段加上比第二条线段少的部分就是第二条线段，这样的思路学生最熟悉了，而以前的学习经历中多余部分的数量是可以和第一条线段的数量相加的，只要一步计算就可以了，现在的学习较以往略有不同，要把多余的部分线段代表具体的数量计算出来，即可转换成以往的算式。理通了，学生从整体上建构知识，接下来学生面对两条长度不一的线段出题时，思路大大打开，可以出第一条线段是已知的，去求其他部分的量，也可以是第二条线段是已知或者是多余部分的是已知，去求其余的量。只有退到学生数学学习的起点，有效地加以利用，才能引导学生进行有效的数学思维活动，才能使得学生的数学学习循序渐进，才能把孩子们引领到我们真正想让他们去的地方。

二、“进”到学生的认知结构

建构主义理论认为：学习并不是由教师单方向学生传递知识，而是学生根据自身已有知识和经验主动建构自己知识的过程。学生的认知结构只有在经历学习活动的过程中主动才能完成。只有学生本人的积极思考、主动探索，才能有所发现、有所创新。新的知识学习不能仅仅靠学生独立思考、合作、交流就能很好地植入大脑，而是教师调动学生的一切感官和经验，让新知在每个学生的大脑中重生。有时候教师表面上做了很多工作，进行了一些易混淆的题比较，但对于学生来讲都是表面的，学生经过一段时间的对比訓练确实能够区分开，但对问题的本质并没有理解，教师还沉浸于自己的教学设计有多精心和巧妙，那只是教师自己的进，学生本身并没有进。新的课程标准引导下的理念应为，课堂教学中固然离不开教师的进，但更需要学生的同进。进退有度，该退则退，该进则进，真正做到以学生为主体，使学生真正经历知识的建构与重组的过程。让学生真正经历了思考的过程，学生参与到了认知的自主构建中来，不仅学到了数学知识，接触到了一些研究数学的方法，而且还获得了成功的体验。

三、“进”到学生的思维深处

学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律与联系。教师在本案例中通过简单的线段为学生的思维搭建一座思考的桥梁，巧妙地引导学生走向思维深处。当教学发生了一点小小变化后，学生的脸上流露出了成功的喜悦，那是领悟透彻的喜悦，学生不仅会做题，也会变着花样出题了，教师在这个时候再出对比练习题，学生都能做出来，此时的学生已经能区分出数学本质，这样的问题实质就是加法问题，量与量之间的相加。教师教学时足够的退，退到最简单又不失关键的地方。那么，学生很快就能找到解决问题的精髓了。进到学生的思维深处，揭示数学的本质，让学生在成长进程中永远留下数学思想的痕迹。