精彩，在理性分析之后

李怀金

同样的辅助线，不同的说法，其证题功能有时却大相径庭。下面以例说明之。

例1 求证：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

已知：如右图1，在△ABC中，DA=BD，DE∥AC。

求证：EB=EC。

初步设想：在探讨本题证法的过程中，学生A提出了如右图2的初步设想：延长DE到M，使EM=ED，连结MC。若能证明△DBE≌△MCE，问题便可迎刃而解，然而“左冲右撞”的学生连连失败，纷纷叫难。

理性分析：欲证明△DBE≌△MCE，已经具备的条件有：ED=EM，∠1=∠2。根据全等三角形的判断方法，现有三条路可走：①证明EB=EC，而它恰是要求证的，此路不通。②证明∠B=∠4，需要条件MC∥AB。③证明∠3=∠M，也需要条件MC∥AB。显然MC∥AB已成为解题的关键，那么，如何才能具备这一条件呢？

方法优化：根据以上分析，学生B大胆地改变了辅助线的说法：过点C作CM∥AB，交DE的延长线于点M。此法立即遭到学生A的反对：“按照这种说法，证明△BDE全等于△CME就没有‘边相等的条件了。”真的如此吗？∵DM∥AC，CM∥AB，∴四边形DMCA是平行四边形，∴CMAD。又∵DA=BD，∴MCDB。于是证明△DBE≌△MCE就易如反掌了。

解后反思：同样的辅助线，不同的说法，其作用却相差甚远，为什么呢？前一种说法只能得出两个条件：∠1=∠2和DE=EM。而后一种说法则可以得出三个条件：MC=BD，∠1=∠2和BD∥MC。尤為重要的是，它具备了解题的关键条件：BD∥MC。后一种说法为什么可以多推出一个条件呢？因为它有效地利用了已知条件DE∥AC，得出四边形DMCA是平行四边形，进而得出MCAD。

例2 如图3，E是矩形ABCD上一点，且EB=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G。

求证：AB=PF+PG。

证法初探：如图4，过点P作PM⊥BC，垂足为M，∵EB=ED，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3。又P是BD上任意一点，∴PF=PM，∵GM=GP+PM，GM=AB，∴AB=PF+PG。

理性分析：乍一看，此证法准确无误，若细细思考，会发现它并不严谨。只有当G、M、P三点在同一直线上时，GM=GP+PM才成立，因而须补证G、M、P三点在同一直线上。左思右想之后，学生依然对证明G、M、P三点在同一直线上束手无策。

方法优化：这时，有一部分学生想到了改变辅助线的说法：延长GP交BC于点M，∵AD∥BC，PG⊥AD，∴PM⊥BC。这样，既具备了PM⊥BC，又不需证明G、M、P三点在同一直线上，可谓一箭双雕。

解后反思：后一种说法之所以具有一石二鸟的作用，因为它整合了条件AD∥BC和PG⊥BC，得出PM⊥BC，从而使证法变得简洁明了。

能准确地作出辅助线，需要理性分析，改变辅助线的说法，使其具有多种功能，也需要理性思考。通过有理有据的分析，准确地把握条件之间的逻辑关系，快速地抓住解题的关键，有效地整合已知条件，大胆地改变辅助线的说法，变“一线一能”为“一线多能”，从而高效、优质地解决问题。但愿在这一过程中，学生能感悟到数学的理性之光、灵动之气和简约之美。

（作者单位：安徽省临泉县迎仙中心校）