例析“或的恒成立问题”

程玲

已知命题A：p或q恒成立；命题B：“p恒成立”或“q恒成立”。请问，命题A与命题B互为充要条件吗？

那么，取C=（-∞，1）。令p=（-∞，0]，q=[0，+∞），则C？哿p∪q成立。但C？哿p不成立，且C？哿q不成立，所以A与B不等价。

那么，如何解决“或的恒成立问题”呢？请看下面例题。

例1 若|ax3-lnx|≥1对？坌x∈（0，1]都成立，则求a的取值范围。

解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：

令φ（x）=ax3-lnx，

①当a≤0时，φ（x）在（0，1]上单调，φ（x）=

+∞，φ（1）=a<0，所以φ（x）的值域为：[a，+∞），因为a≤0，所以|φ（x）|的值域为[0，+∞）；所以不成立。

②当a>0时，φ，（x）=3ax2-=（x3-），所以φ（x）在0，上单调递减，在，∞上单调递增。因为φ（1）≥1，所以a≥1，所以<1，所以φ（x）在0，上单调递减，在，1上单调递增。所以φ（x）min=φ，依题意，φ≥1，所以a≥。

综上：a≥。

解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：

命题“|ax3-lnx|≥1对？坌x∈（0，1]都成立”的否定是“|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解”。

|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解？圯-1

令t（x）=，x∈（0，1]。

t′（x）==>0，所以t（x）=在（0，1]上单调递增，又∵t（x）=-∞，所以t（x）无最小值。所以a∈R；

令m（x）=，m′（x）==，

所以m（x）在（0，e-）上单调递增，在（e-，1）上单调递减。

所以m（x）max=m（e-）=，所以a<。

因为|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解时，a<；

所以|ax3-lnx|≥1对？坌x∈（0，1]都成立时，a≥。

例2 x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立，则求a的取值范围。

解（除了例1的两种解法，还可以根据“题情”特题特解）：

令f（x）==x++|x2-5x|，则x2+25+

|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立等价于求a≤f（x）min。

令g（x）=x+，x∈[1，2]，t（x）=|x2-5x|，x∈[1，2]。

则f（x）=x++|x2-5x|=g（x）+t（x），x∈[1，2]，

易知g（x）min=g（5）=10；t（x）min=t（5）=0，所以f（x）min=f（5）=10。

練习：x+|x-2a|>1的解集为R，求a的取值范围。

答案：a的取值范围是（，+∞）。

总结：“或的恒成立”的解决通法为求命题的否定命题所对应的集合，再求该几何的补集。但是该方法在实际解决问题的过程中有时候会过于麻烦，所以还需要像例2这样特题特解。

（作者单位：湖北省襄阳五中）