“数运算”核心经验概说

幼儿在日常生活中总会碰到类似“现在是多少，多多少，少多少，是否相等”这样的问题，数运算正是幼儿解决这些问题的主要手段。当幼儿开始关注把两个集合组合在一起或把一个大的集合分成几个部分后发生了什么时，他们就开始理解数量的变化，即开始形成数运算的概念。当幼儿发现或理解两个或者几个更小的集合如何组合成一个大的集合时，他们就会开始慢慢理解一个大的数包含几个更小的数。这为幼儿解决“现在是多少，多多少，少多少，是否相等”的问题提供了经验。

幼儿的数运算主要指10以内数的加减运算，是幼儿数概念发展的延伸。数运算是理解数与数之间结构关系（组成与分解）和数量变化的一种能力，数运算要遵循一定的原则。借助实物或生活情境帮助幼儿理解集合的数量变化是发展幼儿数运算能力的重要手段。

核心经验要点一：在一个集合里添加一些物体能使该集合变大（组成），拿走一些物体则能使该集合变小（分解）

正如《3～6岁儿童学习与发展指南》所指出的，5～6岁幼儿要“借助实际情境和操作（如合并或拿取）理解‘加和‘减的实际意义”。幼儿在形成数运算的概念之前，需要先明白数量的变化，理解在一个集合里添加一些物体能使该集合变大（组成），而拿走一些物体则能使该集合变小（分解）。数量的变化可以有不同的形式（Carpenter，1990），如：变化未知，2+？=5，5-？=3，我们原来有2辆玩具车，现在有5辆玩具车，增加了几辆玩具车；起始未知，？+3=5，？-2=3，我给了你3块巧克力，你现在一共有5块巧克力了，你原来有几块巧克力？在日常生活中，经常会发生这样的变化：从一个玩偶逐渐增加到几个玩偶；我们可能有很多衣服，随着年龄的增长就会丢弃一些，等等，这些都是幼儿有关数量变化的经验，有助于幼儿具象化地理解集合的组成和分解，然后通过数数解决多少的数量问题，从而深入认识集合中添加物体就是增加数量，拿走物体就是减少数量。数量之间的关系一般都能够以口述应用题的形式呈现，教师也可以借助幼儿熟悉的故事帮助幼儿理解数量之间的关系。

很多幼儿熟悉和喜欢的故事书中都隐含着数运算的问题情境，教师可以借助这些故事来创设情境帮助幼儿体验数量变化。例如，在幼儿阅读绘本《姜饼人》的过程中，教师就可以引导幼儿感知数量变化。在这个故事中，每增加一个人物，教师就可以插入关键提问，如：“又来了一个谁？现在一共有几个人在追姜饼人了？”“队伍里一共有几个人？”引导幼儿关注队伍中人数的变化。在幼儿熟悉故事后，教师也可以引导幼儿改编或创编故事，如创设追逐姜饼人的队伍人数越来越少的故事情境，引导幼儿在理解数量增加的基础上感知数量的减少。许多类似的故事中都涉及这种数量的变化，例如《拔萝卜》等。幼儿在故事情境中发现集合数量的变化，就会相应地在某些情境中解决加减的问题，加深对数运算的理解。

国内外许多研究者都曾研究过幼儿数运算策略的使用，我国学者沃建中（2002）等人以Sieger的研究中对儿童使用策略的分类标准为参照，将儿童加法运算的策略分为：提取策略、从1开始数策略、从小数数策略、从大数数策略、凑十策略以及心算策略。Brownell（2013）则认为儿童早期的数运算策略主要分为直接建模策略（direct modeling strategies）和计数策略（counting strategies）。直接建模策略，主要指幼儿处于动作水平时期，借助实物操作来重现问题情境，再通过数数找到答案。〔1〕在直接建模策略中，幼儿最常用的方法是点数全部，即将所有物体放在一起点数总数。随着幼儿对数字越来越熟悉，他们开始用数字来表征事物数量。在计数策略中，幼儿比较常用的方法是接着数。幼儿在解决数运算问题时，采用的加法策略和减法策略有所不同，但都建立在对数量变化的理解上，从逐一加减逐渐过渡到按数群加减。下面结合幼儿解决数运算问题的策略来分析幼儿是如何理解数量变化和数的组成与分解的。

在幼儿数运算的初级阶段，幼儿通过实物操作来理解集合数量的增加或减少，从而解决加减问题。幼儿会借助实物操作来重现问题情境，再通过数数找到答案。〔2〕在计算策略发展的早期，幼儿在解决故事中数量变化问题时所使用的多是点数全部（或从1开始数）的策略。例如，幼儿已有2块饼干，再增加2块时，一些幼儿会从1开始一一点数，直到数完所有的饼干得出总数。同样的，当数量减少时（如从8到2），幼儿也可以使用点数全部（或从1开始数）的策略来解决问题。例如，已有5块饼干，吃掉了2块，还剩几块？解决这种问题时，幼儿也会从1开始数剩下的饼干。类似上述的两种情况，点数全部（或从1开始数）策略的运用都需要实物表征来辅助。

随着幼儿对数字越来越熟悉，他们就会开始用数字来表征事物数量。当幼儿的数感发展到一定水平时，他们会逐渐寻求更有效的数运算策略，这时就会出现接着数（包括从小数开始数，或从大数开始数）的策略。幼儿在数感发展的早期，常常会从熟悉的小数字开始接着数，虽然接着数的策略比点数全部的策略更加复杂，但是用这个策略解决问题的速度很快。幼儿用接着数的策略来取代点数全部的策略，说明他们的数感变得更强了。沃建中（2002）等人指出，由于5～6岁幼儿还是以具体形象思维为主，因此从大数字开始数的策略实际上是符合其年龄特点的，使幼儿在解决加法问题时有了具体的操作方法，为日后进行10以上的加法运算提供了便利，如解决“8+5”的问题，幼儿就可以借助手指直接从数字8接着数5个数：9、10、11、12、13，得出结果。〔3〕

此外，接着数的策略也可以用来解决集合分解的问题。例如，有5块饼干，吃掉2块，幼儿就可以用接着数的方法计算还剩下几块饼干。幼儿会依次伸出1根手指，并开始接着数，从3开始一直数到5：3、4、5，即剩下3块饼干了。当幼儿的数感更强时，他们很少再去一一点数，也可以不借助手指或實物，开始使用接着数的策略，或从任何一个数字开始倒着数，或使用凑十的策略、心算等。

核心经验要点二：一定数量的物体（整体）可以分成几个相等或不等的部分，这几个部分又可以合成一个整体

数的组成与分解是数运算教育内容中的一个重要部分，数的组成与分解的教学有助于加深幼儿对整体与部分、部分与部分之间的抽象关系的理解，即明白“一定数量的物体（整体）可以分成几个相等或不相等的部分，这几个部分又可以合成一个整体”，〔4〕从而为后续的加减运算打下坚实的基础。分解与组成反映了数的结构关系，数的组成是指除1以外的任何一个自然数都是由两个或两个以上的部分数组成的；数的分解是指除1以外的任何一个自然数都可以分成两个或两个以上的部分数。这种数的分合关系反映了总数和部分数及部分数之间的关系。

幼儿想要明白一个集合中部分与整体的关系，就需要明白较大的数包含着一些较小的数，还要能说出数的各个部分。具体说来，涉及三个（及以上）数群之间的等量和互换关系：等量关系，一个数群（总数）可以分成两个（及以上）相等或不相等的子群（部分数），即一个数可以分成两个（及以上）部分数，这两个（及以上）部分数合起来就是原来的那个数；互换关系，一个总数分成的两个（及以上）部分数交换一下位置，总数不变。例如，“3+5=8”这个加法关系就涉及3、5、8这三个数群，即8可以分为3和5两个部分数，有时幼儿还能理解类似“4+3+1=8”这种数量关系，这就涉及4个数群了。在积累大量有关数的组成与分解的经验后，幼儿如果知道数的各个部分，并且明白它们与其他数字的关系，就会很自然地进行加减运算。关于数的分解，通常幼儿接触最多的是二分法，即一个数可以分成两个更小的数。但除二分法之外，还有多分法，即一个大的数可以分解成两个以上小的数。教师在日常生活和教学中要引导幼儿操作和理解数的组成和分解的多种方式。例如，幼儿会逐渐理解3加4一定是7，3和3在一起是6，再加1也是7；或知道3加4是7，那么7减3就一定是4，这是建立在深入理解部分与整体之间关系的基础上的，是一个循序渐进的发展过程，并不是靠死记硬背就能掌握的。在日常生活中，教师可以引导幼儿多做一些类似的游戏，如尝试用两只手的手指去表示5，看看可以有多少种不同的方式；或利用数字卡片、点子卡片进行10以内数的組成与分解的游戏。还有，在很多故事情境或日常生活情境中也常常会出现涉及数的组成与分解的问题，教师也应善于发现并引导幼儿去关注。例如，绘本故事《十只兔子去野餐》中就隐含了10的不同组成形式，教师就可以根据这个故事情境创设有关数运算的问题情境，引导幼儿进一步理解10的组成与分解的不同形式。在幼儿熟悉故事内容后，教师可以对原来的故事情境进行改编。例如，将河边的场景改编为：4只兔子在游泳，3只兔子在划船，3只兔子在钓鱼；将森林的场景改编为：2只兔子在搭帐篷，2只兔子在铺毯子，2只兔子在跳舞，2只兔子在休息，2只兔子在喝水；将野餐的场景改编为：8只兔子围坐成一圈，1只兔子在追蝴蝶，1只兔子躺在草地上睡觉。新的情境创编好后，教师可以和孩子们一同绘制一张表格，引导幼儿发现并记录10的不同组成方式。这种改编形式不仅能引导幼儿发现“5+5=10”和“4+6=10”这种三个数群之间的关系，而且能使幼儿意识到“4+3+3”和“2+2+2+2+2”或者“1+1+8”也可以组成10，即三个以上数群的数量关系。

此外，教师应当引导幼儿了解数的分解还包含等分（均分），即一定数量的物体（整体）可以分成几个相等的部分。例如，要将6块巧克力分给同桌的2个小朋友，每个人能得到几块？让幼儿在体验和了解数的组成与分解时，不仅了解总数可以分成不同的部分数，而且了解一个总数也可以被分成相等的几个部分数。

Carpenter（1990）〔5〕总结出加法问题共有以下四种类型：

合并，结果未知：金有2辆车，马里奥又给她5辆，金一共有多少辆？

分开，起点未知：金有一些车，她给了马里奥2辆，现在她还有5辆，金原来有几辆？

部分—部分—整体，整体未知：金有2辆黄色汽车和5辆蓝色汽车，她一共有多少辆汽车？

比较，比较数量未知：马里奥有2辆车，金比马里奥多5辆，金一共有多少辆？

Carpenter（1990）〔6〕总结了7种类型的减法问题：

合并，变化未知：金有3辆车，她要再拿几辆后才能有8辆？

合并，起点未知：金有一些车，马里奥又给了她3辆，现在她有8辆车，金原来有几辆？

分开，结果未知：金有8辆车，她给了马里奥3辆，金现在还剩几辆？

分开，变化未知：金有8辆车，她给了马里奥一些，现在她还剩下5辆，她给了马里奥几辆？

部分—部分—整体，部分未知：金有8辆车，5辆是黄色的，其余的是绿色的，她有多少辆绿色的车？

比较，差数未知：金有8辆车，马里奥有3辆，金比马里奥多几辆？

比较，参考数未知：金有8辆车，她比马里奥多5辆，马里奥有几辆？

类似以上类型的组成与分解的数量变化问题，幼儿都会接触到。通常这些问题都是在生活中随机出现的，并不需要幼儿机械记忆。虽然这类问题可能是不可以用动作表示的组成和分解的变化情境，但幼儿还是可以借助类似点数全部或接着数的策略解决问题。只有当幼儿积累了丰富的实物操作的经验，并开始熟练地使用接着数或倒着数的策略时，他们才能深入理解简单数学问题中的部分与整体之间的关系。幼儿理解这些基础性的关系有助于他们日后进行更大数字的运算。

总的来说，数运算是幼儿在获得了有关数符号、计数、数量比较等基本经验基础上逐渐形成的关于数量之间的变化关系的认知，它对于巩固幼儿的数概念和提升幼儿的抽象思维能力具有重要的意义和作用。

参考文献：

〔1〕〔2〕BROWNELL J O，JIE-QI CHEN，LISA GINET.Big ideas of early mathematics：what teachers of young children need to know〔M〕.Early Math Collaborative-Erikson Institute，2013：67.

〔3〕沃建中，李峰，陈尚宝.5～7岁儿童加法策略的发展特点〔J〕.心理发展与教育，2002，（4）.

〔4〕陈杰琦，黄瑾.思考数学核心经验资源包：教师用书〔M〕.南京：南京师范大学出版社，2013：16.

〔5〕〔6〕罗莎琳德·查尔斯沃斯.3～8岁儿童的数学经验：第五版〔M〕.潘月娟，译.北京：人民教育出版社，2007：267，271.