基于动柔度法的车−线−桥垂向耦合振动分析

石广田，杨建近，杨新文，张小安



基于动柔度法的车−线−桥垂向耦合振动分析

石广田1，杨建近1，杨新文2，张小安1

(1. 兰州交通大学机电工程学院，甘肃兰州，730070；2. 同济大学交通运输工程学院，上海，201804)

利用动柔度的思想建立高速铁路车辆−轨道−桥梁垂向耦合动力学频域模型。将车辆看作具有10自由度的多刚体系统，推导出车辆系统的动柔度；将钢轨看作无限长Timoshenko梁、轨道板简化为自由−自由的Euler梁、桥梁简化为简支Euler梁，扣件系统和CA砂浆层用线性弹性阻尼单元模拟，从而建立线−桥垂向动力相互作用系统，利用动柔度的思想求得线−桥垂向动力相互作用系统的动柔度；利用线性化Hertz接触理论，将车辆系统与 线−桥垂向动力相互作用系统耦合成车−线−桥垂向耦合振动模型。分别求解单位简谐激励、轮轨几何粗糙度激励下的轨道系统和桥梁结构的动力学响应，最后结合虚拟激励法求解轨道谱激励下的轨道系统和桥梁结构的随机振动响应。研究结果表明：利用动柔度思想建立的频域车辆−轨道−桥梁垂向耦合动力学模型，具有逻辑清晰、求解快速的特点，能够直接求解系统在频域的动力学响应。

耦合振动；随机振动；动柔度；车−线−桥耦合动力学；高速铁路

由于列车运行速度高和无砟板式轨道的线路结构会使得轮轨相互作用急剧增加，导致高速铁路车辆−轨道−桥梁耦合振动问题更突出。分析车辆−轨道−桥梁耦合系统的振动，对于确保高速铁路运营安全、提高乘坐舒适性、降低高速铁路运营引起的振动对沿线居民和结构建筑的影响有重要的理论价值和工程应用价值。松浦章夫[1]先后建立了半车模型和10自由度的整车模型分析车桥动力学问题。TANABE 等[2]开发了列车−轨道相互作用计算机程序，其中车辆模型具有31自由度并考虑了车辆悬挂系统的非线性，将轨道和桥梁作为一体用有限元法得出轨道−桥梁运动方程，用模态分解技术减小轨道桥梁结构自由度，以轮轨间不平衡力收敛为迭代终止条件，采用Newmark法求解列车、轨道与桥梁的动力响应结果。BHATTI等[3]和WANG等[4]在车桥空间动力分析中分别建立了21个自由度和23个自由度的车辆空间振动模型，并考虑了车辆悬挂的非线性。FRÝBA[5]系统地研究了车辆参数、行车速度、轨道参数、桥梁参数等对桥梁振动的影响，并对桥梁结构的疲劳问题及随机振动问题进行了较深入的研究。曾庆元等[6−7]利用势能驻值原理和 “对号入座”法则，导出了车桥时变系统的动力学方程，其中机车车辆模型具有21自由度，桥梁利用有限元法进行离散。邓子铭等[8]利用“对号入座”法则建立了列车与钢桁梁桥耦合动力学模型，将轨道不平顺作为系统的自激激励源，地震作为外部激励，分析地震对钢桁梁桥车桥系统耦合振动的影响。夏禾等[9]将车辆视为多刚体系统，分析了车−桥−墩体系的耦合动力学问题，也研究了脉动风、地震荷载对列车过桥时的动力学响应和行车安全的影响。李小珍等[10−11]采用23个自由度的车辆模型，桥梁采用有限元模型，研究了车桥系统的空间动力响应。翟婉明等[12−13]建立了较为完备的车辆−轨道−桥梁动力相互作用理论研究，并开发了相应的计算机程序，为铁路新桥设计、旧桥加固提供了一套理论方法和安全评估。以上建立的车−线−桥耦合动力学模型多为时域模型，一方面大多数学者考虑了系统的非线性因素，但同时会使得求解难度大大增加；另一方面，若要分析系统在频域的动力学响应，还要进行时频转换分析，较为复杂。本文作者利用动柔度的思想建立高速铁路车辆−轨道−桥梁垂向耦合动力学频域模型[14]，能够快速、准确地求解系统在频域的振动响应。

1 车辆−轨道−桥梁耦合动力学模型

本文建立的车辆−轨道−桥梁耦合动力学模型如图1所示。车辆为10自由度的多刚体系统，钢轨、轨道板、桥梁分别用无限长Timoshenko梁、自由−自由Euler梁、简支Euler梁模拟，扣件系统和CA砂浆层用线性弹性阻尼单元模拟，轮轨接触关系采用线性化Hertz弹性接触理论。

图1 车辆−轨道−桥梁动力相互作用示意图

单节高速列车车辆的振动幅值为

(2)

式中：[]=[][][]T为单节车辆在轮对处的柔度矩阵；为转换矩阵；{()}为单节车辆受到的垂向轮轨作用力幅值。

钢轨被视为无限长Timoshenko梁，其动柔度函数为[15]

β(12)为在位置2处施加单位力在1处引起的位移；1，2，1和2与振动波沿钢轨的传播有关。钢轨的振动幅值为[15−16]

(4)

式中：x和x分别为第个激励的坐标、第个扣件的坐标；Z为轨道板在坐标x处的垂向位移；K(Z−Z)为第个扣件的弹性恢复力。

多个轨道板的动柔度可表示为β(12)= diag[ [1]1，…，[β1]，…，[β1]]。其中，为轨道板数量，β1为一块轨道板的两端自由Euler梁模型的动柔度[16]，

W()为两端自由的Euler梁的第阶振型的阵型函数[17]。则整个轨道板的运动微分方程为

(6)

式中：N为轨道板下离散分布弹性支承的数量；x为轨道板下第个离散分布弹性支承点的坐标；K(Z−Z)为轨道板下第个离散支撑的弹性恢复力。

高架桥梁的运动微分方程为

式中：β(1，2)为高架桥梁的简支Euler梁模型的动柔度，其表达式可通过将式(5)中的阵型函数换成桥梁简支Euler梁模型的阵型函数得到；N为高架桥梁支撑的数量；x为高架桥梁第个支撑的坐标；Z为桥梁在x处的位移；KZ为高架桥梁第个支撑的弹性恢复力。

式(4)，(6)和(7)中均未明示阻尼，实际上梁的弯曲刚度以及弹簧的刚度都是包含损耗因子的复刚度。将式(4)，(6)和(7)合并，可得到矩阵形式的表达式：

[]主要由钢轨、轨道板和桥梁结构的动柔度乘以刚度形成；{}由待求解的钢轨、轨道板和桥梁结构的位移组成；{}为荷载矩阵。求解式(8)即可以得出激励作用下轨道系统和桥梁结构的频域位移响应。

车辆与轨道耦合关系通过轮轨相互作用力来实现。从下式可求得垂向轮轨力：

式中：[T]为轨道系统在轮轨接触点处的原点垂向位移导纳，由式(8)可求得；[]为单节车辆在轮对处的柔度矩阵，由式(2)可求得；[]为轮轨接触弹簧的动柔度，β=1/k，k为线性化轮轨接触刚度，以CRH2型列车为例，轴质量为14 t，LMA型磨耗踏面，滚动圆半径为430 mm，根据Hertz弹性接触理论，可求得k为1.1718×106kN/m；Δ()为轮轨不平顺输入。在得到动态轮轨力幅值后，按照式(1)和式(8)即可以计算车辆−轨道−桥梁耦合系统的动态响应。

2 系统的动力学响应

计算采用的车辆为CRH2型高速列车车辆。轨道结构为CRTS−I型板式无砟轨道，高架桥梁为我国高速铁路单线32 m简支箱梁桥，动力学参数如表1所示。

表1 模型的计算参数

2.1 单位简谐荷载激励

在钢轨上施加单位简谐荷载时，得到的轨道−桥梁相互作用系统的动力学响应就是轨道−桥梁相互作用系统的动柔度。轮轨力可以看作是一系列一定频率的简谐力的叠加，因此，分析轨道−桥梁相互作用系统在单位简谐荷载作用下的响应，能够在一定程度上反映轨道−桥梁相互作用系统的动力学特性。

在桥梁跨中截面的钢轨上(扣件跨中)施加单位简谐荷载，以1 Hz为步长计算系统的导纳。由于桥梁跨中截面位于2个轨道板间的间隙中，故取靠近桥梁跨中截面扣件下的轨道板的垂向位移响应及桥梁跨中截面上钢轨和桥梁的垂向位移响应为研究对象。轨道−桥梁相互作用系统的动柔度幅值和其相位分别如图2和图3所示。

1—钢轨；2—轨道板；3—桥梁。

从图2可知：在200 Hz以下频率范围内，轨道板的垂向位移响应和桥梁的变化趋势几乎是一致的，轨道板在此频率范围的位移响应幅值出现了3个峰值，也是伴随着桥梁结构的位移响应幅值的峰值出现的，因此，可以推断在垂向简谐荷载作用下，200 Hz以下频率范围内轨道板是随着桥梁在垂向产生振动的，在特别是在20 Hz以下，轨道板的位移幅值和桥梁的完全一致。在9 Hz左右钢轨、轨道板和桥梁的垂向位移幅值同时达到最大值，而此频率正是桥梁结构的一阶竖弯频率。

而频率在25 Hz以上时，钢轨的垂向振动位移幅值比轨道板的大；仅频率在4~7 Hz范围时，桥梁的垂向振动位移幅值稍比轨道板的大，而在其他频率范围时都比轨道板的小；随着频率的增加，钢轨的垂向振动位移幅值大于轨道板的垂向振动位移幅值，轨道板的垂向振动位移幅值大于桥梁的垂向振动位移幅值，并且它们之间的差值越来越明显。钢轨、轨道板和桥梁都在轨道−桥梁相互作用系统的自振频率处出现峰值，因此，可推断这些系统自振频率对钢轨、轨道和桥梁振动都有较大的影响。

1—钢轨；2—轨道板；3—桥梁。

从图3可知：当频率在6 Hz以下时，钢轨的动柔度相位角比轨道板的大，而轨道板的动柔度相位角比桥梁的大，而在6 Hz左右时三者都急剧减小；钢轨的动柔度相位在6~165 Hz范围内几乎保持不变，在一阶pinned-pinned频率(970 Hz左右)钢轨的动柔度相位发生了突变；在300 Hz左右轨道板的动柔度相位幅值突变为最大；在100~450 Hz桥梁的动柔度相位出现4个大于零的峰值，并依此减小；整个频率范围内，钢轨的动柔度相位角始终处于负值，而轨道板与桥梁的比较复杂，特别是在1 000 Hz以上，随着频率的增加，轨道板和桥梁的动柔度相位呈现较明显的震荡趋势。

结构振动衰减率用来表示结构上随着距离激励点距离改变振动衰减的特性[16]，定义为

式中：0为激励点处结构振动位移；z为距离激励点处结构振动位移。

在桥梁跨中截面的钢轨上(扣件跨中)施加单位简谐荷载，分别在钢轨、轨道板和桥梁上沿钢轨方向取距离点=6.25 m处结构的振动，分析振动在高架轨道系统中的纵向衰减。图4所示为振动在钢轨、轨道板、桥梁沿纵向上衰减的情况。

从图4可知：在77 Hz左右钢轨的振动沿纵向的衰减达到最大值，而在此频率轨道板和桥梁的振动沿纵向的衰减却达到1个谷值。钢轨的振动沿纵向的衰减在钢轨−扣件系统的自振频率(230 Hz左右)和第一个pinned-pinned频率达到峰值，轨道板和桥梁的振动衰减率在其自身固有频率处都会产生峰值或谷值。总体来看，钢轨的振动沿纵向的衰减在1 000 Hz以下衰减较明显，而在1 000 Hz以上高频段钢轨沿纵向的衰减较小。钢轨振动沿纵向的衰减率变化较简单，轨道板和桥梁的振动沿纵向的衰减率变化较复杂。

(a) 钢轨；(b) 轨道板；(c) 桥梁

2.2 轮轨几何粗糙度激励

由于我国对高铁的研究是近十几年才开始的，尚没有能反映我国高铁轮轨组合粗糙度谱，计算中采用文献[15]中给出的一组考虑轮轨接触滤波效应的轮轨组合粗糙度谱，如图5所示。利用建立的高速车辆−轨道−桥梁耦合动力学模型，求解车速为250 km/h时系统的垂向振动响应。图6所示为车轮速度为250 km/h时轮轨组合粗糙度激励下的4组垂向轮轨动态相互作用力幅值，图6中的1，2，3和4分别对应图1中垂向轮轨动态相互作用力的下标。取第三位轮对所在横截面内的钢轨、轨道板和桥梁为分析对象，车速为250 km/h时它们在轮轨组合粗糙度激励下的垂向振动加速度幅值见图7。

图5 轮轨组合粗糙度谱(考虑接触滤波的影响)[14]

图6 轮轨组合粗糙度激励下的垂向轮轨力幅值

(a) 钢轨；(b) 轨道板；(c) 桥梁

由图6可以看出：4个轮对上的垂向轮轨动态相互作用力幅值变化趋势是一致的，总体上看，当频率低于50 Hz时，随着频率的增加而增加；在50~210 Hz频段内，随着频率的增加而减小；在210~970 Hz，随着频率的增加总体上增加；当频率大于970 Hz时，随着频率的增加，4个轮对上的垂向轮轨动态相互作用力幅值总体上减小。4个轮对上的垂向轮轨动态相互作用力幅值的最大值为47 142 N。

由图7可知：钢轨垂向振动加速度幅值在低频段很小，在500~3 500 Hz频段特别是1 000 Hz左右，钢轨垂向振动加速度幅值比较大，在一阶pinned- pinned频率(970 Hz左右)达到最大值963.6 m/s2。轨道板的垂向振动加速度幅值主要集中300~1 500 Hz的中高频段，在一阶pinned-pinned频率附近达到最大值16 m/s2，主要是一阶pinned-pinned频率施加到轨道板上的扣件弹性力而导致。桥梁垂向振动加速度幅值主要集中在300 Hz以下的低频段。

总体上看，低频区域钢轨的垂向振动加速度幅值较小，高频区域钢轨的垂向振动加速度幅值较大；桥梁的垂向振动加速度幅值主要集中在低频区域，而在高频区域较小。

2.3 轨道谱激励

国内关于高速铁路运用条件下的轨道谱尚没有全国代表性的轨道谱分析式和标准，国外典型的高速铁路轨道谱标准为德国高速轨道谱。德国高速轨道谱的波长范围为1~100 m，当高速列车通过时激发的系统振动为低频振动，而短波不平顺功率谱能够激发系统的高频振动，常用的短波不平顺功率谱为Sato谱。本节以德国低干扰谱高低不平顺(波长范围为1~100 m)和Sato谱(波长1 m以下)为激励，利用建立的高速车辆−轨道−桥梁耦合动力学模型及本文作者在文献[18]中采用的虚拟激励法，求解车速为250 km/h时系统的随机振动响应。Sato谱表达式为

式中：和是由轨道状态决定的参数，本文选择轨道状态为好时的值，=0.065，=3.06。

图8所示为车速250 km/h时垂向轮轨动态相互作用力幅值谱密度。取图1所示车辆3号轮对所在平面内的钢轨(轮轨接触点处)、轨道板及桥梁的垂向随机振动位移响应为研究对象，当车速为250 km/h时，德国低干扰谱激励下车辆−轨道−桥梁相互作用系统的随机振动垂向加速度功率谱见图9。

从图9可以看出：在车速为250 km/h时，波长为1~100 m的德国低干扰谱激发的车辆−轨道−桥梁相互作用系统的随机振动为70 Hz以下的低频振动，系统70 Hz以上的振动是由Sato谱激发的；随着频率增加，垂向轮轨力幅值谱在70 Hz左右和650 Hz左右有2个突出的峰值，因此，垂向轮轨力幅值谱整体上呈现先增加后减小再增加再减小的趋势。钢轨在650 Hz和970 Hz左右的垂向振动加速度功率谱达到最大值，后者是由于钢轨振动的pinned-pinned频率引起的。轨道板的垂向振动加速度功率谱在650 Hz左右达到最大值，在1 200 Hz以上轨道板的垂向振动加速度功率谱很小。桥梁的垂向振动加速度主要集中在300 Hz以下的低频段，当频率高于300 Hz时，桥梁的垂向振动加速度功率谱几乎为零。

图8 垂向轮轨力幅值谱

(a) 钢轨；(b) 轨道板；(c) 桥梁

3 结论

1) 随着频率的增加，钢轨的垂向动柔度幅值大于轨道板的动柔度幅值，轨道板的动柔度幅值大于桥梁的动柔度幅值。在整个频率范围内，钢轨的动柔度相位角始终处于负值，而轨道板与桥梁的动柔度相位变化比较复杂，特别是在1 000 Hz以上随着频率的增加呈现较为明显的震荡趋势。钢轨振动沿纵向的衰减率变化较简单，在1 000 Hz以下衰减较明显而在1 000 Hz以上衰减较小，轨道板和桥梁的振动沿纵向的衰减率变化较复杂。

2) 在车速为250 km/h时，在轮轨几何不平顺激励下或在德国低干扰谱及Sato谱激励下，钢轨垂向振动加速度主要集中在500~3 500 Hz频段特别是1 000 Hz左右，钢轨垂向振动加速度较大，而在低频段很小；轨道板的垂向振动加速度主要集中300~1 500 Hz的中高频段；桥梁垂向振动加速度主要集中在300 Hz以下的低频段，在300 Hz以上几乎为零。

3) 利用动柔度思想建立的频域车辆−轨道−桥梁垂向耦合动力学模型，具有逻辑清晰、求解快速的特点，能够直接求解系统在频域的动力学响应。

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(编辑 杨幼平)

Vertical vehicle−track−bridge coupling vibration based on dynamic flexibility method

SHI Guangtian1, YANG Jianjin1, YANG Xinwen2, ZHANG Xiaoan1

(1. School of Mechat ronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. School of Transportation Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)

A frequency domain dynamic model of vehicle−track−bridge vertical coupling system of high-speed railway was established by using the dynamic flexibility method. The vehicle subsystem was treated as the multi-rigid-body system with 10 degrees of freedom, and its dynamic flexibility was deduced by using the dynamic flexibility method. The rail, slab and bridge were respectively considered as the infinite Timoshenko beam, the freedom-freedom Euler beam and the simply supported Euler beam, and the fastener system and CA mortar layer were modeled as linear elastic and damping elements. Therefore, a vertical track-bridge dynamic interaction subsystem was developed, and its dynamic flexibility was also deduced by using the dynamic flexibility method. Using linear Hertz contact theory, the vehicle system and the vertical track-bridge dynamic interaction subsystem were coupled into a vertical vehicle-track-bridge coupling dynamic system. The dynamic responses of the track and the bridge, respectively excited by the unit harmonic force and the wheel/rail geometric irregularity, were calculated. Finally, combined with the pseudo-excitation method, the random vibration responses of the track and the bridge excited by the track spectrum were also calculated. The results show that the vehicle-track-bridge coupling dynamic model proposed in this paper has the characteristics of clear logicality and fast computation, and it can directly solve the dynamic responses of system in the frequency domain.

coupling vibration; random vibration; dynamic flexibility; vehicle−track−bridge coupled dynamics; high speed railway

U211.5 U213

A

1672−7207(2017)04−1119−08

10.11817/j.issn.1672−7207.2017.04.036

2016−04−08；

2016−06−23

国家自然科学基金资助项目(51165017)；兰州交通大学校青年基金资助项目(2015025)(Project(51165017) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2015025) supported by the Youth Fund of Lanzhou Jiaotong University)

石广田，博士，教授，从事轨道交通系统动力学研究；E-mail：shigt@mail.lzjtu.cn