时空背景与表象空间

倪盼睿

【摘 要】文章通过讨论跃迁振幅与时空线元之间的关系、表象空间中线元与能量-动量张量时间分量之间的关系，得到了路径积分在四维时空背景下以及用无限小生成算符表述的形式、表象空间与四维时空之间的对应关系，以及时空曲率张量如何影响表象空间里的曲率，同时揭示了弯曲时空下动量算符对于抽象指标的测不准原理。

【关键词】表象空间 跃迁振幅 时空线元 路径积分

在量子力学中，我们可以用路径积分来计算跃迁振幅，并且此时的路径已经是在四维时空意义下的了。现在的问题是如何写出四维时空意义下每个路径的相因子，以及其与量子算符之间的联系。另外，抽象量子态矢可以看作是时间参数的单参函数，那么一个随时间演化的量子事件在所有表象中对应的保长不变量，即几何量上的线元，是可以通过作差来计算的。

一、路径积分在四维时空背景下以及用无限小生成算符表述的形式

（一）坐标表象特征值微元的无限小生成算符表达

我们首先写出无限小生成算符的表达形式：

（1.1.1）

其中I是单位矩阵，通过移项，我们可以得到：

（1.1.2）

此时可以取左边矩阵的对角元，即：

（1.1.3）

考虑到量子态的归一性，最终有：

（1.1.4）

（二）路径积分新的表述形式

经典的路径积分具有如下的形式：

（1.2.1）

其中的Lagrange量是一个附在运动路径上不随坐标改变的标量，在四维时空中我们就可以找到这样的一个量，即时空线元长度。此时式（1.2.1）改写为：

其中J是变换矩阵。现在利用式（1.1.4），有：

现在出现的问题在于，此时的路径积分不一定是Gauss型严格可积的，因为其中的Lagrange量并不一定是的二次型，但是我们可以假设如果Lagrange量是的二次型，此时路径积分严格可积。此时要求度规张量是对角化的，我们得到：

此时由于跃迁振幅的连续性条件，有：

最终我们得到跃迁振幅Gauss可积情形下的一个积分结果：

（1.2.6）

现在我们来讨论其与变分为零的经典路径之间的联系。我们在经典路径周围对每个路径的相因子做级数展开，有：

此时先讨论较大的时候，此时当趋近于零时相因子是均匀分布在上的，因此积分的结果为零；而当与同阶趋近于零时：

此时：

而在这里S0对应的经典路径应该满足弯曲时空中的测地线方程。

（三）弯曲时空下动量算符对于抽象指标的测不准原理

在量子力学中我们已经知道了如下表达式：

（1.3.1）

（1.3.2）

而由标架表示的黎曼曲率张量也是被定义成对易子的形式，因此我们可以写出含曲率张量的不准原理。

将黎曼曲率张量用标架表示，有：

联立式（1.3.1），有：

（1.3.4）

比较式（1.3.2），得：

故最终我们得到的弯曲时空下动量算符对于抽象指标的测不准原理为：

（1.3.6）

二、表象空间与四维时空之间的对应关系

在前文中我们已经提到如何计算表象空间中一个量子事件对应的线元，附在其上的参数不是别的，正是时间量t：

此时将能级用能量-动量张量的时间分量表示出来，而不同的能级对应的能量-动量张量的时间分量表示不同的实验结果：

进一步地，运用Einstein引力场方程，我们可以很直观地看到表象空间线元与四维时空曲率之间的对应关系：

其中c是光速，G00是Einstein张量的分量，G是引力常量。

再者，表象空间中一个量子事件的曲率可以通过下式计算：

（2.1.4）

最終我们得到了如下等式：

上式直接给出了表象空间中一个量子事件的曲率与四维时空曲率之间的对应关系。