令人着迷的梅森素数

邵红能

2016年1月7日，美国数学家库珀发现第49个梅森素数274207281-1，即2的74207281次方减1。这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65千米！

梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。所谓梅森数，是指形如2p-1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp 。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若2n-1是素数，则指数n也是素数;反之，当n是素数时，2n-1却未必是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。

是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一，300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为 “数海明珠”。

梅森素数的神秘诞生

1588年9月8日，数学家梅森出生在法国奥泽的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。

梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美誉。他是17世纪欧洲科学界一位独特的、极具魅力的人物，他学识广博、才华横溢，是当时法国许多科学家的密友。当时，大多数科学家喜欢以相互通信的方式交流科学思想，许多数学家都乐于将研究成果寄给梅森，然后凭借他热情诚挚的性格和丰富的社交圈，研究成果会在科学界广泛传播开来。梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学的交换站”。由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p-1型的数，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将2p-1型的数称为梅森数，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）;如果Mp为素数，则称之为梅森素数。

在梅森研究2p-1型的素数之前，法国数学家费马曾与他进行过相关交流。1640年6月，费马在给梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我自信它们将成为今后解决素数问题的基础。”这封信讨论了形式为2n-1的素数。2n-1最早出现在欧几里得《几何原本》（公元前300年左右）第九章命题6中。梅森以此作为基础，花4年时间研究、检验了直至2257-1的全部数，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中写道：“总结前人的工作和我个人的研究，可以得到结论：在n小于或等于257的数中，仅当n=2、3、5、7、13、17、19时，2n-1是素数，并猜想n=31、67、127和257时，2n-1是素数;对于n<257的其他数值，2n-1都是合数。”

梅森提出的大胆猜想，可以大大缩短寻觅最大素数的验证范围。梅森素数的验证工作是十分艰辛与繁重的，n=31、67、127和257时的几个数比较庞大，其中最小的 231-1=2147483647也具有10位数字，是近20多亿的大数，正如梅森推测：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的！”是啊，枯燥、冗长、单调、刻板的运算会耗尽一个人的毕生精力，谁愿让生命的风帆永远在黑暗中颠簸？

虽然人们非常想知道梅森猜想的根据和方法，然而年迈力衰的梅森来不及留下猜想过程，便在1648年去世了。人们的希望与梅森的生命一起泯灭在流逝的时光之中。梅森曾于1644年猜想：“267-1是个素数。”当时，人们对其猜想深信不疑，连德国大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为他是对的。也许是因为梅森的名气太大了，因此，没有人敢对其断言表示怀疑。

不过，1930年在美国数学协会的年会上，数学家科尔做了一次精彩的演讲，他提交的论文题目是“关于大数的因子分解”。在“演讲”过程中，他始终一言不发，只是默默地在黑板上进行计算。他先算出267-1的结果，再算出193707721×761838257287的结果，两个结果完全一样。科尔第一个否定了“267-1是个素数”这一自梅森猜想以来一直被人们相信的结论，其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩。这个“一言不发的演讲”成了科学史上的佳话。会后，人们问科尔：“你花费多少时间来研究这个问题？”他静静地说：“三年的全部星期天。”后来，这一传奇的“演讲”使他当选为美国数学协会的会长。他去世后，该协会专门设立了“科尔奖”，用于奖励做出杰出贡献的数学家。

同时，科尔的这场无言的演讲，为人们探索梅森素数提供了有力的精神支持，解放了数学家的思想，并掀起了研究梅森素数的热潮。

梅森素数的搜索历程

在“笔算纸录”的年代，人们历尽艰辛，才找到12个梅森素数，而计算机的诞生加速了梅森素数的探究进程。1946年第一台计算机诞生了，寻觅梅森素数即最大素数的工作从手工变为计算机。1952年，数学家鲁滨逊等人将鲁卡斯-雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203、M2281。

探究梅森素數不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。

1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息，《芝加哥论坛报》还把这一消息作为头版头条来报道。发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳，这一做法一直延续到1976年该系数学家证明著名的“四色定理”为止。endprint

1971年3月4日晚，塔可曼使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M19937。而到1978年10月，世界几乎所有的大新闻机构都报道了以下消息：两名年仅18岁的美国高中生诺尔和尼科尔使用CYBER174型计算机找到了第25个梅森素数：M21707。此后，数学家们利用各种最新的计算机产品，不知疲倦地在巨大的天文数字运算中继续寻觅梅森素数。1983～1985年的两年里，数学家史诺云斯基用当时最快的计算机分别求得三个梅森素数。1991年，有数学家又发现史诺云斯基漏掉的梅森素数M110503。1992年3月，英国数学家宣布，在一台巨型计算机CRAY-2上又发现一个梅森素数M796839，它有227832位数字，是当时发现的最大一个素数。若把这些数字印成书，可达180页左右，不过这将是一本十分枯燥的书。

“互联网梅森素数最大搜索”项目（GIMPS）是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目，该项目希望联合全球所有乐于奉献的数学爱好者们的计算机，使用Prime95或 MPrime軟件来寻找梅森素数。为了激励人们寻找梅森素数和促进网络技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元奖金。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元;超过1亿位数，15万美元;超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

2000年4月6日，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特瓦拉得到了一笔5万美元的悬赏奖金，因为他找到了当时已知的最大素数，这是一个梅森素数：26972593-1。可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家，他甚至很可能对寻找素数的数学理论一无所知——虽然这使他赢得了这笔奖金。他所做的一切，就是从互联网上下载了一个程序。

目前，科学家的最新发现是第49个梅森素数，它是由美国密苏里大学的数学家库珀在GIMPS项目中发现的。梅森素数是否有无穷多个？数学家与计算机专家正在疾蹄奋进地努力工作，去发现新的最大的梅森素数，去攻克这一古老难题。

寻找梅森素数的意义

为什么要寻找梅森素数？作为人类智慧的结晶，梅森素数的定义简单，却又如此神秘莫测。多年来，经过无数代人的辛勤工作，我们一共只收集到49个梅森素数，它们是非常稀少的，对于数学家来说，收集梅森素数和收集钻石一样富有乐趣。

梅森素数的分布极不规则，在长期的摸索中，数学家也提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，以近似表达式给出，而与实际情况的接近程度均未尽如人意。

我国数学家周海中是这方面研究的领先者，他运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年2月首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便;后来，这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威裔数论大师、菲尔茨奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法。”

梅森素数的搜索与发现可以极大地推动密码学的研究与发展。梅森素数的搜索是发现最大素数的最有效的途径，如由苹果公司著名科学家克兰多尔所发明的“快速椭圆加密系统”，就将梅森素数应用于快速加密和解密信息。梅森素数的搜索，促进了分布式计算与程序设计的发展。迄今，梅森素数的搜索不仅仅需要设计良好的分布式体系结构，还需要不断改进的数值计算方法和巧妙的算法设计艺术。

人类在不断地挑战和创造新记录的过程中可以不断地认识自我，梅森素数的搜索正好是对人类智力、意志的极限的一种挑战。人类对真理的执着追求，让人想起国际著名数学家希尔伯特那句名言：“我们必须知道，我们必将知道。”

【责任编辑】张小萌endprint