级联型H桥逆变器的阶梯波特定消谐技术研究

马昕雨

摘 要：在高压、大功率场合，级联型多电平逆变器得到了越来越多的应用。该文围绕级联H桥逆变器SHEPWM非线性方程组的求解问题，分别采用了牛顿法和模拟退火算法求解该非线性方程组，在对两种算法进行比较的同时，分析了H桥逆变器级联数目和调制比对输出波形改善和方程求解的影响，并利用Multisim仿真对结果进行了检验，最后提出了级联型多电平逆变器的最优控制策略。

关键词：牛顿法 模拟退火算法 Multisim仿真 回归分析

中图分类号：TM464 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）03（b）-0245-08

级联型多电平变换器由若干个变换器模块单元串联而成以实现高电压、多电平的输出。级联型多电平变换器模块单元常采用3电平为输出的H桥变换器单元。

特定谐波消除脉宽调制技术（Selected Harmonic Elimination Pulse Width Modulation，SHEPWM）通过选择特定的开关时刻，在满足期望的输出基波电压的同时，来消除选定的低次谐波，进而改善输出电压的波形质量。由于级联型多电平变换器输出电压是各H桥变换器单元输出电压的叠加，电平数的增加可使输出的阶梯形电压更加接近正弦波，进一步减少谐波含量。

在级联型H桥变换器系统中，对于第i个H桥变换器单元，当或开通时输出0电平，即输出电压为0；当开通时输出1电平，即输出电压为；当开通时输出-1电平，即输出电压为；对于级联型H桥变换器整体输出电平数可为。

当H桥变换器单元直流侧独立电压都为时，可输出电平数的阶梯型电压，单个H桥变换器的输出波形总是具有半波奇对称性和1/4对称性。

通过对该波形进行傅里叶级数分解，对于的第个奇数次谐波的幅值可表示为：

对于个H桥变换器单元的级联型变换器系统，在满足期望基波电压幅值的条件下可消去特定谐波的数量为 （n-1）。设触发角为，输出电压的基波分量幅值为。定义调制比幅值。

根据上述约束条件可写出关于的非线性代数方程组：

同时基于阶梯波特定消谐技术的输出电压波形质量，可通过总电压谐波畸变率（Total Harmonics Distortion，THD）来描述，如下式：

在此基础上，该文在不同的级联模块数和调制比下，求出能消除特定次数谐波的相应开关角以及THD，并探讨分析在相同值下，不同模块数所对应的开关角的相互包含关系，分析随着模块数增加，输出电压波形质量的改善特性。最后针对模块数的级联型H桥变换器系统，结合阶梯波调制和辅助控制方法确定最优控制各模块开关策略。所以，解决问题的关键在于求解非线性方程组（2），并根据总电压谐波畸变率来衡量所得解的优劣。非线性方程组的求解方法，是多电平逆变器SHEPWM 方法及其在线实现的前提和基础。非线性方程组求解的关键，包括高质量初值的选取和高效率的迭代算法两个方面。采用三角载波正弦脉宽调制（sinusoidal pulse width modulation， SPWM）法求取SHEPWM 问题初值的方法，对提高初值求取速度和成功率有较好的效果，但三角载波SPWM方法较适合于硬件电路实现，用于以DSP为核心的三电平逆变器数字控制系统中求取初值，有较大的困难。

考虑到根据非线性方程组不同解法的优缺点，该文用牛顿法和模拟退火算法两种算法进行计算比较。然后横向分析两种算法得到的结果的差异，再纵向分析调制比和级联H桥逆变器数目对波形改善的影响。最后得到最佳的调制比和级联H桥数目。

1 牛顿法

1.1 模型建立

将非线性方程组（2）改写为：

牛顿法是解上述非线性方程组最常用的有效方法，它可看成是时单个方程牛顿法的推广。

设为方程（2）的近似解，在处展开可得：

它可表示为向量形式：

这里就是在处的雅可比矩阵，求此线性方程组的解，并记作，当非奇异时，则得

称为解方程组（2）的牛顿法。

1.2 模型求解

由于牛顿法求解非线性方程组对初值的设置要求很高，为了避免最后结果不收敛，求解中降低了对结果精度的要求，并减小了总的迭代次数，最后得到如下结果，见表1。

从上述结果可以看出，牛顿法对三元非线性方程组求解的结果较好，THD均小于0.5%，即在计算3个H桥变换器级联的时候用牛顿法求解的结果可以接受。但5个H桥变换器级联的时候THD较大，说明对谐波的消除效果不好，因此未继续增加H桥逆变器的级联数目，后面将采用更精确的算法进一步计算。

2 模拟退火算法

2.1 模型建立

模拟退火算法首先要实现标准进化策略。实现过程如下所述。

（1）確定问题的表达方式，这种表达式中个体由目标变量和标准差两部分组成，每部分又可以有个分量，即：

和之间的关系是：

其中，为父代个体的第个分量；为子代新个体的第个分量；为服从标准正态分布的随机数；为针对第个分量重新产生一次符合标准正态分布的随机数；为全局系数，常取1；为局部系数，常取1。（9）式表明，新个体是在旧个体基础上随机变化而来。

（2）随机生成初始群体，并计算其适应度。进化策略中初始群体由个个体组成，每个个体内又包含个、分量，产生初始个体的方法是随机生成。为了便于和传统的方法比较，可以从某个初始点出发，通过多次突变产生个初始个体，该初始点从可行域中用随机方法选取，初始个体的标准差。

（3） 计算初始个体的适应度，如若满足条件，终止；否则，往下进行。

（4） 根据进化策略，用下述操作产生新群体。

①重组：将两个父代个体交换目标变量和标准差，产生新个体。一般目标变量采用离散重组，标准差采用中值重组。

②突变：对重组后的个体添加随机量，按照式（9）产生新个体。

③计算新个体适应度。

④选择：按照选择策略，挑选优良个体组成下一代群体。

（5）反复执行（4）直到达到终止条件，选择最佳个体作为进化策略的结果。

2.2 模拟退火算子

该文将进化策略的当前进化代数作为模拟退火的退火时间，根据相关文献中提出的模拟退火温度更新函数的启发式准则，从而确定了模拟退火的温度更新函数和随机向量的产生方式。

2.2.1 模拟退火操作具体步骤

（1）设模拟退火初始温度为，进化策略当前群体中的个体记为，。为群体中的个体数目，为非线性方程组中变量的个数。当前进化代数对应的温度更新函数为；，式中≥1为给定常数。

（2）通过下式产生随机向量：

其中，；；为上均匀分布的随机数为符号函数。

（3）在的基础上产生一个新的试探解，并计算其对应的适应度和新试探解被接受的概率：

其中，是对目标函数进行适当比例变换的常数，它适合于目标极小化。

（4）产生上的均匀分布的随机数，若，则接受新试探解，即置。对种群中的个体均进行上述的操作。

2.2.2 改进的进化策略算法

一维柯西密度函数集中在原点附近，定义为：

其中，为比例参数。相应的分布函数为：

密度函数类似于高斯密度函数，其差异主要表现在：柯西分布在垂直方向略小于高斯分布，而柯西分布在水平方向上越接近水平轴，变得越缓慢，因此柯西分布可以看作是无限的。根据柯西分布和高斯分布的相似性和柯西分布具有较高的两翼概率特性，即柯西分布有一条很长的尾巴。所以，柯西分布容易产生一个远离原点的随机数，它比高斯突变产生的随机数具有更宽的分布范围，如果用柯西突变来产生后代，这就意味着利用柯西突变有可能很快跳出局部极小的区域。但是，它的较小的中央部分却是它的一个弱点，使得它在进行更精确的局部搜索方面的性能降低，而高斯突变算子可以使子群在局部空间尽可能的细致搜索。为了既能发挥柯西突变算子产生大的突变能力，以减小陷入局部最优点的危险，又能利用高斯突变算子局部搜索能力佳的优点，以提高收敛速率。在此处使用一个折衷的方案，将柯西突变算子和高斯突变算子结合起来，定义一个新的突变算子，称之为“平均突变算子”（mean mutation operator， MMO）。所以，新的突变形式为：

式（15）中的即为平均突变算子，其中参数是的一个柯西分布的随机变量比例参数，用于更新每一个分量，其他的参数与式（9）中的相同。

2.3 模拟退火算法的进化策略求解非線性方程组

算法流程：

设方程组是个方程个未知量的方程组

（1）确定个体的表达方式：表达式中个体由目标变量和标准差两部分组成，每部分有个分量，即：

其中，为非线性方程组中变量的个数。

（2）随机生成初始群体：进化策略中初始群体由个个体组成，每个个体内包含个、分量，产生初始个体的方法是随机生成，初始个体的标准差。

（3）计算适应度：设，则方程的解是使的值。取适应度函数，则方程组的精确解即是使时的值。因而的值越小，方程组解的近似程度越好。终止条件选择一个很接近0的值，当最小适应度小于等于时终止。

（4）如果满足条件，终止，选出最优解；否则，继续往下进行。

（5）根据进化策略，用下述操作产生新群体：

①重组：随机选择2个个体，产生一个新个体。其中目标变量采用离散重组，标准差采用中值重组。

②突变：对重组后的个体添加随机量，按照式（15）产生新个体。

③计算新个体的适应度。

④此时引入模拟退火算子，对突变后的个体进行模拟退火过程，生成新的个个体。

⑤选择：采用选择策略，挑选优良个体组成下一代群体。

⑥反复执行（5），直到达到终止条件，选择最佳个体作为进化策略的结果。

2.4 模型求解

表2可以看出在3个H桥逆变器级联时模拟退火算法求得的开关角所对应的THD均在0.15%以内，可以说明结果精确度很高。在5个和15个H桥逆变器级联时求得的开关角所对应的THD也均在0.36%和1.8%以内，进一步说明了退火算法的精确性。

2.5 较多数目H桥逆变器级联时的讨论

当20个H桥逆变器级联时，由于级联的数目较多，再用THD衡量其对波形的改善变得不全面，这里综合均衡变换功率以及产生波形的质量制定了新的评定标准，再次利用模拟退火算法求得的开关角集合见表3。

可以看出，当20个H桥逆变器级联时，取m =0.7，触发角从小到大见表4，是最优的控制策略。

3 结果分析

3.1 模型对比

理论上牛顿法和模拟退火法都能找到最优解，但通过前面的模型建立和求解，可以发现这两种算法都有着鲜明的特点，在实际应用中分别适用于各自相应的范围。

牛顿法的最大优点在于迭代速度快，程序简单，适用于数据量较大的计算，牛顿法除了在三电平逆变器SHEPWM非线性方程组的求解中有广泛应用，电力系统的潮流计算最常用的也是牛顿拉夫逊算法，这都说明了牛顿法操作简便易于求解。但在对精度要求较大的科学计算中，牛顿法又因为其对初值要求高，Hesse矩阵可能是奇异矩阵导致结果不收敛而存在局限性。在该文中牛顿法最后的求解也存在较大误差。

模拟退火法相比于牛顿法来说求解精度大大提高，并且对初值的要求低，避免了繁琐的初期数据处理。另外，模拟退火法对目标函数的边界条件没有要求，适用于大部分实际问题。相比于其他启发式算法，模拟退火法不但能寻求到全局最优解，并且程序较为简单。但和牛顿法相比，模拟退火法的计算大，程序复杂并且运行时间长。

3.2 数据分析

针对模拟退火算法求解的开关角以及对应的THD，从不同调制比对THD的影响、不同调制比对开关角选择的影响以及不同调制比下开关角的包含关系三个方面分析数据。

（1）不同调制比对THD的影响见图1。

可以看出，当级联的H桥逆变器数量越少时，相对应的THD越小，而当级联的H桥逆变器数相同时，不同的调制比对THD基本无影响的影响。可以理解，当级联的H桥逆变器数量越多时，迭代求解的次数越多，涉及的相关参数也越多，因此导致误差较大。

（2）不同调制比对开关角的影响见图2。

可以从折线图看出，随着调制比从小到大变化，开关角呈现先减小后增大的趋势，并且在调制比小的时候开关角更分散，调制比越大开关角的分布越集中。说明调制比的大小影响了开关角的取值范围的大小，在实际应用中应该选取适宜的调制比，以给开关角的选择留取充分的裕量。

（3）不同调制比下开关角的包含关系见图3。

根据所求的数据，利用SPSS进行回归分析，得到结果如图3。为了简便只选取了0.7、0.8、0.9、1四个调制比，但可以清楚地看出，当级联的H桥逆变器数目越大时，其对应的开关角包含级联的H桥数目小的开关角。即较大时对应的开关角包含较小时对应的开关角，这样会在实际生产应用中可以大大简化计算。

综上所述，并不是级联的H桥逆变器数目越多，对输出波形的改善越好，同时调制比越大，开关角的可选取范围越小，当调制比大时对应的开关角包含调制比小时对应的开关角。

4 仿真实验

在上述建模分析之后，为了更进一步的明确结果，我们利用退火模拟法求得的数据，通过Multisim进行了仿真实验。仿真结果见图4。

通过仿真我们可以得出以下结论：

（1）通过仿真结果可以清晰地看出，在一定范围内，级联的H桥逆变器数量越多，输出的波形越接近于正弦波。

（2）当级联的H桥逆变器数目超过15个时，波形会发生一定的畸变，如图4，，，在15个和20个H桥逆变器级联时，正弦波会呈现近似尖顶波的趋向。

（3）级联的H桥逆变器不一定越多越好，如图4，和相比，20个H桥逆变器级联比15个H桥逆变器级联波形畸变更严重。

综上所述，当级联的H桥逆变器数目超过一定范围的时候，此时会对波形的改善产生负面影响，总体趋势是波形的质量随着级联的H桥逆变器数目先提高后降低。

5 总结与展望

5.1 模型优点

该文首先利用了传统的牛顿法求解了级联H桥逆变器SHEPWM非线性方程组，同时又使用了模拟退火算法再次对该方程进行了求解，对两种算法的优劣进行了对比，同时得出了两种方法的适用范围，有实际应用意义。在分析H桥逆变器级联数不同对解的包含关系影响时，该文利用了SPSS进行回归分析，同时用散点图简单明了的展示了结果。

5.2 模型缺点

由于牛顿法和模拟退火法本身存在的缺陷，导致当H桥逆变器级联数增多时，方程的收敛效果并不好，并且误差较大。在对20个H桥逆变器级联进行最优控制时，为了进一步简化计算，考虑的因素较少。

5.3 模型展望

该文在传统的牛顿法的基础上使用了启发式算法，适合对精度要求较高并且计算量相对较小时的计算。同时求得了H桥逆变器级联数不同对解的包含关系，对以后的科学计算进行了简化。该文还得出了H桥逆变器级联数对波形改善的影响，得出了并不是级联的H桥逆变器越多对波形的改善越好，对工程设计有实际意义。

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