大学《实变函数》课程教学体会与方法探索

尹秀霞+陈自力

（南昌大学理学院数学系，江西 南昌 330031）

摘要：实变函数论是高等院校数学专业的一门基础专业课。对该课程教学中遇到的各种问题，本文从大量的教学实践中有针对性地提出几条切实可行的教学方法。这些方法能有效地激发学生的好奇心，提升学生的自信心以及提高学生的数学素养。

关键词：实变函数；Lebesgue积分；研究型教学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）21-0205-02

一、引言

《实变函数》课程是高等院校数学系本科极其重要的专业基础课，主要讲述的是本世纪初建立的Lebesgue测度与积分，学生普遍觉得这门课晦涩难懂。作为实分析的主体部分，实变函数在数学的许多领域中，如测度论、分形几何、泛函分析、调和分析、偏微分方程中都产生了极大的影响，可以说是它们共同的基础。然而《实变函数》课程因其自身的特点，如课程展开的方式需要经过漫长的准备、集合论与分析相结合的处理方法、所讨论的函数类范围的扩大以及习题量大而且难做等，都使得学生认为其深奥晦涩、枯燥无味。学习不到一个月，不少学生便对这门课程丧失了信心，更谈不上兴趣；后期的学习情况更糟，甚至对一些基本概念的理解都出现困难。为了更好地实施教学，笔者查阅相关文献资料，从实变函数教学中的点滴体会出发，就《实变函数》这门课程的教学方法进行初步探讨。

二、注重鲜活的人物和故事的介绍

兴趣是最好的老师，如果在教学的过程中能穿插一些与教学内容相关并且非常有趣的故事，不仅能极大地提高学生的学习兴趣，而且还有助于培养学生的创新思维能力。

在实变函数的第一节课中，我是通过阐述1926年Lebesgue本人在哥本哈根的演讲中的形象比喻来介绍Lebesgue积分与Riemann积分的区别的。这个比喻是这样的：“按照Riemann的方法，我们对依自变量x的大小顺序所提供的不可分割的量求和，这有如没有条理的商人数钱，碰到硬币数硬币，碰到纸币数纸币。而我们的做法像有条理的商人，把相同面值的纸币、硬币放在一起，然后再分别计数之后相加，这就是我的积分。”这样一来，即使学生并不知道Lebesgue积分的精确定义，对Lebesgue积分的种种好处也无从得知，但他们至少会记住这个形象的比喻，而这其实就是Lebesgue积分建立所蕴含的基本思想。理解这种思想对以后深入地学习有着事半功倍的作用。而另一个例子的效果更大，通过它学生可以彻底理解无穷大与有限数的区别。这个例子是著名德国数学家Hilbert在讨论无穷大的演讲中的一个小故事：有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了位新客人，店主人说：“对不起，所有的房间都住满了。”有另一家旅店，内设无限多个房间，所有房间也都客满了。这时也有一位新客来临，想订个房间。这时店主人说（留些时间让学生考虑）：“不成问题！”只见他把一号房间里的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到三号房间，三号房间的旅客移到四号房间，等等，这一来，新客人就住进了已被腾空的一号房间。第二天，这个无穷多个房间的旅店各个房间也都住满了。这时来了无穷多位要求订房间的客人。店主人（留些时间让学生考虑）仍然成竹在胸，不紧不慢地说：“好的，先生们，请等一会儿。”他把一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四號房间，三号房间的旅客移到六号房间，如此类推。现在所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人又可以住进去了。

三、积极采用具有启发性而不严格的表述和证明

《实变函数》带有大量严谨、枯燥的证明。在介绍无最大基数的定理时，我举了一个“理发师的悖论”来代替这个抽象的证明。说的是一位乡村理发师声称他的工作是给本镇上所有不给自己刮脸的人刮脸；同时，他绝不给那些给自己刮脸的人刮脸。忽然有天早上他想：“我该不该给自己刮脸呢？”（留些时间让学生考虑）因为如果他给自己刮脸，则据他声称的前一半，他不应给自己刮脸；但如果他不给自己刮脸，则据他声称的后一半，他又应给自己刮。于是理发师陷入矛盾之中，学生不仅被这个故事引得哄堂大笑，还从中领会了“矛盾律”的深刻内涵，效果远远超出对这个定理的抽象证明。又如在总结Lebesgue测度和积分理论的时候，我引入了如下并不严格但极具启发性的Littlewood三原理：①每个可测集“基本上”是区间的并；②每个函数“基本上”是连续的；③逐点收敛的函数列“基本上”是一致收敛的。这三条中都有一个很模糊的词语“基本上”，它的不确定性以及每一条含义的多样性正是Littlewood三原理的妙用。譬如从第二原理出发，就有若干不同的理解。可以理解成Lusin定理：任何可测函数在去掉一个测度充分小的集合之后是连续的。也可以理解成任何可测函数可以表示成连续函数逐点收敛的极限。或者理解为任何绝对可积函数与某个连续函数的差的积分可以任意小。接着从这样的思想出发，我又引导同学们建立了类似的容易感知但不严格的表述。整整一节课，同学们充分讨论了关于它们的各种各样的理解，囊括了《实变函数》这门课中几乎所有重要的知识点。既加深了对已学过知识的理解，又对这门课有了一个较为完整的认识。

四、合理运用研究型教学

不同于传统的教学模式，研究型教学是师生共同建立的将教学的重心逐步由获取知识转移到激发学生的好奇心、求知欲与学习兴趣、培养学生的探索精神、创造思维与创新能力。比如上完控制收敛定理之后，我问大家：“请大家回顾一下控制收敛定理的证明，分析一下控制函数在证明中发挥了什么作用？这个控制函数是不是必须的？”时间在悄无声息中流淌了二十分钟，总算有个同学自告奋勇上来给出了证明。当我要求同学们针对这个证明进行分析从而寻找控制函数在证明中发挥了什么作用时，全堂茫然。于是我进一步引导：控制收敛定理证明的基本思路是将积分域分解成两个部分，在测度较大的集合上，函数序列一致收敛（叶果洛夫定理保证），在这个子集上，积分与极限自然可以交换顺序。在测度充分小的集合上，函数序列的积分被控制函数的积分所控制，此时，函数序列的积分值会不会随着n的变化产生大的变化？这个时候学生才知道，由控制函数积分的绝对连续性可以看出函数序列积分的绝对连续性具有一致性，终于明白只要函数序列积分的绝对连续性是一致的，不一定需要一个可积的控制函数，于是发现了一个新的概念：“积分等度绝对连续函数簇”。在这个分析过程中只有少数学生能够参与，大多数学生仍然一头雾水。接着，将控制函数用函数序列积分的等度绝对连续性取而代之，但暂且加上极限函数的可积性从而分解难度。由于有Lebesgue控制收敛定理的证明在先，完成这个证明并不困难。最后，有学生问道：极限函数为什么是可积的。我对这位勇于思考的学生大加表扬了一番，然后引导大家仔细思考“极限函数的绝对可积性”，因为Lebesgue可积等价于绝对可积。时间又过去了十来分钟，终于有学生小声的说，“是不是要用Fadou引理？”我赶紧鼓励他把想法在黑板上写下来，最后归结到证明函数列的积分一致有界。因此，我问了最后一个问题：“（测度有限的集合上）积分等度绝对连续的函数序列，它们的积分有共同的上界吗？”大家再一次回顾了积分等度绝对连续的概念，终于在共同的讨论中圆满的解决了这个问题。

研究型教学带来的效果是讲授型课堂教学无法比的，但该教学方法很难可持续。以上面Vitali定理为例，如果是老师启发式引导为主，最多一节课就可以完成概念的建立与所有的证明，而按照研究型教学方式展开教学，至少需要两节课。少量的合适的课题、恰当的时机在研究型教学中是必不可少的。

五、结束语

本文总结了实变函数教学中的一些做法与体会。些做法并不完善，有很多需要注意的问题，并且在教学实践过程中，还会不断有新问题出现，需要根据实际情况调整教学方法。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙.实变函数与泛函分析基础[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]宋文，胡艳红.在实变函数教学中渗透数学思想史的体会[J].继续教育研究，2012，（5）：158-160.

[3]熊文俊.浅析高等数学的教学模式改革[J].教育教学论坛，2016，（27）：104-105.

收稿日期：2016-11-07

基金项目：国家自然科学基金No.11601217和No.11426129；江西省自然科学基金No.20151BAB211007

作者简介：陈自力（1985-），男，湖南常德人，讲师，学位：博士，主要从事玻尔兹曼方程经典解的存在唯一性研究。