数列的求和方法概论

宋文铭

摘 要：随着素质教育的不断深入，高考数学试题越来越重视学生数学能力的考查，其中数列的求和就是高考必考的知识点之一，在这个问题上，仅仅掌握等差、等比数列的前n项和公式是远远不够的，为了能够求出较为复杂的数列前有限项之和，本文就公式求和法、颠倒相加法、裂项相消法、错位相减法、分项求和法、并项求和法、归纳求和法、递推求和法等较为重要的、常见的求和方法进行了较为详细的阐述。

关键词：数列；求和；公式求和法；颠倒相加法；裂项相消法；错位相减法；分项求和法；并项求和法；归纳求和法；递推求和法

中图分类号：G638 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）08-0253-02

随着素质教育的不断深入，高考数学试题越来越重视学生数学能力的考查，其中数列的求和就是高考必考的知识点之一，在这个问题上，仅仅掌握等差、等比数列的前n项和公式是远远不够的，为了能够求出较为复杂的数列的前有限项之和，还需要掌握一些其它较为常见的方法。现简介如下，供参考。

1 公式求和法

1.1 方法的来源

等差数列、等比数列的前n项和公式以及一些常见的恒等式：

等差数列的前n项和公式：Sn==na1+

等比数列的前n项和公式：q=1时，Sn=na1

q≠1时，Sn==

常用恒等式：1+2+3+……+n=

1+3+5+……+（2n-1）=n2

2+4+6+……+2n=n（n+1）

12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）

13+23+33+……+n3=n2（n+1）2

1.2 适用的范围

主要适用于由特殊数列尤其是等差数列、等比数列的和、差构成的数列以及可直接利用上述公式的数列的求和问题。

1.3 注意的问题

分组后数列的项数和等比数列中公比是否为1的讨论。

例1：是否存在常数a、b、c，使得等式1·22+2·32+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）对一切正整数n都成立？并证明你的结论！

分析：这是一道全国高考的压轴题。事实上，等式的左边即为数列{n（n+1）2}的前n项和，由n（n+1）2=n3+2n2+n容易看出它实际上是数列{n3}，{2n2}，{n}的和数列，从而可得：

左边=（3n2+11n+10）。

所以使原等式对一切正整数n均成立的常数a、b、c是存在的。a=3，b=11，c=10。

2 首尾相加法（也称颠倒相加法）

2.1 方法的来源

等差数列前n项和公式的推导方法，它是根据数列前n项和的定义，将和式首尾颠倒，并与原和相加，通过求其二倍而求前n项和的方法。

2.2 适用的范围

与首末两项“等距离”的两项之和相等的数列的求和。

2.3 注意的问题：项数的确定

例2：求Sn=C+3C+5C+……+（2n-1）C

分析：由组合数公式C=C（r=0，1，2……n）知，C=C，C=C……同时Sn=（2n-1）C+（2n-3） C+……+3C+C与原式相加得2Sn=2nC+2nC+2nC+……+2nC=2n（C+C+C+C）=2n2n∴Sn=n2n

3 裂项相消法（或拆项相消法）

3.1 适用的范围

主要适用于通项公式为分式或三角形式特别是等差数列相邻或相间项积的倒数列以及算术根和的倒数列的求和。

3.2 注意的问题

一是恰当地拆项（或裂项）。

二是拆项后的消去规律，也就是說是邻项相消还是间项相消。

三是剩余项一般具有对称性。

3.3 常见的裂项

（1）一般地：如果{an}是公差为d的等差数列，那么

（2）常用地：

（3）三角函数的积化差公式。

例3.已知数列{ }的各项如下：1，，，……，，求它的前n项和。

分析：an

所以Sn=a1+a2+a3+……+an=2[（1-）+（-）+（-）+ ……+（）]=2（1-）=

例4.sinα，sin（α+β）， sin（α+2β）， sin（α+3β）， ……sin[α+（n-1）β]的和。

分析：解决这一问题的关键是把各项分别拆成两项使这两项所含角度之差为β。由此，可设法利用三角函数的积化和差公式，为此用2sin乘数列的各项，得

2sin·an=cos（α+β）-cos（α+β）；因此，2sin·Sn=2sin（α+β）sin

∴Sn=sin（α+β）

诚然，裂项相消法的应用还不只题中所述，只要可以将通项拆成两项的差之后，可以相互抵消，都可以使用这种方法，但一定要牢记：拆项是手段，相消是目的。拆项之后抵消不了的话，这种拆项是没有任何作用的。比如=就是一种无效的裂项方式。

4 错位相减法

4.1 方法的来源

等比数列前n项和公式的推导方法。

4.2 适用的范围

它主要适用于由一个等差数列与一个等比数列各对应项的积构成的数列的求和。

4.3 注意的问题

一是其中的等比数列中公比q是否为1的讨论，二是相减后成等比数列的项数。

例5.设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。

（1）求{an}，{bn}的通项公式。

（2）求数列{}的前n项和Sn。

分析：（1）设出{an}的公差d和{bn}的公比q（q>0），则由题设可得d和q的方程组，通过解方程组即得d=2，q=2，于是an=2n-1，bn=2n-1

（2）由（1）可知：，

于是Sn=，

这显然符合错位相减法求和的条件，因此在上述等式的两边同乘以，再两个等式相减即可求出Sn。

例6.设实数a≠0，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg│an│（n∈N*），Sn=b1+b2+……+bn，求证当a≠-1时，对任意n∈N*均有Sn=[1+（-1）n+1（1+n+na）an]

分析：由题设an=a（-a）n-1=（-1）n-1an，

∴bn=（-1）n-1 nan lg│a│∣

∴Sn=alg│a│[1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1]

這将问题转化为如何求和S'=1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1，这是由等差数列{n}与等比数列{（-1）n-1an-1}各对应项之积构成的数列的求和问题，为此，两边同乘以-a得：

（-a）S'n=-a+2a2-3a3+……+（-1）n-1（n-1）an-1+（-1）nnan两式相减即可得证。

5 分项求和法

5.1 适用的范围

主要适用于通项公式为分段函数的数列的求和。

5.2 注意的问题

对项数奇偶性的讨论。

例7.一个数列{an}，当n为奇数时，an=5n+1，当n为偶数时an=，求这个数列的前n项之和。

分析：其中{an}的通项公式显然是分段式的，而且不难发现数列{a2m-1}是以6为首项，公差为10的等差数列，数列{a2m}是以2为首项，公比为2的等比数列，这种发现就决定了此题的解法：

当n为偶数的时候，令n=2m，那么m=n/2，于是

Sn=S2m=（a1+a3+……+a2m-1）+（a2+a4+……+a2m）

=[6m+·10]+=5m2+m+2m+1-2=n2++2n/2+1-2

当n为奇数的时候，可以类似求出，或者利用n为偶数的结论，即n为奇数时，n-1为偶数，Sn=Sn-1+an。

6 并项求和法

6.1 适用的范围

主要适用于正、负项相间的数列的求和问题。

6.2 注意的问题

项数奇偶性的讨论

例8.求数列{（-1）nn}的前n项和Sn。

分析：显然Sn=-1+2-3+4-……+（-1）nn，不难发现，若将相邻两项并作一项再进行计算，可使问题大大简化。当然，n取正奇数和正偶数应分别计算；

当n取正奇数时，Sn=-1+（2-3）+（4-5）+……+（n-1-n）

=-1-1-1-……-1=；

当n取正偶数时，Sn=（-1+2）+（-3+4）+……+（n-1+n）

=1+1+……+1=；当然，最后的结论中Sn要写成分段函数的形式。

7 归纳求和法

当Sn不易直接求出时，亦可先计算出S1，S2，S3……，通过观察，用不完全归纳法归纳出Sn的表达式，再用数学归纳法加以证明。

例9.已知数列：，Sn为其前n相和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，推测出计算Sn 的公式，再用数学归纳法加以证明。

分析：不难算出：，观察这四个结果发现，分母分别32，52，72，92，分子比分母少1，故而猜测：Sn=，再用数学归纳法证明上述猜测是正确的。

当然，观察变形能力较强的同学也不难看出：

，然后可以用裂项相消法求和。

8 递推求和法

8.1 适用的范围

这种方法比较特殊，它主要适用于前n个正整数的一定次幂的求和问题。

8.2 注意的问题

熟记前n个正整数的若干次幂之和。

例10.求和Sn=13+23+33+……+n3

分析：由（R+1）4=R4+4R3+6R2+4R+1得

24=14+4×13+6×12+4×1+1

34=24+4×23+6×22+4×2+1

……

（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1

将以上各式相加得

（n+1）4=1+4Sn+6（12+22+32+……+n2）+4（1+2+3+……+n）+n=1+4Sn+n（n+1）（2n+1）+2n（n+1）+n

进而求得Sn=n2（n+1）2

以上简要介绍了数列求和的八种常见方法，它们既是相互区别的，又是相互联系的；一个复杂的数列求和问题可能会用到其中的一种或几种方法。在解题实践中，只要做到以下口诀，即可确保准确无误。

观察通项特征，判定数列类型；

若非特殊数列，分析怎样构成；

是否需要讨论，根据范围确定；

选择求和方法，再把项数分清。