巧用三角函数的对称性求值

赵开福

摘 要 对称美是数学美的一个方面，对称关系广泛存在于数学问题中。正弦函数=和余弦函数=作为两种特殊的函数，其图象既是中心对称图形又是轴对称图形。三角函数的对称性这一重要性质，是高考考查的热点之一。如果能巧妙得利用对称性的本质含义去解题，往往会起到事半功倍的效果。

关键词 三角函数 对称性 求值

所谓对称性的本质，对三角函数而言就是三角函数的自变量在其关于对称轴和对称中心的位置对称取值时，相对应的函数值之间的对应关系。如果函数的对称轴是x=x0 ，任取，1，2，由=0 ，那么可以得到=；如果函数的对称中心是（a，0）任取，1，2由=，那么可以得到=。下面就举几个例子体会一下。

首先，关于对称轴的问题。已知函数2+2的图象关于直线=对称，则的值为 。

解析：一般解法是运用辅助角公式，将函数解析式转化成正弦型函数形式，再代入正弦函数的对称轴公式，即2+2=（2+€%o）€I6（€%o=）

由2+€%o=+，∈Z则=+，（∈Z）为函数的对称轴。

令+= ，则€%o =+ ，（∈Z）。

又因为€%o=，所以=1。

如果利用轴对称的基本性质求解，任取，使==，则必有=。不妨设=0，=，由=即，从而解得a=1。

再比如，关于对称中心的问题。已知函数f（x）=Acos（€%rx+€%o）的图象，如图所示，f（）=，则f（0）=_________。

解析：一般解法是利用已知的函数图象由最小正周期确定参数€%r，由函数的零点确定参数A，€%o，从而确定函数y=f（x）的解析式，再把x=0代入求解f（0）。

即由图象可得==，所以最小正周期T=。

又因为T=，所以€%r==3。

將（，0）代入得3€？€%o=+2k€%i，（k∈Z）。

解得€%o=+2k€%i，（k∈Z）令€%o=。

将€%r=3，€%o=代入函数解析式得f（x）=Acos（3x）。

又因为f（）=即，Acos（）=整理得Acos=。

f（0）=Acos=。

如果利用中心对称的基本性质求解。设函数的对称中心为函（a，0），任取x1，x2若=a，则必有f（x1）=f（x2）。函数的图象中给出了函数的两个对称中心（，0），（，0）。不难算出点（，0）也是函数的一个对称中心。因为=，所以，根据中心对称的性质f（0）=f（）=。

利用对称性的本质内涵去处理函数的相关问题，在历年的高考题中也屡见不鲜。比如2014年北京的高考数学试题（理科）第14题：

设函数f（）=Asin（€%rx+€%o）（A，€%r，€%o是常数，A>0，€%r>0），若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=f（），则f（x）的最小正周期是 。

分析：由f（）=f（）可以求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性且f（）=f（），可以求出函数的一个对称中心，由相邻的对称轴和对称中心之间的距离为T，则最小正周期T可求。不妨设函数的图象如图所示：

解答：因为f（x） 在区间[，]上具有单调性， 所以≤从而得到T≥。由f（）=f（），所以函数的一条对称轴为x==；又因为f（）=f（），

则=，所以函数的一个对称中心为（，0）。从而==，得T=€%i。

f（x）的最小正周期是€%i。

以上几例可以看出，在解决三角函数的性质问题特别是和对称轴、对称中心相关的问题时，如果能巧妙灵活地利用对称原理和对称性在函数取值方面的本质，可使我们在解决问题时多一条有效的途径，同时往往能使问题得以更简便的解决。