高中物理教学中的微积分

丁丹华　邱国民

摘 要 微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，教师在物理学科教学中渗透微积分的思想，有助于学生理解高中物理的很多知识，它能大幅提高学生的科学素养，更好地把握物理的本源。

关键词 高中物理 微积分 科学素养

微积分是现代物理的基石，自牛顿和莱布尼茨以来，根据前人的经验，总结出微积分的基本定理后，物理学有了长足的进步，一系列重大发现基本上都或多或少建立在微积分这块基石上。微元法是高中物理教学中经常用到的一种方法，因此，很多优质高中将微积分作为选修课列入课程体系，供学习潜力较大的学生选择，这既对学生更好地理解高中物理规律很有帮助，也对学生将来步入大学理工科打了基础。

1问题引入：加速度、速度与位移间的关系

一般来说，中学生第一次接触到微积分是在运动学的时候，老师会带领学生仔细分辨v-t、a-t、s-t图像的区别。如图1-1，v-t图象，对于一个速度在不断变化的运动过程，会将这个过程肢解成无数多个匀速运动叠加的成果，在某个小dt内当作匀速运动，求出图中所有小矩形的面积，也就是t=t0与t轴和图象包围的面积，作为位移。这是潜意识中第一次接触积分时的景象。而将每个dt内变化的dv连成一个的函数，我们也就得到了斜率的微分意义。

所以，小小的速度片断通过时间的积累便成了位移：ds=v€I6dt

同理：小小的加速度片断也可由时间的积累便成了速度：dv=a€I6dt

因此便得出了最简单且最伟大的运动学微分公式： =v和=a 。

它们在运动学上和谐统一，通过解微分方程，可以几乎胜任一切涉及到牛二定律的问题。接下来，我们把它们进行推广应用到研究物体运动的情景，通常将之视为理想情况，而实际上还有空气阻力。

2更进一步：探索变力做功

微积分在物理中最伟大的贡献是提供了优良的解题方法。

由以上的分析，对于变力做的功可以表示为

如图2-1中，点电荷A（+q电量）位于r轴的原点O处，如有一个单位正电荷B从离O相距为a处移动到b处，求电场力做的功。

解析：取r为积分，在[a，b]区间内取一小区间：

[r，r+dr]，当单位电荷从r移动到r+dr时，电场力对它作功近似于dr

因此有dw=dr

两边积分

w=dr=kq（）

由此可见微积分在解决功能问题上是十分强有力的工具，值得仔细研究。

3 上善若水：由简单流体压强问题的拓展

有时候合理选取积分变量会有意想不到的效果。

如图3-1，将一半球形的半径为r的物体浸在水深为h的水中，求水对这个物体的总压力。

如果以O为原点建立直角坐标系以x或y为积分变量就太麻烦了。我们寻求一种简单易行的方法：以€%a作为积分变量。

因为是均匀半球体，所以水压方向指向球心O，因此需要

分解到竖直方向

同样的理论也可以推广到电场中，如图3-2，均匀带电的电密度为€%l的半球体对球心处一带+q电荷的力是多少？解法与上例类似，读者可以自己试着推导（F=）。

通过上面几则实例我们可以深切地体会到微积分的强大力量，“掌握数学工具解决物理问题的能力”是高考“考纲”重要要求之一。微积分是现代物理的基石，高中物理教材中涉及变量问题的處理思想都是建立在微积分这块基石上，因此，高中物理教学渗透微积分思想很有必要。

参考文献

[1] 沈晨.更高更妙的物理[M].浙江大学出版社，2012.

[2] 周大同.高中物理竞赛辅导讲义[M].浙江大学出版社，2013.