混合型迭代序列的弱收敛定理

谢 涛，郭伟平

（1.常州卫生高等职业技术学校 文化基础部，江苏 常州213002；2.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

混合型迭代序列的弱收敛定理

谢 涛1，郭伟平2

（1.常州卫生高等职业技术学校 文化基础部，江苏 常州213002；2.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

引入一个关于三个渐近非扩张自映射和三个渐进非扩张非自映射的混合型三步迭代序列，在一致凸Banach空间中证明了弱收敛定理，推广了引文中的相应结果。

弱收敛；公共不动点；渐近非扩张映射；一致凸Banach空间

1972年，Goebel和 Kirk[1]引入了如下渐近非扩张映射。

设K是实赋范线性空间E的一个非空子集。映射T：K→K称为渐近非扩张的，如果存在一个实数列{kn}n≥1⊂[1，∞），使得

2003年，Chidume等人[2]引进了渐进非扩张非自映射的概念。

设K是实赋范线性空间E的一个非空子集。设P：E→K是一个从E到K上的非扩张收缩映射。非自映射 T：K→E称为渐进非扩张的，如果存在一个实数列{{kn}n≥1⊂[1，∞），使得

设K是实一致凸Banach空间E的一个非空闭凸子集。

Chidume等人[2]研究了如下的迭代列

其中{αn}是（0，1）内的一个实数列，并且在一致凸Banach空间中证明了迭代列（3）的强弱收敛定理。

2006年，Wang[3]推广了迭代列（3）如下

其中{αn}，{βn}是两个（0，1）内的实数列，并且在一致凸Banach空间中证明了迭代列（4）的强弱收敛定理。

2012年，Guo等人[4]构造了一种混合型的迭代列如下

其中{αn}，{βn}是两个（0，1）内的实数列，并且在一致凸Banach空间中证明了迭代列（5）的强弱收敛定理。

受以上工作的启发，笔者在文献[5]中，构造了带误差项的混合型的三步迭代序列，并证明了该迭代列的强收敛定理。该文是在一致凸Banach空间中证明几个弱收敛定理，进一步推广文献[2-4]中相应结果。

1 预备知识

设E是一个实Banach空间，K是E的非空闭凸子集，P：E→K是一个从E到K上的非扩张收缩映射。设S1，S2，S3：K→K是三个渐近非扩张自映射，T1，T2，T3：K→E是三个渐近非扩张非自映射。混合型迭代列[5]定义如下

其中，{αn}，{βn}和{γn}是（0，1）内的三个实数列，{un（i）}（i=1，2，3）是K中的有界序列。

在式（6）中，令un（1）=un（2）=un（3）=0（∀n≥1），式（6）变为如下迭代列

为了证明文中的主要结果，需要如下的概念和引理。

设E是一个实Banach空间，E*是E的对偶空间，J：E→2E*是正规对偶映射，定义如下

其中＜·，·＞表示E和E*之间的偶对，j表示一个单值正规对偶映射。

Banach空间E称为具有Frechet可微范数[6]，如果对于所有的

存在，对y∈U一致成立.

Banach空间E称为满足Opial条件[7]，如果对于在E中的每一点列{xn}n≥1：xn→x（弱），有

Banach空间E称为具有Kadec-Klee性质[8]，如果对于E中的每一个点列{xn}：xn→x（弱）且||xn||→||x||，有xn→x（强）。

引理1[9]设E是一个实自反Banach空间，E的对偶空间E*具有Kadec-klee性质。设{xn}是在E中的有界点列，p，q∈ww（xn）（ww（xn）表示{xn}的所有子列的弱极限的集合）。若对所有t∈[0，1]，存在。则p=q。

引理2[10]设C是一致凸Banach空间E的非空凸子集。则存在一个严格增的连续凸函数φ：[0，∞）→[0，∞），φ（0）=0使得对每一个Lipschitzian映射T：C→C，（Lipschitzian常数L＞0）有

||tTx+（1－t）Ty-T（tx－（1－t）y）||≤Lφ-1（||x-y||-（1/L）||Tx-Ty||），∀x，y∈C，t∈[0，1]

引理3[2]设E是实一致凸Banach空间，K是E的非空闭凸子集，T：K→E是一个具有数列{kn}⊂[1，∞）的渐近非扩张映射，则I－T在0点半闭，即，如果xn→x（弱），xn－Txn→0（强），那么x∈F（T）（F（T）是T的不动点集）。

2 弱收敛定理

引理4[5]设E是实一致凸Banach空间，K是E的非空闭凸子集。设S1，S2，S3：K→K是三个分别具有实数列{kn（1）}，{kn（2）}，{kn（3）}⊂[1，∞）的渐近非扩张自映射，T1，T2，T3：K→E是三个分别具有实数列{ln（1）}，{ln（2）}，{ln（3）}⊂[1，∞）的渐近非扩张非自映射，使得，且。设{xn}是由式（6）所定义的的序列，其中，{αn}，{βn}和{γn}是在（0，1）内的三个数列。则对任意的q∈F，存在。

引理5[5]设E是实一致凸Banach空间，K是E的非空闭凸子集。设S1，S2，S3：K→K是三个分别具有实数列{kn（1）}，{kn（2）}，{kn（3）}⊂[1，∞）的渐近非扩张自映射，T1，T2，T3：K→E是三个分别具有实数列{ln（1）}，{ln（2）}， {ln（3）}⊂[1，∞）的渐近非扩张非自映射，使得，且。设{xn}是由式（6）所定义的的序列，满足如下条件：

（a）存在ε∈（0，1），使得{αn}，{βn}和{γn}是[ε，1-ε]中的三个数列；

（b）对所有的x，y∈K及i=1，2，3，有||x-Tiy||≤||Six-Tiy||。

引理6在引理4的假设下，若un（i）=0（i=1，2，3）（∀n≥1），则对所有的p，q∈F及一切 t∈[0，1]，极限

存在，其中{xn}是由式（7）所定义的点列。

证明∀t∈[0，1]，令an（t）=||txn+（1－t）p-q||。则，由引理4可得存在。

下面证明对于t∈（0，1）引理6也成立。

定义映射Hn：K→K如下：

引理7在引理 4的假设下，若un（i）=0（i=1，2，3）（∀n≥1），且 E具有 Frechet可微范数，则对所有的p，存在，其中{xn}是由式（7）所定义的点列。进一步，如果Ww（{xn}）表示{xn}的所有子点列的弱极限集合，则对所有的p，q∈F和x*，y*∈Ww（{xn}），〈x*-y*，j（p-q）〉=0。

证明按文献[11]中的引理3.2的证明方法 ，只需用引理6代替文献[11]中的引理3.1即可。

定理1在引理5的假设下，如果E满足Opial条件，则由式（6）所定义的序列{xn}弱收敛到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一个公共不动点。

证明由引理4知{xn}是有界的序列，因为E是一致凸 Banach空间，则存在{xn}n≥1的一个子列{xnk}k≥1，使得{xnk}k≥1弱收敛到某一个点p∈K。由引理5，对于i=1，2，3，有。于是由引理3得p∈F。

现在，假设存在{xn}n≥1的一个子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收敛到q∈K并且p≠q。由引理4，有如下两个极限存在

因此，由 Opial条件，有

显然是矛盾的。所以p=q。这就证明了{xn}弱收敛到 p。证毕。

定理2在引理5的假设下，若un（i）=0（i=1，2，3）（∀n≥1），且 E具有Frechet可微范数，则由式（7）所定义的{xn}弱收敛到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一个公共不动点。

证明仿定理1，可以证明存在{xn}n≥1的一个子列{xnk}k≥1，其弱收敛到p∈F。假设存在{xnk}k≥1的一个子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收敛到q∈K。那么，用上面给出的同样的方法，也可证得q∈F。所以p，q∈F∩Ww（{xn}）。由引理7得

因此，p=q，这就证明了{xn}弱收敛到p。证毕。

定理3在引理5的假设下，若un（i）=0（i=1，2，3）（∀n≥1），且E的对偶空间E*具有Kadec-Klee性质，则由式（7）所定义的{xn}弱收敛到S1，S2，S3，T1，T2和T3的一个公共不动点。

证明用证明定理1给出的方法，可以证明存在{xn}n≥1的一个子列{xnk}k≥1，其弱收敛到p∈F。假设存在{xn}n≥1的一个子列{xmj}j≥1，使得{xmj}j≥1弱收敛到q∈K。那么，用上面给出的同样的方法，也可证得q∈F。由引理6，对所有的t∈[0，1]

存在，再注意到p，q∈Ww（{xn}），由引理1，可得p=q，这就证明了{xn}弱收敛到p。证毕。

注记定理1至定理3推广了文献[2-4]中的相应结果。

[1]GOEBEL K，KIRK W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mapping[J].Proc Amer Math Soc，1972，35（1）：171-174.

[2]CHIDUME C E，OFOEDU E U，ZEGEYE H.Strong and weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings[J].J Math Anal Appl，2003，280（2）：364-374.

[3]WANG L.Strong and weak convergence theorems for common fixed points of nonself asymptotically nonexpansive mappings[J].J Math Anal Appl，2006，323（1）：550-557.

[4]GUO W P，CHO Y J，GUO W.Convergence theorems for mixed type asymptotically nonexpansive mappings[J].Fixed Point Theory and Applications，2012，2012（1）：1-15.

[5]XIE T，GUO W P.On the convergence theorems of a new mixed type iteration[J].Math Appl，2014，27（2）：274-282.

[6]OSILIKE M O，UDOMENE A.Demiclosedness principle and convergence theorems for strictly pseudocontractive mappings of Browder-Petryshyn type[J].J Math Anal Appl，2001，256（2）：431-445.

[7]OPIAL Z.Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings[J].Bull Amer Math Soc，1967，73（4）：591-597.

[8]GOEBEL K，KIRK W A.Topics in Metric Fixed Point Theory（Cambridge Studies in Advanced Mathematics）[M].Cambridge，U K：Cambridge U-niversity Press，1990.

[9]SITTHIKUL K，SAEJUNG S.Convergence theorems for a finite family of nonexpansive and asymptotically nonexpansive mappings[J].Acta Univ Palack Olomuc Math，2009，48（1）：139-152.

[10]FALSET J G，KACZOR W，KUCZUMOW T，et al.Weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups[J].Nonlinear Anal，2001，43（3）：377-401.

[11]GUO W P，GUO W.Weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive nonself-mappings[J].Appl Math Lett，2011，24（12）：2181-2185.

Weak convergence theorems for mixed type iterative sequences

XIE Tao，GUO Weiping
（1.Department of Cultural Foundation，Changzhou Hygiene Vocational Technology College，Changzhou 213002，China；2.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

We introduced a mixed type three-step iterative sequence for three asymptotically nonexpansive selfmappings and three asymptotically nonexpansive nonself-mappings and proved the weak convergence theorems in the uniformly convex Banach spaces.Our results generalize some corresponding results in the references.

weak convergence；common fixed point；asymptotically nonexpansive mapping；uniformly convex Banach space

责任编辑：谢金春

O177.91MR（2010）Subject Classification：47H09；47H10

A

：2096－3289（2017）02－0017－05

2016－01－07

国家自然科学基金资助项目（11271282）

谢 涛（1986-），男，江苏溧阳人，助教，硕士，研究方向：泛函分析。