研究Noether准对称性定理的时间重新参数化方法

刘艳东，张 毅

（1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009；2.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

研究Noether准对称性定理的时间重新参数化方法

刘艳东1，张 毅2*

（1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009；2.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

提出并建立了证明Noether准对称性与守恒量定理的时间重新参数化方法。首先，在时间不变的无限小变换群下给出Lagrange系统和Hamilton系统的Noether准对称性定理；其次，利用时间重新参数化方法给出在时间变化的一般无限小变换群下Lagrange系统和Hamilton系统的Noether准对称性定理。最后，举例说明结果的应用。

时间重新参数化；Noether定理；准对称性；Lagrange系统；Hamilton系统

1918年，德国女数学家Noether研究了Hamilton作用量在群的无限小变换下的不变性[1]，后人称之为Noether定理。Noether定理揭示了对称性与守恒量之间的内在关系，其研究已经取得了一系列重要成果[2-3]。2007年，Frederico和Torres利用时间重新参数化方法建立了基于分数阶模型的Noether定理[4]，并进一步加以推广[5-7]。张毅及其合作者给出了分数阶Birkhoff系统[8-12]，时间尺度上Birkhoff系统[13]的Noether理论。但是，利用时间重新参数化方法研究约束力学系统的Noether准对称性与守恒量迄今未见报道。笔者将时间重新参数化方法应用于研究Lagrange系统和Hamilton系统的Noether准对称性，建立了相应的Noether准对称性与守恒量定理。

1 利用时间重新参数化方法研究Lagrange系统的Noether准对称性

时间区间[t1，t2]上的积分

称为Hamilton作用量，其中qs（s=1，2，…，n）为广义坐标，L（t，qs（t），q˙s（t））为系统的Lagrange函数。Hamilton原理可表示为

由原理（2）-（4）可以导出Lagrange方程

方程（5）所确定的动力学系统被称为Lagrange系统。

定义1（时间不变） 设L1是另外一个Lagrange函数，若单参数无限小变换群

是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，当且仅当对任意[T1，T2]⊆[t1，t2]，有

成立。其中ε为无限小参数，ξs为无限小生成元。

由式（7）可知L1与L具有同样的运动微分方程，此时有

其中△G=εG（t，qs（t）），G（t，qs（t））函数称为规范函数。

判据1（时间不变） 若变换（6）是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，则

成立。其中G（t，qs（t））是规范函数，ξs为变换（6）的生成元。

证明由于积分区间[T1，T2]的任意性，式（8）可等价于

对方程两边求ε的导数，并令ε=0，易推导出式（9）。

定理1（时间不变） 若变换（6）是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，则系统（5）存在如下守恒量

证明利用式（9）和（5），可得

所以式（11）是系统的一个守恒量。

定义2（时间变化） 设L1是另外一个Lagrange函数，若单参数无限小变换

是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，当且仅当对任意[T1，T2]⊆[t1，t2]，有

成立。其中ε为无限小参数，ξ0，ξs为无限小生成元。

由式（13）可得L1和L具有相同的运动微分方程，此时有

判据2（时间变化） 若变换（12）是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，则

成立。其中G（t，qs（t））是规范函数，ξ0和ξs为变换（12）的生成元。

证明由式（14）可得

由积分区间[T1，T2]的任意性，式（16）可等价于

对方程（17）两边求ε的导数，并令ε=0，易推导出式（15）。

定理2（时间变化） 若变换（12）是Lagrange系统（5）的Noether准对称变换，则系统（15）存在如下守恒量

证明如果将t看作为一个独立变量，则每个非自治问题（1）等价于一个自治问题。事实上，在时间t的一一对应的李普希茨变换

其中t（σ1）=t1，t（σ2）=t2，t′σ=dt（σ）/dσ，q′sσ=dqs（t（σ））/dσ。所以，如果作用量S[qs（·）]在定义2意义下是准不变的，则作用量在定义1意义下也是准不变的。由定理1，可以得到

是系统的一个守恒量。

定理1和定理2可以称为Lagrange系统（5）的Noether准对称性定理。

2 利用时间重新参数化方法研究Hamilton系统的Noether准对称性

积分泛函

为相空间中Hamilton作用量，其中qs，ps（s=1，2，…，n）分别为广义坐标和广义动量，H（t，qs，ps）为系统的Hamilton函数。

相空间中Hamilton原理可表示为

定义3（时间不变） 设H1是另外一个Hamilton函数，若单参数无限小变换群

是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，当且仅当对任意[T1，T2]⊆[t1，t2]，有

成立。其中ε为无限小参数，ξs，ηs为无限小生成元。

由式（27）易得

其中△G=εG（t，qs（t），ps（t）），函数G（t，qs（t），ps（t））称为规范函数。

判据3（时间不变） 若变换（26）是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，则

成立。 其中G（t，qs（t），ps（t））是规范函数，ξs，ηs为变换（26）的生成元。

证明由于积分区间[T1，T2]的任意性，式（28）可等价于

对方程两边求ε的导数，并令ε=0，易推导出式（29）。

定理3（时间不变） 若变换（26）是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，则系统（25）存在如下守恒量

证明利用式（29）和（25），可得

定义4（时间变化） 设H1是另外一个Hamilton函数，若单参数无限小变换

是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，当且仅当对任意[T1，T2]⊆[t1，t2]，有

成立。其中ε为无限小参数，ξ0，ξs，ηs为无限小生成元。

由式（33）可得H1和H具有相同的运动微分方程，此时有

判据4（时间变化） 若变换（32）是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，则

成立。其中G是规范函数，ξ0和ξs为变换（23）的生成元。

证明由式（34）可得

由积分区间[T1，T2]的任意性，式（36）可等价于

对方程（37）两边求ε的导数，并令ε=0，易推导出式（35）。

定理4（时间变化） 若变换（32）是Hamilton系统（25）的Noether准对称变换，则系统（25）存在如下守恒量

证明如果将t看作为一个独立变量，则每个非自治问题（21）等价于一个自治问题。事实上，在时间t的一一对应的李普希茨变换

其中t（σ1）=t1，t（σ2）=t2，t′σ=dt（σ）/dσ，q′sσ=dqs（t（σ））/dσ。所以，如果作用量S[qs（·）]在定义4意义下是准不变的，则作用量，qs（t（·））]在定义3意义下也是准不变的。由定理3，可以得到

是系统的一个守恒量。

定理3和定理4为Hamilton系统（25）的Noether准对称性定理。

3 算例

例1设力学系统的Lagrange函数

其中k，m为常数。

由判据2可得方程

方程（41）有解

式（42）对应系统的对称变换，式（43）对应系统的准对称变换。

由定理2可得

式（44）是由Noether对称性（42）导致的守恒量，式（45）是由Noether准对称性（43）导致的守恒量。例2设Lagrange函数为

式（51）是由Noether对称性（49）导致的守恒量，式（52）是由Noether准对称性（50）导致的守恒量。

4 结语

动力学系统的对称性与守恒量的研究具有重要意义，在现代数学、力学、物理学等学科中占有重要的地位。该文主要工作：一是利用时间重新参数化方法证明了Lagrange系统的Noether准对称性与守恒量定理；二是利用时间重新参数化方法证明了Hamilton系统的Noether准对称性与守恒量定理。文中方法具有普遍性，可以进一步推广于其他约束力学系统，如Birkhoff系统等。

[1]NOETHER A E.Invariante Variationsprobleme[J].Gott Nachr，1918，KI，II：235-257.

[2]梅凤翔.李群和李代数对约束力学系统的应用[M].北京：科学出版社，1999.

[3]梅凤翔.约束力学系统的对称性与守恒量[M].北京：北京理工大学出版社，2004.

[4]FREDERICO G S F，TORRES D F M.A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Mathematical Analysis and Applications，2007，334（2）：834-846.

[5]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether’s theorem[J].International Mathematical Forum，2008，3（10）：479-493.

[6]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional Noether’s theorem in the Riesz-Caputo sense[J].Applied Mathematics and Computation，2010，217（3）：1023-1033.

[7]FREDERICO G S F，TORRES D F M.Fractional isoperimetric Noether’s theorem in the Riemann-Liouville[J].Reports on Mathematical Physic，2013，71（3）：291-304.

[8]ZHOU Y，ZHANG Y.Noether’s theorems of a fractional Birkhoffian system within Riemann-Liouville derivatives[J].Chinese Physics B，2014，23（12）：124502.

[9]ZHANG Y，ZHAI X H.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems[J].Nonlinear Dynamics，2015，81（1/2）：469-480.

[10]ZHAI X H，ZHANG Y.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2016，36：81-97.

[11]周燕，张毅.分数阶Birkhoff系统基于Caputo导数的Noether对称性与守恒量[J].动力学与控制学报，2015，13（6）：410-417.

[12]张毅，周燕.基于Riesz导数的分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量[J].北京大学学报（自然科学版），2016，52（4）：658-668

[13]SONG C J，ZHANG Y.Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J].Journal of Mathematical Physics，2015，56（10）：102701.

The time-reparameterization method for Noether’s quasi-symmetry theorems

LIU Yandong1，ZHANG Yi2*
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

The time-reparameterization method was proposed and applied to prove Noether’s theorems of quasisymmetry and conserved quantity.Firstly,based on the infinitesimal group of transformations without transforming time，Noether’s quasi-symmetry theorems for Lagrange system and Hamilton system were given.Secondly，Noether’s quasi-symmetry theorems for Lagrange system and Hamilton system under the general infinitesimal group of transformations with transforming time were given by using the time-reparameterization method.Finally, two examples were provided to illustrate the application of the results.

time-reparameterization；Noether’s theorem；quasi-symmetry；Lagrange system；Hamilton system

责任编辑：谢金春

O316MR（2010）Subject Classification：70H33

A

：2096-3289（2017）02-0001-07

2016-12-02

国家自然科学基金资助项目（11272227；11572212）；苏州科技大学研究生科研创新计划资助项目（SKYCX 16_004）

刘艳东（1988-），男，河南固始人，硕士研究生，研究方向：力学中的数学方法。*

张 毅（1964-），男，博士，教授，博士生导师，E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn。