利用中间变量匹配法处理具有转向点的奇摄动问题

娄正来，陈怀军，肖 丽

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

利用中间变量匹配法处理具有转向点的奇摄动问题

娄正来，陈怀军，肖 丽

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

考虑了一类具有转向点的奇摄动二阶线性微分方程。 利用中间变量匹配法，通过选择适当的尺度变量，将外展开式与内层的内展开式进行匹配，从而构造出复合展开式，得到该方程在整个区间上一致有效的近似解。

奇摄动；二阶线性微分方程；转向点；中间变量匹配原则；近似解

0 引 言

在有摄动的问题中，引起因变量急剧变化的边界附近区域通常称为边界层。为了求问题的近似解，可先在边界层以外的区域，利用原变量作直接展开，得到在外部区域有效的外展开式；再在边界层内将尺度放大，亦即放大边界层，从而使因变量的变化平缓，求得在内部区域有效的内展开式，然后在两个展开式有效区域相互重叠的部分将它们“匹配”，使它们构成一个在整个区域内有效的近似解. 直接匹配法，即Prandtl匹配原则[1]，只能完成简单的匹配；采用Van Dyke匹配原则[2]比较繁琐；中间变量匹配原则，由于选择了适当的尺度变量，从而更能有效地处理一些较复杂的奇异摄动问题[3-4]。

文献[5]第七章研究带大参数的微分方程的转向点问题，利用 Prandtl匹配原则给出三个不同的表达式，从而得到在整个区间上问题的近似解。 本文则讨论带小参数的一类二阶线性微分方程的转向点问题.利用中间变量匹配法构造出复合展开式，从而得到该问题在整个区间上一致有效的近似解。 所做工作改进了文献[5]的结果。 需要用到如下引理。

引理[5]若q1(x)在区间[a,b]上恒正(或恒负)且二阶连续可微，q2(x)在[a,b]上连续，则方程y″+[λ2q1(x)+q2(x)]y=0(参数λ≫1)在[a,b]上有如下的一次近似解，

其中c1,c2,c3,c4为实(或复)的积分常数。

1 主要结果

考虑如下形式的二阶线性微分方程

ε2y″-(x-μ)g(x)y=0,a

(1)

其中0<ε≪1,μ∈(a,b),g(x)在[a,b]上连续且g(x)>0，于是x=μ是方程(1)的一个简单转向点。

利用前面所述引理, 可给出方程(1)的解的一次近似，

当x>μ时,

(2)

当x<μ时,

(3)

其中aL,aR,bL,bR是实(或复)的积分常数。

为了求x=μ附近的有效展开式, 引进伸展变换

(4)

并用Y表示(1)的解，把(4)代入(1)得到

(5)

(6)

其中γ为待定实数，将(6)代入(5)并比较O(εγ)的系数得

(7)

若令

则(7)化为Airy方程

它的通解为

Y0=a0Ai(z)+b0Bi(z),

(8)

其中a0,b0为任意常数, 而Ai(z)和Bi(z)分别是第一类和第二类Airy函数，它们有如下积分表示[5]

并且当z→+∞时,

(9)

(10)

当z→-∞时,

(11)

(12)

按照匹配原则, 需要将内部解(6)与外部解(2)和(3)进行匹配。为此引入一个中间变量

于是内部解(6)用中间变量写为

(13)

注意到当x>μ时,

(14)

(15)

为了将内部解(6)与(3)相匹配, 在(7)中令z→-∞并利用(11)和(12)可得

于是内部解(6)用中间变量写为

(16)

(17)

将(16)与(17)相匹配可确定

(18)

由此得出

(19)

由(2),(3)和(19)可知，方程(1)的近似解可进一步表示为

(20)

其中

aR,bR为任意常数。

例 考虑如下形式的二阶线性微分方程

ε2y″-x(x+3)2y=0, -1

(21)

这是方程(1)的类型，在区间(-1,1)内，x=0是转向点，g(x)=(x+3)2>0，代入(20)得到方程(21)的近似解表达式，

其中

若给出边界条件，例如

y(-1)=0,y(1)=2,

(22)

2 结束语

[1] 刘树德, 鲁世平,姚静荪，等. 奇异摄动边界层和内层理论[M]. 北京: 科学出版社, 2012：3- 6.

[2] Van Dyke M. Nineteenth- century Roots of the Boundary- layer Idea[J]. SIAM Rev, 1994, 36: 415- 424.

[3] Holmes M H. Introduction to Perturbation Methods[M]. 2nd ed.New York: Springer- Verlag, 2013:57- 138.

[4] 冯依虎, 刘树德, 具有转向点的一类奇摄动二阶微分方程的角层问题[J].应用数学与计算数学学报, 2015, 29(1): 101- 106.

[5] 周明儒, 林武忠, 倪明康,等. 奇异摄动导论[M]. 北京: 科学出版社, 2014:185- 188.

[责任编辑：张永军]

Treating Singularly Perturbed Problems with Turning Points via Immediate Variable Matching Principle

LOU Zheng- lai,CHEN Huai- jun,XIAO Li

(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University，Wuhu 241000,Anhui,China)

Some singularly perturbed second order linear differential equations with turning points are considered. Using the immediate variable matching procedure, a composite expansion is constructed to match the outer expansion with the inner expansion by choosing appropriate scale variable. An approximation solution that is uniformly valid over the whole interval is obtained.

singular perturbation; second order linear differential equations; turning points; immediate variable matching procedure; approximation solutions

2017-01-10

2017-03-20

国家自然科学基金项目(11301007)资助。

娄正来(1992— ), 男, 安徽滁州人, 安徽师范大学数学计算机科学学院2015级硕士研究生, 研究方向: 应用微分方程；陈怀军(1964— ), 女, 安徽芜湖人,安徽师范大学数学计算机科学学院副教授。

O175.14

A

2096-2371(2017)02-0001-04