任意波形广义失真度研究

李翔

摘 要：文章针对任意波形的质量评价问题，提出了一种以内积空间概念及性质为理论基础的广义失真度定义。该定义不仅与传统的正弦波失真度定义完全相容，且与光谱分析中的夹角余弦法以及交流输配电系统中的功率因数理论存在着密切联系。对正弦波、方波和三角波之间的广义失真度进行了数值仿真，实际测算结果与经典失真度相符。

关键词：任意波形；失真度；内积空间

1 概述

全谐波失真（total harmonic distortion，THD）是用于衡量正弦信号波形质量的重要指标。这一指标物理意义清晰且测量手段成熟，因而被广泛用于放大器、信号源、交流供配电系统等的质量评价。然而，THD的定义仅针对正弦波。

本文从平方可积周期函数构成的内积空间及其性质出发，定义了任意波形的广义失真度并进行了探讨。分析表明，该广义失真度定义与传统THD定义完全相容，可应用于各种信号检测及波形分析领域。

2 经典失真度定义及其推广

2.1 正弦波失真度定义与测量

全谐波失真（THD）这一概念是指某一周期信号相对于同频率正弦信号的失真，其定义为：该周期信號所含全体谐波分量的总有效值与基波有效值之比。若设被测信号f（t）的第k次谐波振幅为Ak（基波对应k=1，直流分量对应k=0），则全谐波失真可由式（1）计算：

从能量角度看，式（1）定义的失真度等于全体谐波总能量与基波能量之比。根据Parseval定理，任一平方可积信号在时域的总能量应等于其在频域的总能量。因此，式（1）所定义的失真度可从频域和时域两方面加以理解和测量[1]。

在频域中，式（1）中的Ak与周期信号的傅里叶级数展开相对应。实际测量中，通常得到的是被测信号的离散采样序列而非连续波形，此时可通过离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）求解Ak。在此基础上计算失真度γ的方法，即为失真度测量的频域方法（FFT法）[2-3]。

另一方面，在时域中，对于周期为T=2π/ω的信号f（t），若记其基波为f1（t），则有

即式（1）中全体谐波的总有效值可由时域波形剔除基波后直接平方积分得到，而基波f1（t）也可通过对时域波形作最小二乘拟合而求得。由此得到失真度测量的时域方法，即曲线拟合法[4-5]。

2.2 非正弦周期波形失真度

由上文所述可知，THD这一概念的实质是将被测信号人为分解成两部分，即基波分量和去除基波后的剩余分量，前者可视为所需的“目标波形”，而后者则是被测信号波形相对于目标波形的偏差。这一思路可推广到非正弦周期信号的波形质量评价。

仍记被测信号波形为f（t），目标波形为g（t），二者周期均为T=2π/ω。按上述思路，设法将f（t）分解为两部分：一部分是与g（t）具有相同形态的成分，另一部分则是f（t）相对于g（t）的偏差，两者之比即可作为被测波形质量的描述。文献[6]-[8]采用波形拟合及相应的残差来计算任意周期波形在离散条件下的总失真度，其评价过程分为三步。第一步是计算被测波形f（t）与目标波形g（t）的相关函数

式（3）中0≤τ

第二步是利用最小二乘拟合，求出被测波形f（t）中与g（t-τ0）具有相同形态的分量，并得到f（t）相对于g（t-τ0）的残差。

第三步是计算上一步得到的f（t）两部分波形各自的有效值（均方值），分别记为fr与ρ，则最终得到总失真度γM=ρ/fr。

以上所述任意周期波形失真度定义旨在以目标波形g（t）为“模板”，从被测波形f（t）中提取与之形态一致的成分，并使剩余的均方误差达到最小，亦即γM的定义是一种基于最佳均方逼近的定义。这一定义从计量角度来说是明确、合理的，但其数学和物理意义尚有待进一步阐释，且在实际应用中采用最小二乘拟合的计算量较大，这在一定程度上阻碍了该定义的运用。

以下，本文从内积空间的概念及性质出发，对任意周期波形的失真度定义进行了分析与诠释。

3 任意波形的广义失真度

3.1 基于内积的广义失真度

对于周期为T=2π/ω且在闭区间[0， T]上平方可积的两个实信号f（t）与g（t），定义二者的内积为

则所有周期为T且在闭区间[0， T]上平方可积的实信号构成一个完备的实内积空间（实Hilbert空间）。实际的信号总是能量有限（因而平方可积）的，因此任一周期信号f（t）均为上述内积空间中的一个向量，用粗黑体f表示。由式（4）诱导的f（t）的范数为

另一方面，上节中计算相关函数的式（3）实际上也是一个内积，若以gτ表示g（t-τ），则式（3）变为

仍记|R（τ）|取得最大值时对应的τ=τ0，将f（t）向目标波形g（t-τ0）作投影，该投影为

从f（t）中减去式（7）给出的投影分量，就得到f（t）与g（t-τ0）正交的分量：

投影分量fproj代表f（t）中与目标波形g（t-τ0）形态相同的部分，而正交分量forth则可描述f（t）相对于g（t-τ0）的偏离。因此，forth与fproj的范数之比可用于评价f（t）相对于目标波形g（t-τ0）的失真度，不妨称之为 “广义失真度”，记为γG。其定义式为

3.2 广义失真度的性质

3.2.1 正交性

容易验证，广义失真度定义中出现的forth与fproj是被测信号f（t）在上文所述内积空间中的一个正交分解：

3.2.2 对称性

注意到内积空间中可定义任意两向量间的“夹角”，若记f（t）与g（t-τ0）之间的“夹角”为θ，则有

因此有

故知，对于任意两个周期为T=2π/ω且在闭区间[0， T]上平方可积的实信号f（t）与g（t），本文定义的广义失真度γG具有对称性。即f（t）相对于g（t）的广义失真度等于g（t），相对于f（t）的广义失真度。

3.2.3 相容性

對于任一周期为T=2π/ω的实信号f（t），易知其相对于cosωT的投影分量fproj正是其基波分量，而正交分量forth则为全体谐波之和。因此，当目标波形为正弦波时，本文定义的广义失真度γG就是全谐波失真（THD），亦即γG的定义与THD的定义是相容的。

另一方面，在所有形如k·g（t-τ0）的信号（k为任意非零实数，亦即与目标波形g（t-τ0）形态一致的信号）中。当且仅当k=R（τ0）时，||f（t）- k·g（t-τ0）||取得最小值。此时，k·g（t-τ0）正是f（t）在g（t-τ0）上的投影分量 fproj。换言之，本文定义的广义失真度γG与文献[6]-[8]中从最佳均方逼近的角度定义的任意周期波形总失真度γM是相容的。

必须指出，文献[6]-[8]对任意周期波形总失真度γM的定义中有意剔除了f（t）与g（t）的直流分量，因此其定义实质上只适合于分析纯交流信号。

3.3 离散条件下的广义失真度

在实际应用场合，被测波形f（t）通常是离散的采样序列，而目标波形g（t）可能是分段连续函数，也可能为离散序列。

第一种情形：若被测波形为离散序列x[n]而目标波形为分段连续函数g（t），设x[n]对应的采样周期为Ts=T/N（即每个周期T内包含N个采样点），则式（4）中的积分对x[n]改为求和即可：

第二种情形：被测波形为离散序列x[n]，目标波形亦为离散序列y[n]，则式（4）中的积分同样改为求和：

如此，广义失真度γG的定义在离散条件下仍然有效，且积分变为求和后更便于计算。但需注意，离散情形下，采样周期Ts与信号周期T之比可能不是整数。此时，将式（4）的积分变为式（13）的求和会造成误差。为消除此种误差，设T/Ts=NF，而N=[NF]为NF的整数部分，则式（13）应改为

式（14）亦可作类似修正。

综上所述，本文定义的广义失真度γG可用于离散情形。

3.4 非周期情形的广义失真度

从数学角度而言，式（4）定义的内积和式（5）定义的范数并不要求f（t）与g（t）具有周期性，因此本文定义的广义失真度γG亦适用于非周期波形。此时，闭区间[0，T]可改为任意感兴趣的区间。因此，广义失真度γG原则上可用于对任意波形局部特征的比对和检测。

3.5 与广义失真度相关的概念及应用

式（12）表明，广义失真度γG与内积空间中两向量的夹角有关。而在光谱（包括紫外、红外、拉曼、荧光等）分析中，“夹角余弦法”是一种常用的判断光谱相似度的方法[9-10]。实际上，式（11）给出的cosθ反映的是f（t）与g（t）的相似度，而本文定义的γG=|tanθ|则可用于衡量f（t）与g（t）的差异。

另一方面，若以单相交流供电的电压波形u（t）作为式（4）中的目标波形g（t），而以电流波形i（t）为f（t），则式（4）给出的内积即等于[0，T]时间段内负载的平均功率（有功功率），而式（5）定义的范数则对应电压、电流的有效值。

进一步地，若不计算u（t）与i（t）的相对延时，而是直接计算i（t）相对于u（t）的投影分量iproj与正交分量iorth，则显然有

故iproj与iorth分别是电流i（t）的“有功分量”与“无功分量”。这一正交分解与著名的Fryze功率理论以及基于周期函数空间的“通用功率”理论[11-12]相一致。然而，正如3.4节所述，本文对广义失真度的定义并不局限于周期波形，因而有助于将有功功率、无功功率的计算与测量推广到非周期情形。

4 仿真算例

对于正弦波、方波和三角波这三种常见波形，按本文定义的广义失真度，可计算出三者之间的失真度理论值，如表1所示。

假定采样率为250ksps，采样分辨率为12bit，信号频率范围10～70kHz，失真度仿真结果如表2所示。由表2可见，对1kHz以下的信号，失真度测量结果与信号频率基本无关，不存在FFT法固有的栅栏效应及频谱泄漏等缺点；而当信号频率为1kHz及以上时，失真度测量结果开始出现大于0.01%的绝对误差。

仍设采样率250ksps，信号频率固定为1kHz，不同采样分辨率下的失真度仿真结果如表3所示。由表3可知，若要使量化误差引起的失真度绝对误差小于0.01%，则采样分辨率应达到10bit以上。

接下来仍取采样率为250ksps，分辨率12bit，信号频率1kHz。当被测波形与目标波形的相对延时τ0存在误差时，失真度仿真结果如表4所示。由表4可见，当相对延时τ0的误差小于采样周期时，对失真度测量结果基本无影响。

5 结束语

本文借助内积空间的相关概念及理论，将正弦信号的失真度概念推广到任意波形，提出了广义失真度的定义并进行了理论分析与数值仿真。广义失真度的概念及其相关理论不仅有助于正弦波失真度测量技术的进一步发展，也为任意波形间的比对、鉴别和评价提供了新的视角与途径。广义失真度与谱分析、功率因数计算与补偿等密切相关，其更多的应用还有待于今后不断地发掘与拓展。

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