论类比在中职数学教学中的作用

胡莹

一、引言

在2009年版的《中等职业学校数学教学大纲》中提到的技能与能力培养要求中，对数学思维能力的培养是这样要求的：“依据所学的数学知识，运用类比、归纳、综合等方法，对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解；针对不同的问题（或需求），会选择合适的模型（模式）。” 大纲要求中职学生要掌握类比的思想方法，在解决数学及相关问题时，能够做出理性的思考、合理的判断以及正确的求解。教师可以在平时的教学中充分利用各种条件加强学生在类比思维方面的训练。

类比作为数学方法中较为常见的一种思维方法，对中职数学教学的有效展开起着重要作用。其在概念学习、解题方法、运算法则和定理教学诸方面都起着积极的作用。为了帮助学生在学习数学的过程中能够熟练掌握并运用类比方法，教师在整个课堂教学演示过程中应该由浅入深、举一反三地为学生示范类比方法的运用，以开发学生思维的创造力。

二、类比的概念

1.定义

类比，就是根据两个对象在属性上的相同或相似，而推断它们在特征上的相同或相似的一种推理形式。类比，实际上具有一定程度上的主观性，故也被认为是一种不充分的似真推理。要确定其主观性的正确性，就必须以逻辑论证的清晰性来确认。简单来说，类比就是从特殊推到特殊。类比推理的基本原理可以通过下列表达式阐释其内涵： A有a、b、c三属性，也有d属性；B有a、b、c三属性，所以，B也有d属性。这个结论并不是必然的。因为上述推论只是联想，如果想证明这个结论的正确性，就需要验证过程。经过检验确实无疑后，上述结论即为成立。如果不能完成证明过程，就不能确认上述结果成立。但是无论何种情况，都可以算是类比推理过程的完成。

通过上述内容，我们可以发现学生在利用类比方法的过程中，可以提高自身学习能力。因此，类比是需要学生在掌握原有的知识结构下去寻找新知识与旧知识的联系，利用旧知识解决新问题。只要坚持这个过程，学生就会养成运用类比的习惯，这对学生的后续学习大有裨益。

2.与其它推理方法的差异

作为思维方法的类比，意在对比发现不同对象、不同领域在属性上的相同或相似，而推断它们在特征上的相同或相似。由于它是从一个个别的对象、领域推论到另一个个别的对象、领域，故既与从普遍到特殊的演绎推理不同，也从特殊到普遍的归纳推理不同。由于教学本身的特点，在概念的推导过程中，以及平常的解题教学中，用演绎推理和归纳推理较多，而常常忽视了类比推理的运用。因此，类比推理运用的知识跨度往往很大，学生不一定能够很好地找到类比的对象，这就需要教师寻找类比源，然后在教学过程中渗透类比的思维方法。

三、类比的分类

在使用类比时，最关键的是要确定一个恰当的参照对象。依据确立参照对象的角度，类比可以大致分为三种类别：降维类比、结构类比、简化类比。

所谓降维类比，就是将对象从高维度降到低维度层面进行比较。例如，在讲解立体几何图形的一系列相关定理的证明时，就可以将对象从二维空间降到一维平面层面上来比较说明。

所谓结构类比，就是从对象的结构上来寻找参照对象而进行比较。例如，在讲解三角函数的性质时，由于已经讲解了f（x）=sinx的图象及其性质的诸方面内容，当讲解f（x）=cosx时，就可以通过诱导公式，将其与f（x）=sinx进行类比而获得余弦函数的图象及性质。

所谓简化类比，就是将对象与比其更简化简单的对象进行比较。例如，在讲解求长方体对角线长度时，由于已经讲解了长方形对角线长度的求解方法，这时就可以将长方体的对角线问题简化为长方形对角线问题来讲解，从而令学生更容易理解接受。

四、类比法的作用

1.培养学生知识迁移能力

在数学学习过程中，各个知识点之间或直接或间接地有着各种联系。只有学生掌握各个知识点间的联系，学生才能建构自己的知识体系，在解题过程中才能激发多种想象和灵感，建立知识间的联系，才能有效应对学习中的各种问题。知识迁移能力对学生学习数学尤为重要。而类比教学可以逐步开发学生在知识迁移方面的思维能力。类比教学利用学生的已有知識学习新知。

在数学教学中，如果教师有意识地引导学生进行类比思维的训练，学生就会主动利用熟悉的知识不断进行类比联想，建立知识间的有效联系，不断激活思维，迁移能力得以提升。类比教学讲究同中有异，学生进行类比学习需要大胆创新，学生会从同中找不同，掌握全新的方法，不断解决问题，创造性思维得到，进而提升探究未知领域的能力。

2.培养学生运用基础知识的能力

数学学习的一个关键点在于如何培养学生对数学知识和习题的分析能力，能够提高学生对习题的辨识度，在遇见习题的时候，能够充分利用类比来分析新知识和遇见的新题型。例如，在学习等差数列的过程中，会用倒序相加法，运用公差和通项公式推导求和公式，那么在学习等比数列的时候，就可以让学生利用类比，推算出等比数列的求和公式。

3.培养学生学习的积极性

在数学教学中，许多学生对数学学习并不感兴趣，因为他们感到数学学习很有难度，而类比教学是引导学生基于已有的知识基础，学生对自己熟悉的事物极为感兴趣，类比教学能够带给学生那种熟悉感，学生也更积极追求新知。在新知学习中，完全可以凭着自身努力习得知识，如此一来，学生学习数学的兴趣就可以得到极大提升，在此基础上，学生可以不断地掌握新知，探索数学规律，不断地积淀自己的知识，学生的数学基础可以为日后的数学教学奠定坚实的基础。

例如，在高中数学中，有指数函数的定义域和值域，在确定了指数函数的值域和定义域之后，再学习对数函数时，就可以利用类比演示出：对数函数的值域和定义域与指数函数是相对的，这能够让学生更加注重知识学习中的细节之处，也可以让学生更易理解对数函数。

五、类比的应用

1.数学概念的类比

中职数学教学涉及到很多数学概念，需要学生花大量时间去理解不同的数学概念。因此，为了减轻学生的记忆负担和加深概念的理解程度，教师在进行教学时可以通过类比教学法提升学生对数学概念的把握程度。

例如，在讲等比数列的概念时，我们可以让学生先复习等差数列的概念，然后类比等差数列的特点，得出等比数列的概念。在对这两个概念进行记忆时，也可以让学生借助类比的方法进行记忆，这样学生只要记住一个概念就能联想到另一个。

再如，对球的概念进行教学时，教师可以引入圆的概念与之进行类比教学，使学生有效地理解并掌握球的概念。首先，教师可以引导学生回忆圆的概念：“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。其中，定点是圆心，而定长是半径。”然后，教师引出球的概念，“到定点的距离等于或小于定长的点的轨迹叫做球体，定点叫球心，定长叫做球的半径。”球体的概念有一定的抽象性，学生在头脑中难以有效建立起球体的形象认知，难以有效理解球的概念。学生借助圆的概念来学习和理解球的概念时，就可以达到较好的教学效果。操作过程如下：在进行两个概念的类比时，教师可以引导学生设想“如果我们将概念中的‘平面换成‘空间会得到什么结果呢？” 这样，学生会进行不断的联想，并寻找两者之间的联系，他们不断讨论，概念学习的积极性很强。在学生充分联想的过程中，他们可以有效地掌握球的概念。因此，在数学教学中，教师可以引导学生进行类比学习，从而激发学生的学习兴趣，使学生能够建立自己的知识体系。

2.解题方法上的类比

波利亚指出：“选出一个类似的，较易的问题，去解决问题，以便日后成为一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以解决原有的问题。这种方法看来似乎是一个迂回绕圈子的过程，但在数学或数学以外的科学研究中是十分普遍的。”波利亚所指的就是用类比的方法来解题。我们在课堂教学时，也应借助于学生熟悉的知识或以前做过的题目，用类比的方式，找到要解决问题的方法。

例如，求cos75°的值。前面学习了求sin75°=sin（30°+45°）=sin30° ·cos45°+cos30°·sin45°， 那么在解决求cos75°这个问题时，就可以让学生运用类比借助于两角和的正弦公式的解法解决这一问题。对于这样简单的类比，学生自然而然地就会想到问题的答案。

3.在数学运算法则、定理教学中的类比

平面向量的运算法则可以利用含字母的类比运算法则来进行。又如，在讲空间两個平面平行的定理时，α∥β，β∥γ=>α∥γ，我们就可以类比平面几何中的两条直线平行的定理：a∥b，b∥c =>a∥c。运用平面几何中两直线平行的传递性，类比推出空间平面的平行定理。

六、结语

总之，在学习中，类比是有效地发现、分析、解决问题的思维方法。在实际的教学过程中，类比相对于严密的逻辑推证更容易取得显著效果。需要注意的是，在用类比来探究新概念、新规律时，一定不能忽视二者之间的差别。教师在课堂教学中一定要恰当使用类比教学法，以帮助学生理解和掌握这一思维方法。这不仅有利于学生有效积累具体的知识要点，还有利于其深层次思维创造潜力的发掘和培育。

责任编辑 何丽华