[案例]几何辅助线项目教学例谈

王伟江

一、由一般到特殊。引导学生分割图形

在解决一些图形面积的题中，常常需要把不规则的图形转化为规则的图形，或把复杂的图形转化为简单的基本图形。一般情况下，学生对特殊图形的面积计算是熟悉的，如直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。在教学过程中，教师要善于在学生已有的知识基础上启发引导学生思维，把一般化的图形分割为特殊的、可计算的图形。正如教育家陶行知所说的，“接知如接枝”。

例1如图，在四边形ABCD中，若∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，求四边形ABCD的面积。

分析：解这道题需要添加辅助线，连接BD，把四边形的面积转化为两个三角形的面积之和。

引导：在让学生思考之前，可先提问学生：“你会求哪些四边形的面积？”学生会回答是平行四边形、矩形、菱形、正方形。这时接着问：“你会求直角三角形的面积吗？”“不规则的四边形的面积怎样求？”这样教学，可使学生的思维变得有序、有目标，学生自然而然地会想到，要求不规则的四边形的面积，可通过连接对角线转化为两个三角形的面积之和来求解。

二、把握定理题设。引导学生补全图形

几何证明就是从已知条件出发，经过推理得出结论。推理的依据是与条件有关的公理、定理等。解题时，公理、定理的运用都需要一定的条件，所以在教学中教师应引导学生自己正确把握公理、定理的题设，把分散的、孤立的条件联系到一起，如果题中没有能利用条件的图形，就要添加一些辅助线补全图形，以利于公理、定理等的运用。这是学生会添加辅助线证明几何题、会思维、会学几何的一个很好的切入点。

例2.已知：如图，PA、PB是00的两条切线，切点为A、B，Ac是（30的直径。求证：PO∥BC。

分析：本题中主要运用切线长定理、等腰三角形三线合一定理和直径所对圆周角是直角这三个定理。

引导：在学生思考之前，可先提问学生：“你知道与直径有关的定理有哪几个？”学生容易回答是垂徑定理，直径所对圆周角是直角等。再问：“等腰三角形三线合一的条件是什么？本题中有等腰三角形吗？”由于本题是切线长定理运用的一个例题，所以学生根据切线长定理轻松得到PA=PB，OP平分∠APB，再联系Ac是QO的直径这个条件，只要连接AB，就补全了等腰三角形三线合一和直径所对圆周角两个定理的基本图形，运用这两个定理易得PO与BC都与AB垂直，从而证得PO∥BC。

三、利用几何变换。移动局部图形

在解题时，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，可以启发学生将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答。图形变换是一种重要的思维方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理分散的、孤立的问题的思维，学生若能很好地领会这种解题方法的本质特征，并能准确合理地使用，在解题中就会收到奇效，也将有效地提高思维品质。

例3.P是等边三角形ABC内的一点，LAPB=J50°PA=3，PB=4。求：Pc的长。

分析：所求的线段Pc与已知线段PA、PB不构成一个三角形，条件分散，不容易求得Pc的长度，由于AABC是等边三角形，具备了旋转角为60°的图形旋转条件，因此，可将AAPB以点B为旋转中心作顺时针60°的旋转；还可将AABP以点A为顶点，逆时针旋转60°，将AAPC绕点c逆时针旋转60°。

引导：笔者先让学生尝试着解本题，在学生感到无处下手时，提问：“等边三角形是什么对称图形？”学生答：“它是轴对称图形。”“还有呢？”学生又答：“它还是旋转对称图形。”接着问：“那么它的旋转中心在哪里？”“等边三角形除了绕着它的中心旋转，还能绕哪些点旋转？”“AAPB能否绕着某个点旋转？”到这时，学生似乎有点感悟。于是就让学生继续思考，再试着解本题。

在实际教学中，教师应根据具体的问题情境具体分析，让学生在不断地尝试、不断地失败中揭示隐含在辅助线中的精彩而又独特的思维过程，并引导学生的思维深入到知识的发现或再发现的过程中去，只有这样，学生才能真正理解和掌握知识，并把教师所教的内容转化为自己的智慧。诚如苏霍姆林斯基所说的那样：“在学生的脑力劳动中，摆在第一位的并不是背书，不是记住别人的思想，而是让学生本人进行思考，也就是说，进行生动的创造。”