如何给小学生上一节“分形”的课

【教学内容】

西南师大版《数学文化读本》四年级下册“科克雪花”。

【教学过程】

一、提问引入，驱动探究任务

师：（板书：科克雪花）看到这个标题，你会有什么疑问？

生：为什么叫“科克雪花”？

生：和我们平时所说的雪花一样吗？

生：科克雪花有什么特点呢？

师：科克雪花是1904年由瑞典数学家科克受雪花形状的启发创造出来的，因此就以他的名字命名。

评析：学生看到“科克雪花”这个标题就会有很多疑问，先让他们说说自己的问题，一方面可激发学习兴趣，另一方面在问题驱动下教学也会更加有效。

二、探讨画法，初步感知特点

师：先来看看它是怎么创造出来的。这个图形有点儿复杂，怎么办？我们把它简化一下，先画一个等边三角形。在脑子里想象一下，“科克雪花”是怎样从三角形一步一步演变过来的？

生1：可再画一个等边三角形，进行旋转，把两个三角形叠放到一起。

生2：还可以把等边三角形的一条边进行三等分，再从中间那里画一个等边三角形。

师：好，我们用动画演示一下。（如图1）

生：接下来重复生2的步骤，重复几次就能得到“科克雪花”了。

图1

评析：将“科克雪花”画法的教学分成了三步。第一步是“简化”，通过简化，演变到学生熟悉的等边三角形；第二步是“想象画”，探讨“科克雪花”是怎样从等边三角形演变过来的，给学生充分的想象空间；第三步讨论“科克雪花”的“具体画法”，学生充分感受到了“科克雪花”是“不断重复性”的操作结果。

三、探究特征，发现变化规律

师：从左往右仔细观察图1，从第1幅到第4幅，发生了什么变化？

生：它们的边长、周长、面积都发生了变化。（教师板书）

（一）探索边数特征。

1.学生自主数。

师：先来看看边数发生了什么变化。同学们拿出学习单，数一数，填一填。（如图2）

图2

2.学生汇报。（略）

3.发现规律。

生：我其实没有数，我是发现了边数之间的规律，都是乘4的关系。

师：你是怎么发现这个规律的？

（1）方法一：数一数。

生：我先数出前面几个图形的边数，再推测出第4个图形的边数是48×4=192。

（2）方法二：根据边数的变化规律。

生：三角形的每条边都变成了4条边。(教师动态演示)

生：所以第2个图形有3×4条边，第3个图形有 3×4×4 条边，第 4 个图形就有 3×4×4×4=192（条）边。

师：第10个图形有几条边呢？

师：（小结）每变化一次，边数就变为原来的4倍。

（二）探索周长特征。

1.学生自主算。

师：它的周长又会怎么变呢？假设等边三角形的边长为9，数一数，算一算。

2.学生汇报。

(1)方法一：根据边长×边数。

生：算出每条边的长度，乘上边数就可以了。

师：边数我们刚才已经研究过了，再看边长是怎么变化的。（教师动态演示，如图3）

师：我们再计算出它们的周长。

图3

（2）方法二：根据周长的变化规律。

生：前面图形的每条边都平均分成3份，到后面的图形就变成了4份，相当于每条边的长度都增加了，周长也就增加了，所以后一个图形的周长就是前一个图形周长的倍。如图4

图4

师：第10个图形的周长是多少？

师：如果一直变下去，周长会变成无限大吗？

学生思考，并进行辩论，最后得出结论：周长会变成无限大。

（三）探索面积特征。

师：一直这样变下去，它的面积会变成无限大吗？

生：会，因为面积一直在变大，最后就会变成无限大。

生：不会，因为面积增加的部分越来越小了。

学生开始争辩，教师出示原三角形的外接圆。（如图 5）

图5

生：一定会比它的外接圆面积小，面积不会变成无限大。

评析：学生在探究的过程中发现了边数、边长、周长的变化规律。其中周长的变化规律是最难理解的。大部分学生是利用边数×边长的方法，也有部分学生是利用周长的变化特征来解决的。教师追问第10个图形的边数、周长，让学生明白“科克雪花”是按照一定的规律一直变化下去的。

四、欣赏分形，感受数学之美

师：你相信有这样的曲线吗？它所围的面积是有限的，但它的周长趋于无穷大！

生：有，“科克雪花”曲线就是这样的。（教师动态演示）

师：你相信有这样的平面图形吗？它的周长趋于无穷大，但它的面积趋于零。（学生沉默）有，谢尔宾斯基三角形就是这样的。（动态演示，如图6）

图6

师：你相信有这样的立体图形吗？它的表面积趋于无穷大，而它的体积趋于零。（学生沉默）有，门格尔海绵就是这样的。（动态演示，如图7）

图7

师：这三个图形人称几何中的三大怪物，它们都是“分形”。

师：你觉得什么是“分形”？

生：重复前面的操作。

生：不管放大多少倍，都是长一样的。

生：它们的规律都是一样的。

师：下面请同学们欣赏分形图形。（出示各种动态图）分形也称为大自然的几何。

评析：通过对“几何三大怪物”的欣赏，打破学生的几何思维，最后引出像这样的图形就是 “分形”。接下来欣赏各种分形的动态图和大自然中分形的景象。让学生在欣赏中感受分形之美，感受数学之美，激发学生进一步探索、研究数学。

五、总结提升，增强数学情感

师：分形为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供了方法。它让我们对几何的研究进入了一个新的世界，这个世界等待着同学们去探索。

【总评】

对四年级学生来说，对“科克雪花”特征的探究还存在很大的难度，也无法更进一步感受“分形”的美妙。于是这节课唐老师在六年级进行教学尝试。整节课从画“科克雪花”再到对其特征的探索，再到分形的介绍和赏析，让学生一步步感知分形。