电磁感应中的双电源问题求解策略

电磁感应中的双电源问题求解策略

■河北省衡水市第二中学 陈月新

在电磁感应现象中,有两种情形可产生感应电动势：一是空间磁场不变,闭合回路中的部分导体切割磁感线产生感应电动势,此种情形产生的感应电动势一般被称为“动生电动势”;二是穿过闭合回路的磁场在变化,从而引起回路中磁通量变化而产生感应电动势,此种情形产生的感应电动势一般被称为“感生电动势”。在一些电磁感应问题中,存在双电源。双电源问题因其综合性较强,涉及的物理过程复杂多变,故而需要同学们特别注意。

一、由电池和感应电动势形成的双电源问题

因为闭合回路中接有电池,产生的电流使得导体棒运动起来,产生感应电动势,所以使得回路中的电流发生变化,进而导致导体棒的运动情况产生相应的变化。如图1甲所示,固定于水平面上的U形导线框处于竖直向下、磁感应强度为B0的匀强磁场中,两平行导线的间距为l,左端接一电动势为E0、内阻不计的电源。一质量为m、电阻为r的导体棒MN垂直导线框放置并接触良好。闭合开关S,导体棒从静止开始运动。忽略摩擦阻力和导线框的电阻,两平行导线足够长。请分析说明导体棒的运动情况,在图1乙中画出导体棒的速度v随时间t变化的示意图,并求出导体棒达到的最大速度。

图1

解析：闭合开关S,导体棒在安培力F= B0I l的作用下开始做加速运动,加速度a=导体棒切割磁感线产生与电池相反的电动势,闭合回路中的电流说明当导体棒的速度v增大时,电流I减小,安培力F减小,加速度a减小,即导体棒做加速度减小的加速运动。当E0=B0l v0时,电流为零,导体棒的速度达到最大,最大速度此后导体棒以最大速度vmax做匀速运动。导体棒的速度v随时间t变化的示意图如图2所示。

图2

二、存在两个导体棒产生感应电动势的双电源问题

1.两个感应电动势方向相同的双电源问题。

在两个感应电动势方向相同的双电源问题中,根据串联电路的基本特点可知,回路中的总电动势等于两个电源电动势之和。

图3

在倾角为θ、足够长的光滑斜面上,存在两个磁感应强度大小相等的匀强磁场,其中一个磁场的方向垂直于斜面向上,另一个磁场的方向垂直于斜面向下,宽度均为L,如图3所示。一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框在t=0时刻以速度v0进入磁场,恰好做匀速直线运动,若经过时间t0,线框的a b边到达磁场边界线g g'与f f'中间位置时,线框又恰好做匀速运动,则下列说法正确的是( )。

A.当线框的a b边刚越过磁场边界线f f'时,线框加速度的大小为gs i nθ

B.t0时刻线框做匀速运动的速度为v04

C.在0～t0时间内线框中产生的焦耳热为

D.线框在离开磁场的过程中将做匀速直线运动

解析：线框的a b边进入磁场时,由于感应电流受到安培力的作用做匀速直线运动,则直到线框的a b边越过磁场的边界线f f'。当线框的a b边刚刚到达磁场的边界线f f'位置时,线框的两个边同时切割磁感线,形成方向相同的双电源,则线框中的感应电动势、感应电流加倍,线框受到的安培力变为原来的4倍,则,解得a=3gs i nθ,选项A错误。在t0时刻有故此时线框做匀速运动的速度选项B正确。在0～t0时间内,线框沿斜面向下运动的距离为根据能量守恒定律得Q=选项C正确。线框在离开磁场的过程中,只有线框的c d边切割磁感线,且线框受到的安培力等于m gs i nθ,所以线框将做加速直线运动,选项D错误。答案为B C。

2.两个感应电动势方向相反的双电源问题。

在两个感应电动势方向相反的电源问题中,根据串联电路的基本特点可知,回路中的总电动势等于两个电源电动势之差。

图4

如图4所示,在水平面上有两条平行金属导轨MN、P Q,导轨间距离为l,匀强磁场垂直于导轨所在的平面(纸面)向里,磁感应强度的大小为B,两根金属杆1、2垂直放置在导轨上,它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1、R2,两金属杆与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为μ,已知金属杆1被外力拖动,以恒定的速度v0沿导轨运动,当达到稳定状态时,金属杆2也以恒定速度沿导轨运动,导轨的电阻可以忽略不计,求此时金属杆2克服摩擦力做功的功率。

解析：设金属杆2的运动速度为v,两金属杆运动时,由两金属杆和导轨构成的回路中的磁通量发生变化,产生感应电动势,由于二者运动的方向一致,使得两金属杆中的感应电流方向均向上,即两金属杆中的感应电流方向相同,而在整个闭合电路中,两金属杆产生的感应电流方向相反,则感应电动势为二者之差,则E=B l(v0-v)。根据欧姆定律得感应电流因为金属杆2做匀速运动,所以它受到的安培力等于摩擦力,即B I l=μm2g。金属杆2克服摩擦力做功的功率P=μm2g v。联立以上各式解得P=

3.由于磁场的运动形成的双电源问题。

穿过回路的磁通量发生变化时将产生感应电动势,这是产生感应电动势的条件。而磁通量变化的方式很多,当导体并没有切割磁感线,也没有磁感应强度的变化,而是磁场运动时,由于相对运动,同样可在回路中产生感应电动势和感应电流。

如图5甲所示,与水平面成θ角的两根足够长的平行绝缘导轨,间距为L,导轨间有垂直于导轨平面方向、等距离间隔的两个匀强磁场,两个磁场的方向相反,大小相等,均为B。导轨上有一质量为m的矩形金属框a b c d,其总电阻为R,金属框的宽度a b与磁场间隔相同,金属框与导轨间的动摩擦因数为μ。开始时,金属框静止不动,重力加速度为g;若t=0时刻,磁场沿直导轨向上做匀加速直线运动;金属框经一段时间也由静止开始沿直导轨向上运动,其v-t关系图像如图5乙所示(C D段为直线,Δt、v1已知),求磁场的加速度大小。

图5

解析：金属框在A点时静止不动,由平衡条件得2B I L=m gs i nθ+μm gc o sθ。当磁场以瞬时速度v0相对金属框运动时,金属框的b c、a d边同时切割磁感线,感应电动势E=2B L v0,感应电流金属框在C点时,由牛顿第二定律得2B I1L-(m gs i nθ+ μm gc o sθ)=m a。此时,由图乙可知,金属框运动的瞬时速度为v1,设磁场运动的瞬时速度为vt,则感应电动势E1=2B L(vt-v1),感应电流磁场做匀加速运动的加速度大小等于金属框做匀加速运动的加速度大小,则对磁场有vt=v0+aΔt。联立以上各式解得

注意：磁场的运动使得金属框与磁场之间存在相对运动,即金属框切割磁感线,产生感应电动势,且因为金属框的a d、b c边同时切割磁感线,所以金属框中的感应电动势为每个边产生的电动势之和。

三、同时存在动生电动势和感生电动势的双电源问题

当在同一个电磁感应问题中,既存在因穿过回路的磁场发生变化而产生的感生电动势,同时又存在因导体棒切割磁感线而产生的动生电动势时,同学们一定要仔细分析,否则,很容易因顾此失彼而导致失误。

如图6所示,两条平行的金属导轨MN、P Q固定在绝缘水平面上,两导轨间的距离L=1m,且MP、a b、c d、e f间的距离也均为L=1m,导轨MN、P Q和MP单位长度的电阻均为R0=0.1Ω,虚线a b右侧空间存在匀强磁场,磁场方向竖直向下,且大小随时间的变化关系为Bt=0.2+0.1t(T),导体棒开始时在外力作用下静止于c d处,若导体棒的电阻忽略不计,求：

图6

(1)通过导体棒电流的大小和方向。

(2)若导体棒在外力作用下以2m/s的速度匀速向右运动,在t=0时刻刚好经过c d处,则此时导体棒所受的安培力为多大?

(3)在第(2)问的情景下,求导体棒从c d处匀速运动到e f处的过程中安培力做的功。

解析：(1)导体棒不动时,回路中产生感生电动势,根据法拉第电磁感应定律得E=此时回路总电阻R=5L R0,由闭合电路欧姆定律得由闭合电路欧姆定律得,解得I=0.2A。根据楞次定律可知,电流的方向为d→c。

(2)导体棒做匀速运动时,同时产生感生电动势和动生电动势,由楞次定律可知,二者的方向相同,根据法拉第电磁感应定律得导体棒所受的安培力F1=B0I1L,解得F1=0.2N。

(3)根据法拉第电磁感应定律可知,t时刻回路中的总电动势回路总电阻Rt=5L R0+2v t R0,通过导体棒的电流,解得可知回路中的电流为定值,与时间无关,所以导体棒所受安培力随时间均匀变化。当导体棒做匀速运动时,导体棒受到的安培力随位移均匀变化,则导体棒运动到c d处所受安培力F1=BcdI L。又有,安培力所做的功,解得W=-0.2 2 5J。

(责任编辑 张 巧)