直接法速作静定多跨梁及刚架内力图

缑 勇，裴红艳，秦立平，吴 洁，程 涛

(湖北理工学院 土木建筑工程学院,湖北 黄石 435003)

直接法速作静定多跨梁及刚架内力图

缑 勇，裴红艳，秦立平，吴 洁，程 涛

(湖北理工学院 土木建筑工程学院,湖北 黄石 435003)

“结构力学”是土木工程专业重要的基础必修课程，静定多跨梁及刚架的内力图绘制是该课程的重难点。为简化内力图绘制，提出一种快速作内力图的直接法，该方法以单跨梁内力分析为基础，利用力的平移定理，借助突变法和微分关系法，能够快速准确地绘制完成静定多跨梁及刚架的内力图，为后续课程的学习奠定基础，同时帮助学生树立学习的自信心。

土木工程；结构力学；内力图；直接法

“结构力学”是土木工程专业的基础必修课程，同时也是一门非常重要的学位课程。静定多跨梁及刚架的内力图绘制是“结构力学”的重难点内容，它不仅为后续位移计算及超静定结构内力分析提供知识基础，同时其教学效果会直接影响学生的学习兴趣。目前的教材多采用截面法进行内力分析[1-3]，即将研究对象拆分成多段，利用单跨梁法逐段分析并作图后，再组合得到最终内力图，制图过程繁琐，且不易校核。因此有人提出快速作内力图的方法[4-6]，通过应用实践证明，其效果并不明显，未能很好地激发学生学习兴趣。基于此，笔者结合个人教学实践，针对静定多跨梁和刚架，总结出绘制内力图的直接法，简化了步骤，同时很容易进行校核，该方法在湖北理工学院2014、2015级土木工程(专升本)班以及2014级工程管理班的“结构力学”课程中实施和应用后，明显提高了教学效果，现总结成文，供广大师生及工程人员参考。

1 直接法绘制静定多跨梁内力图

1.1 概述

多跨梁常用于桥梁、幕墙支撑以及房屋建筑中的屋架檩条等结构，为确保安全，它在工程中常以超静定结构的形式出现，其设计依据主要是内力分析，而静定结构内力分析是超静定结构的基础。就几何组成规律而言，静定多跨梁由基本部分和附属部分组成，其在荷载作用下产生的主要内力是剪力和弯矩，在斜梁或倾斜荷载时会出现轴力，但较为少见。本研究侧重分析竖向力和平面力偶作用下的水平梁，不考虑轴力的影响。直接法绘制静定多跨梁内力图，不再将研究对象拆分成多段，而是取整体为研究对象，从左向右利用突变或渐变法作剪力图[7]，利用微分关系法作弯矩图。

1.2 绘制步骤

1)分析确定静定多跨梁的基本部分及附属部分，作出传力层次图。

2)根据静力平衡方程按照先附属部分，后基本部分的顺序计算所有支座反力。

3)根据作用与反作用公理可知，结构内部的铰结点对内力没有影响，可取整体为研究对象，将其视为一个单跨梁，利用突变或渐变法从左向右直接绘制剪力图，利用微分关系法绘制弯矩图，不再拆分作图。

4)校核。利用突变或渐变绘制剪力图，图形最终回归于0；铰结点及自由端处弯矩为0。直接观察是否满足上述验证条件，即可完成校核。

1.3 应用举例

水利水电工程是由国家投资兴建，中央和地方合资、地方投资、其他投资在防洪、灌溉、排水、供水、水电回收（包括设施及附属工程）各类水利工程。而水利工程质量就是指那些按照国家政策、法律规章制度以及相关的文件与合同等等实施的，具有高度的实用性和安全性的科学的经济的审美特征。在施工期间对各个工程环节的管理就是施工质量管理，它可分为准备、施工、竣工验收等几个阶段。

绘制如图1所示静定多跨梁的内力图[2]。

由图1可知，静定多跨梁承受荷载作用产生剪力和弯矩2种内力，其正负方向根据材料力学规定来确定。

1)分析图1可知，静定多跨梁的基本部分为AC段梁，附属部分为CE和EF这2段梁，其中EF依靠CE承担荷载，据此结论，作出静定多跨梁传力层次图如图2所示。

2)进行受力分析，依据静力平衡方程，从图2最外层开始，依次计算支座反力。静定多跨梁受力分析图如图3所示。

3)将多跨梁视为单跨梁，利用突变或渐变法从左向右依次分析梁上外力，沿着横截面方向的荷载会改变剪力，从0开始绘制剪力图，遇到横截面方向的集中力时，剪力图沿集中力方向发生突变；遇到均布力时，剪力图沿均布力方向发生渐变，对应斜直线的变化量为外力的大小。力偶对剪力没有影响。最后以剪力图回归于0作为校核条件，图绘制结束即可完成校核。静定多跨梁的剪力图如图4所示。

4)利用微分关系法绘制弯矩图。D截面有集中力偶作用，需要用到突变法，取右侧为研究对象，集中力偶作用右截面，使下侧受拉，则增加弯矩，向正向即下侧突变，突变量为集中力偶的大小(8 kN·m)。过了该截面，继续用微分关系法计算控制截面弯矩值，根据弯矩图规律进行连线，得到最终弯矩图。静定多跨梁的弯矩图如图5所示。最后以全铰结点或自由端弯矩为0作为校核条件，弯矩图绘制完成后，即可完成校核。

2 直接法绘制静定刚架内力图

2.1 概述

由于具有强度、刚度及空间利用方面的优点，刚架结构在工程中应用比较普遍，它在荷载作用下主要产生轴力、剪力、弯矩3种内力。传统内力分析方法需要把各杆及结点拆开，逐个进行受力分析，再组合后得到最终内力图，较为繁琐。采用直接法绘制内力图，主要借助力的平移定理和单跨梁内力图的快速作法，可简化绘制过程并快速校核。

1)根据静力平衡方程计算所有支座反力。

2)根据外力和内力的对应关系以及内力图的特征，从左向右，逐段分析并绘制内力图。其中轴力和剪力图可以直接利用突变或渐变法[7]绘制，其方向的确定可以利用截面法随机确定一个截面，也可以将剪力图连同杆件假想的旋转至水平，结合单跨梁结论确定正负，即：上为正，下为负。

3)直接法逐段绘制弯矩图。从左向右取最低结点为起始点，按顺序计算每个控制截面处的弯矩，其方法可以选用微分关系法；也可直接计算起点至待求截面范围内所有荷载关于该截面的合力矩，即该截面的弯矩，绘制到受拉的一侧。遇到杆件转折处，可将转折点之前所有荷载利用力的平移定理移至该杆，利用同样的方法计算控制截面处弯矩，再根据弯矩图形特征进行连线，得到最终弯矩图，以全铰结点或自由端处弯矩为0作为校核条件可以快速完成校核。如遇复合刚结点，则依据从四周向复合结点汇拢的原则，最后取该点为矩心，利用合力矩定理进行校核。

2.3 应用举例

绘制如图6所示静定刚架的内力图[2]，由图6可知，静定刚架承受荷载作用产生轴力、剪力和弯矩3种内力，轴力、剪力正负方向按材料力学规定来确定。

1)计算3个支座反力。FAx=ql，FAy=2ql，FDy=-ql。

2)直接法作轴力图。从左下角A点开始，承受FAy=2ql压力作用，得到AB段轴力为-2ql；分析BC段轴力时，根据力的平移定理，将AB段范围内所有力平移至B点，其中FAx=ql，平移后大小方向不变，使得BC杆承受压力作用，对应产生轴力为-ql；分析CD段轴力时，A点至C点范围内所有外力均平移至C点，经过合成，最终沿CD杆轴线方向的外力为FAy-ql=ql，方向竖直向上，因此CD杆轴力为ql。从最右侧D点开始，利用截面法很容易验证CD杆轴力为ql，即完成轴力图校核，得到最终轴力图如图7所示。

3)直接法作剪力图。同样从左下角A点开始，垂直杆方向的外力对应产生剪力，利用突变法作AB段剪力图，A点承受FAx=ql作用，从0开始向右突变FAx大小。可根据截面法确定其方向，也可令竖直杆绕起始点A点顺时针旋转90°至水平。由单跨静定梁突变法结论[7]可知，剪力图在杆下侧，根据材料力学规定，其方向为负，则可得AB段剪力为-ql；分析BC段剪力时，根据力的平移定理，将AB段范围内所有力平移至B点，其中FAy=2ql，平移后大小和方向不变，利用单跨梁方法绘制完成BC段剪力图，其为一斜直线；分析CD段剪力时，A点至C点范围内所有外力均平移至C点，从C点开始利用单跨静定梁突变法作出剪力图，令CD杆绕起始点C点逆时针旋转90°至水平，确保起点在左端，可确定剪力图方向。从最右侧D点开始，利用截面法很容易验证CD杆剪力图的正确性，最终得到的剪力图如图8所示。

4)直接法作弯矩图。同样从左下角A点开始，计算AB段各控制截面处弯矩，利用弯矩图形规律连线得到弯矩图；再利用力的平移定理将AB段范围内所有力平移至B点，附加力偶作用在结点B处发生突变，也可根据刚结点传递力矩的特点，直接由柱子AB端传至梁BC端，再根据单跨梁弯矩图绘制法得到BC段弯矩图；同理可得CD段弯矩。最后以全铰结点或自由端弯矩为0作为核校条件完成弯矩图校核。最终得到弯矩图如图9所示。

3 结论

“结构力学”是土木工程专业的核心课程之一，研究对象复杂，知识点间联系紧密，学生普遍认为该课程晦涩难学，尤其是内力图绘制难以熟练掌握。笔者结合教学实践，总结出快速绘制静定多跨梁及刚架内力图的直接法。将该方法应用于湖北理工学院2014、2015级土木工程(专升本)班以及2014级工程管理班结构力学课程教学中，解决了静定结构内力图绘制过程繁琐，不易校核等问题。同时，获取了如下3个结论。

1)直接法绘制静定多跨梁内力图。首先利用静力平衡公式计算所有支座反力；再将多跨梁视为1个单跨梁，从左向右，利用突变法绘制剪力图；然后应用微分关系法计算控制截面弯矩，结合弯矩图形规律连线，绘制弯矩图；最后以全铰结点或自由端弯矩为0的条件完成校核。

2)直接法绘制静定刚架内力图。首先利用静力平衡公式计算所有支座反力；再选取结构左下结点为起点，利用突变法逐段作轴力、剪力图，利用微分关系法作弯矩图，若遇竖直杆，可绕起点旋转至水平，并确保起点处在左端；分析其他杆内力，可将该杆至起点所有荷载利用力的平移定理平移至该杆，然后借助单跨梁方法绘制内力图；最后以全铰结点或自由端弯矩为0作为核校条件完成校核。

3)通过实践验证，应用直接法绘制内力图提高了做题效率，能够帮助学生树立学习的自信心，提高了学习效果，具有较好的推广和应用价值。

[1] 龙驭球，包世华.结构力学Ⅰ基本教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2006：47-58.

[2] 文国治.结构力学[M].重庆：重庆大学出版社，2011：46-56.

[3] 朱伯钦，周竞欧，许哲明.结构力学(上册)[M].3版.上海：同济大学出版社，2014：45-56.

[4] 王华，周燕.静定刚架内力图画法的研究[J].新一代，2012(2)：168,180.

[5] 汪维伟.多跨静定梁内力图的快速做法[J].城市建设理论研究，2013(21):1-4.

[6] 郑红娟，杨金勇.平面刚架内力图画法改进-直梁法[J].黑龙江科技信息，2010(24)：325，222.

[7] 缑勇，裴红艳，秦立平，等.快速作材料力学内力图的探讨[J].湖北理工学院学报，2016，32(1)：67-70.

(责任编辑 高 嵩)

Direct Method of Rapid Drawing of Internal Force Diagram on Statically Determinate Multi-span Beam and Rigid Frame

GouYong，PeiHongyan,QinLiping,WuJie,ChengTao

(School of Civil Engineering，Hubei Polytechnic University，Huangshi Hubei 435003)

Structural mechanics is an important basic specialized required course of Civil Engineering.Drawing internal force diagrams of statically determinate multi-span beam and rigid frame are key and difficult points.In order to simplify the drawing of internal force diagrams,the direct method has been put forward according to years' teaching practice,which is based on the analysis of single span beam's internal force,applies translation theorem of force,mutation method and differential relationship method. This direct method can draw fast and accurately internal force diagram on statically determinate multi-span beam and rigid frame,which can enable students to lay solid foundation for their further learning,and help them build self-confidence.

civil engineering；structural mechanics；internal force diagram；the direct method

2016-08-31

湖北省高等学校省级教学研究项目(项目编号：2013382；2015414)。

缑勇,讲师,硕士。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.02.015

G642.0

A

2095-4565(2017)02-0068-05