论数学中的平衡态势美

2017-04-28朱溦

新教育时代·教师版 2016年28期

摘要：数学是有趣的和美丽的，数学的美不是一件辅助的、附带的事，它是数学的一个基本特征。平衡態势的美是数学美的一个方面，在课程导入或解题中如果能意识到，并充分利用平衡态势的美，那将是一件令人兴奋的事情。

关键词：平衡态势美数学美硬币三角形课程导入

数学是有用的，如果谁理解自然并利用它的能量，那他甚至不能离开数学。不但如此，数学还是有趣的和美丽的，是令人兴奋的，是一项美妙的人类思想探险活动。我想数学的美不是一件辅助的、附带的事，它是数学的一个基本特征。真理永远是美的，而美的东西也总是真的。那些对数学抱有未开化的见解的人不理解这一点，其原因或是他们看不到数学之美，或是虽看到它却又怀疑它。它们认为美是多余的侈奢，并且他们在背向她时才觉得自己更接近现实。

一、数学美

数学家普洛克拉斯说：“那里有数，那里就有美。”数学的美包含很多方面，比如数学的结构美，它是一种内在的美，来自各部分的和谐秩序，给人以美的感受，如杨辉三角。又如数学的方法美和数字美等等，在这里要与大家一起分享的是数学美中的平衡态势美。可能很多人一看到平衡态势就会想到物理学中的平衡态势，想到心理学中的平衡态势，就是很难想象数学中的平衡态势是什么。那么数学中的平衡态势到底是什么呢？

二、平衡态势美

通常情况下，数学中的平衡态势可以理解为，为了某种目的，在做某件事情的策略过程中，始终保持某中平衡状态不变，并且最终因此而取得完美的胜利，这种被保持的平衡状态所体现出来的美就称为平衡态势美。为了更好地理解数学中的平衡态势美，我们首先一起来分享一下例1，这是一个在某种条件下，谁先赢的策略题。

例1有200枚棋放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1枚或2枚，取到最后1枚的为胜。必胜的策略是什么？[1]

分析：由于200÷（1+2）=66∧∧2，所以要想取胜就必须争取先取，且取走2枚。然后两人每一次轮流取走的棋子的和应是3枚。

在这道题的分析过程中可以明确地知道，要想取胜必须要做到三点，第一，要先取；第二，要先取2枚；第三，后面每一次取得的数要与他人取得的数字之和为3。那么第三点中始终保持所取数字之和为3所体现的就是我们数学中的平衡态势的一种情形。利用这种平衡态势达到完美取胜所体现出来的美就是数学中的平衡态势美。

数学中的平衡态势还有没有其它情形呢？我们再来分享一下例2。

例2有15个硬币分压行摆成一个三角形，各行的数目分别是1、2、3、4和5，如图1两个游戏人轮流从任选的一行中取硬币，每次至少取一个，这个游戏有两种输赢规定：或者取那最后一个硬币的人赢，或者迫使对手去取最后一个硬币的人赢，如果你懂得这中间的“诀窃”，而对手不知道，那么，不管谁先手取硬币，你都准能赢。你知道该怎样玩吗？[2]

分析：这里的窍门也是要设法去建立起一种平衡态势，让2的同次幂全都成对地出现，譬如说要么出现两个，要么完全不出现，而不要让它出现一个或三个。坚持这种战术，直到最后的态势仍对自己有利。当然怎样算有利的态势，这同必须由你还是必须由对手去取那最后一个硬币才算你赢有关。最初，如图2所示，2的幂以4和2的形式成对出现，但以1的形式不成对出现，这是不平衡的，所以，先取的游戏人应该从第一、第三或第五行中取走一个硬币，倘若他不懂这游戏的诀窍，譬如说，错误地从中间一行取走两个硬币，那么，懂诀窍的第二个游戏人从第二行中取走一个硬币，后者显然就取得一种平衡态势（同输赢规定有关，有时这也可以是不平衡的态势）。例如，如果规定取最后一个硬币的人是输家，那么，懂诀窍的游戏人会让剩下的硬币是1、1、1或1、1、1、1、1。值得指出的是，如果懂诀窍的游戏人是后手，而对方无意识地在先手取走一个硬币时获得了有利态势，那么，懂诀窍的那人就应该只取走一个硬币，而把希望寄托在对手下一轮取硬币时发生错误。此外，当硬币比较少，譬如在本题中只有15个时，一个不知道要用到二进制，即不知道考察1、2和4的人，只要玩得久了，凭经验也能象上面样去正确地取硬币，这时，懂诀窍的老手可以硬币排列的行数或每行的硬币数胡乱改变一下，借以迷惑对手，然后再按上面介绍的战术去玩，就可望取胜。