平衡截断法与时间尺度法的降阶效能分析

刘文东，李华滨，包为民

（1. 北京航天自动控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系统工程研究所，北京，100076；3. 中国航天科技集团公司，北京，100037）

平衡截断法与时间尺度法的降阶效能分析

刘文东1，李华滨2，包为民3

（1. 北京航天自动控制研究所，北京，100854；2. 北京宇航系统工程研究所，北京，100076；3. 中国航天科技集团公司，北京，100037）

为分析利用平衡截断法截断系统设计控制器的优势及局限，对比分析了在对系统降阶的过程中平衡截断法和时间尺度法在降阶维数的判断、截断状态的选择及截断后降阶系统频率响应方面的区别与联系。提出一种以降阶控制器控制原系统的效果来判断降阶系统对原系统的近似方法。利用平衡截断后系统与慢时间尺度系统分别设计降阶控制器。仿真结果表明，平衡截断法在截断系统状态过程中更为精细，对于加入控制后为改变其开环特性的系统，依据平衡截断法得到的降阶系统对原系统逼近效果比时间尺度法好；而对于反馈控制改变其开环特性的系统，平衡截断法不能敏感到系统特性的改变，近似效果比时间尺度法差。

平衡截断; 时间尺度; 降阶系统; 降阶控制

0 引 言

工程实践中，为解决复杂高阶系统带来的计算困难，通常采取一系列模型简化的方法，平衡截断法即是一个得到广泛认可[1～3]的经典模型降阶方法。

平衡截断法最早由Moore[4]提出，旨在通过坐标变换构造系统内部的平衡实现，进而截断可控性、可观性差的状态，实现模型的降阶[5]。比平衡截断法提出稍早，Kokotovic从时间尺度的角度提出包含快慢模态系统的分解方法[6]，并从设计状态调节器的角度分析依据慢子系统设计的控制器对原系统的控制效果[7]。可以说，平衡截断法与时间尺度的分析方法均是一种通过设计低阶/降阶控制来控制高阶系统的方法。从选取哪些状态不参与降阶控制器设计的角度来说，前者舍去的是Hankel奇异值小的可控可观性差的状态；后者舍去的是特征值大的高频分量。区别在于平衡截断法侧重于对开环系统频率、幅值特性的近似，而时间尺度法侧重于对系统控制效果的近似。目前，尚未有文献对这两种选取降阶系统的依据及其相应的控制效果进行对比分析。同时考虑到文献[8]中提及的加入控制后，系统时间尺度改变导致降阶系统维度变化的情况，应用平衡截断法是否存在同样问题也需进行研究。

本文按两种方法分别选取了降阶系统，并依此设计了控制器，对比了其降阶系统的维度、包含的状态，以及控制器控制效果，从时间尺度的角度出发，分析了平衡截断法的优势及局限，并对平衡截断法的使用提出建议。

1 平衡截断法与时间尺度法

1.1 平衡截断法

假定系统{A,B,C,D}是稳定的。P，Q分别表示可控性Gramian矩阵和可观性Gramian矩阵，则P，Q满足：

依次递减排列的称为系统的Hankel奇异值。若存在第r个奇异值使得，那么所对应状态的可控性和可观性都较差，截取它们不会损失太多信息。

1.2 时间尺度分析方法

两尺度线性定常系统

式中x1，x2维度分别为n1×1和n2×1。µ为小于1的小参数。若A22可逆，可分解为快慢两个子系统分别求解。慢子系统为

快子系统为

由此，原系统式（3）最优控制的解可通过子系统式（4）、式（6）的解近似。

2 降阶控制器性能指标计算方法

对于奇异摄动系统，存在边界层[9]问题。然而，对于性能指标为积分型的线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator，LQR）问题，针对降阶慢子系统设计的控制器能保证其控制性能指标与最优性能指标相差0(µ)量级[6]，意味着在该种情况下，可利用慢子系统一定程度上近似原系统。因而，提出了一种以降阶控制器控制原系统得到的性能指标为依据判断降阶系统对原系统的近似程度的方法。

控制器性能指标为

对降阶系统：

性能指标式（7）变为

构造哈密尔顿函数：

由极值条件：

解得：

正则方程为

假定：

式中K待定。对式（14）求导得：

联立式（12）至式（15），对比xr项系数，得：

若Riccati方程式（16）存在半正定稳定解Kr，则降阶系统的最优控制为

对于降阶控制ur=−Fxr，闭环轨线为

性能指标式（7）可化为

联立式（18）至式（20）可知：

若能保证Ar-BrF稳定，则可通过解Lyapunov方程式（21）得到正定的Pr，进而可得降阶控制的性能指标Jr。

3 平衡截断法与时间尺度法对比分析

3.1 降阶维数的判断

平衡截断法依据Hankel奇异值的大小决定降阶的维度，意味着PQ的特征值影响着降阶的维度。时间尺度法降阶则依据系统特征值的大小。为探明PQ特征值与系统开环、闭环特征值的关系，将原系统降至一维，则Lyapunov方程式（1）、式（2）的解为

式中a,b,c为A,B,C阵的标量形式。而此时，系统开环特征值为a。若采用LQR设计反馈，系统闭环特征值为。可粗略认为Hankel奇异值与系统开环、闭环特征值存在包含某种比例系数的倒数关系。这也与降阶近似时，平衡截断法截断Hankel奇异值小的状态而时间尺度法舍弃特征值大的状态相符。

为进一步辨明Hankel奇异值与开环系统特征值及闭环系统特征值的关系，选取系统如下：

随机生成系数矩阵B，C，仿真 100次，系统的Hankel奇异值分布如图1所示。

由图1中可以清晰看出尽管系统系数矩阵B，C参数发生了改变，但Hankel奇异值始终保持两大两小的分布。

与此同时，系数矩阵A的特征值为：-2.815±12i，-140±142.83i，与Hankel奇异值分布相符。为测试闭环系统特征值与Hankel奇异值的关系，选取性能指标取式（7），采用前文系统参数依据LQR设计反馈得到系统闭环特征值，100次仿真结果如图2所示。

图2中存在一条虚线界限，当闭环特征值3到达虚线左侧时，可认为闭环系统特征值实部绝对值呈现三大一小的分布。由此可见在相同的系统参数情况下，Hankel奇异值与系统开环特征值分布相似，与系统闭环特征值分布存在偏差。

3.2 截断状态的选择

取矩阵B=[0 0 0 10]’，C=[0 1 1 1]，观察两种方法舍去的状态量的成分。

平衡实现后的系统状态变为ˆ=xTx，状态ˆx为

对于时间尺度法[7]，满足：

式中a，b为系数矩阵A，B中元素，Go为慢子系统对应的反馈系数us=Goxs。

把xf作为快子系统状态量进行截断时，截断的快模态仅为x3，x4中快模态的一部分，未包含x3，x4快模态中与x1，x2相关的部分0(µ)项及x1，x2中的快模态0(µ)项。这说明时间尺度法截断的状态仅为系统快模态的一部分，保留的是系统慢模态和剩余的快模态。虽然文献[8]证明了包含部分快模态及全部慢模态的拓展降阶控制器性能优于仅包含慢模态的控制器，然而该命题的前提是系统维度已增高。若对于系统维度不变的情况下，将快慢模态复合的状态判定为慢模态会导致判断系统切空间膨胀压缩方向时存在一定偏差[10]，虽然该偏差已证明为µ的同阶无穷小量级[6]。

3.3 截断后降阶系统频率响应

依据两种方法得到的降阶系统为

系统频率响应如图3所示。由图3可知，平衡截断法得到的降阶系统在全频域对原系统近似较好，但在高频区域存在偏差；慢子系统对系统的低频域近似较好，高频较差；快子系统反之。通常时间尺度法利用慢子系统、快子系统分段近似原系统并在交叉段进行复合。图3表明两种方法均能够对原系统的频域做出有效的近似。

3.4 降阶控制器控制效果分析

取式（7）中R=1，初值x0=[1 1 1 1]’，依据平衡截断后系统与慢子系统分别设计降阶控制器，按第2节中的方法计算控制性能，采用文献[4]、文献[8]中的系统模型，仿真结果如表1所示。

表1 多系统降阶控制器控制性能对比（1～7）

续表1

由表1可看出在仿真1～7中，系统Hankel奇异值与闭环系统特征值均呈现两大两小分布，这意味着两种方法降阶后的系统均为两维。从降阶控制器控制性能的角度来说，表中采用平衡截断法截断系统后设计的降阶控制器控制效果比依据时间尺度法设计的控制效果好，而这也与3.2节中对两种方法截断状态的分析结果相符。

然而由文献[8]知，仿真1～7中，系统的开环特性并未发生改变。对于反馈控制改变系统开环特性的系统，仿真结果如表2所示，若n阶系统存在n1维慢模态和n2维快模态（n=n1+n2），则设计n1维降阶控制器是合理的；若设计的降阶控制器维数低于n1维，则该控制器是不合理的，因为这意味着控制器设计过程中忽略了部分不应忽略的慢变状态，其控制效果存在较大不确定性。

对于仿真8～10，由E可知若采用LQR最优控制，则反馈控制改变了系统开环特性，对应的合理降阶系统维度从原来的两维变为三维，在令平衡截断后的系统同样保留三维状态后，对比发现其控制效果与闭环时间尺度法相比较差。这是由于Hankel奇异值更接近于系统开环特征值，依据Hankel奇异值对系统的非奇异变换使得系统在选取要截断的状态时不能敏感到反馈控制带来的系统特性的改变。因而该非奇异变换在选取系统主要成分过程中存在偏差，进而使得截断后系统对原系统的近似比时间尺度法差。

表2 多系统降阶控制器控制性能对比（8～10）

4 结 论

平衡截断法作为一种广泛使用的模型降阶方法，使用时通常从频域、时域方面检验其与原开环系统的逼近程度。然而对高阶系统的降阶目的并非只有对系统开环特性的近似，更一般的是依据降阶后的系统设计相应的控制来控制原系统，因而模型降阶与其说是设计一种低阶系统近似原高阶系统，不如说是通过以一种低阶系统对应的控制近似原高阶控制的控制效果。在这样的考虑下，本文设计了以降阶控制器控制效果为评判依据的平衡截断法与时间尺度法对系统逼近效果的比较。仿真结果表明，在系统开环特性未改变的情况下，平衡截断法由于其平衡实现导致其截断状态过程中更为精细，控制器效果较好；而对于反馈控制改变系统开环特性的情况，平衡截断法不能敏感该改变，在截断状态时存在偏差，其控制效果比时间尺度法差。因而在使用平衡截断法截断系统设计控制律后，需检验其闭环系统特性与原开环特性相比是否发生改变。

[1] 杜鑫, 丁大伟. 基于平衡截断法的离散时间线性时滞系统的低频域模型降阶[J]. 自动化学报, 2015, 41(10): 1826-1830.

[2] 尤明, 宗群, 曾凡琳, 等. 基于平衡截断方法的高超声速飞行器模型降阶[J]. 控制理论与应用, 2014, 31(6): 795-800.

[3] 熊纲, 杨超. 平衡截断方法在气动伺服弹性系统模型降阶中的应用[J].航空学报, 2001, 22(2): 168-170.

[4] Moore B. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability and model reduction[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1981, 26(1): 17-32.

[5] 周克敏, Doyle J C, Glover K. 鲁棒与最优控制[M]. 北京: 国防工业出版社, 2006.

[6] Kokotovic P V, Haddad A H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1975, 20(1):111-113.

[7] Chow J H, Kokotovic P V. A decomposition of near-optimum regulators for systems with slow and fast modes[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1976, 21(5): 701-705.

[8] 刘文东, 范世鹏, 李华滨, 等. 闭环两尺度系统复合LQR控制建模与设计方法[J]. 控制与决策, 2017(3): 60.

[9] 周明儒, 林武忠, 倪明康, 等. 奇异摄动导论[M]. 北京: 科学出版社, 2014.

[10] Mease K D, Bharadwaj S, Iravanchy S. Timescale analysis for nonlinear dynamical system[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2003, 26(2): 318-330.

Performance Analysis for Balanced Truncation and Timescale Method

Liu Wen-dong1, Li Hua-bin2, Bao Wei-min3
(1. Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing, 100854; 2. Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076; 3. China Aerospace Science and Technology Corporation, Beijing, 100037)

To analyze the advantage and limitation of using balanced truncation method during controller designing, the comparison between balanced truncation method and timescale method is made in the decision of reducing dimension, the selection of the truncated states and the frequency response of the reduced order system. To evaluate the degree of approximation, a method using reduced controller control performance index is proposed. Two reduced order controllers are designed using the truncated system and slow timescale system, and the performances are compared. Simulation results show that the balanced truncation method is more precise in selecting the system state. For the system which has not change its open loop characteristics after adding the control, the reduced order system obtained by the balanced truncation method has better approximation than the timescale method, however, for the system has changed its characteristics with feedback control, the balanced truncation method can not be sensitive to the changes, the approximation is worse than the other method.

Balanced truncation; Timescale; Reduced-order system; Reduced-order control

O231.1

A

1004-7182(2017)02-0044-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20170210

2016-12-15；

2017-01-16

刘文东（1987-），男，博士研究生，主要研究方向为飞行控制系统中的多尺度问题