关于点电荷所形成的电场和电势问题

摘要：对于在学习过程中常遇到的点电荷所形成的电场和电势的问题，文章从单个点电荷所形成的场强或电势入手，运用矢量或标量相加法则，总结了电场线、等势面图像的规律，并将这些规律推广到了多个点电荷情形。对于较复杂的由多个点电荷形成的电场问题，可以先判断单个电荷所形成的电场和电势，再根据公式计算总场强或总电势。对于两电荷量不同的点电荷连线中垂线上的某点而言，总场强方向将朝向电荷量较多的电荷形成的场强方向偏转。

关键词：点电荷；电场；电势；矢量；标量

作者简介：王斯加（1998-），女，杭州学军中学高三学生。

在学习点电荷所形成的电场和电势时，老师常常会介绍一些规律，比如两个同种点电荷所形成的电场中，从两电荷连线的中点沿该连线中垂线向外场强先增大后减小；若是异种点电荷则向外逐渐减小[1]等。的确，这些规律给解题带来了很大的帮助，但要想把它们记清楚，不混淆，却十分困难，一不留神就会“张冠李戴”。因此，若能将其背后的原理真正理解清楚，再记起来便会方便许多。

为了真正弄明白点电荷所形成的电场和电势的特点和规律，可以从简单的定义入手，对上述规律加以解释。需要用到这样两个基本公式：

（1）

（2）

先考虑最简单的单个点电荷所形成的电场。

一.单电荷情况

由式（1）可知，从正电荷出发向外，电场强度逐渐减小。这也就印证了“电场线越密集的地方电场强度越大”。

由式（2）可知，到点电荷距离相等的点电势相等。所以在单个点电荷所形成的电场中，等势面是以该点电荷为圆心的同心圆。

负电荷则类似，只是方向相反。

二.两个电荷情况

1.两个电荷所带电荷量相等

为方便说明，设两点电荷带电量均为Q。

Ⅰ.两个正电荷

（1）电场强度：

对于该电场内某点形成的场强问题，可以用“矢量叠加”的原理解决，即把某点的总电场视为左边电荷所形成的电场和右边电荷所形成的电场的矢量和，如图3：

由图可见：

从两电荷连线的中点沿该连线中垂线向外，场强先增大后减小；中点处和无限远处场强为零。

（2）电势：

与在探究场强时方法类似，将某点的电势视为两个点电荷所形成的电势之和。而电势为标量，因此只需进行简单的代数相加即可。

若探究点在两点电荷连线中垂线上，则有：

得到以下结论：

在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高，沿该中垂线向外电势逐渐减小至0.

若探究点在两点电荷连线上，设探究点到左边电荷的距离为x，则到右边电荷的距离为2r-x，则有：

则由相应数学知识可知：当x=r时， 取最大值2kQ/r.

即在两点电荷连线上，中点电势最低。

同样道理，对于两个相等负电荷我们可以得出相同结论。

（2）电势：

对于两点电荷连线中垂线上的某点，左右两点电荷产生的电势相互抵消，因此该中垂线上各处电势均为0，为一条等势线。

2.两个正电荷所带电荷量不相等

Ⅰ.两个正电荷

Ⅱ.两个负电荷或一正一负电荷

若两点电荷为两个负电荷或一正一负，我们也可以得到类似的结论。

利用该结论，我们可以解决很多有关问题：

对于如图-10所示的电场并非关于中垂线对称，似乎很难判断a、b两点荷所带电量的大小。而由以上探究可知，由于电场线由正电荷出发终止于负电荷或无穷远处，知此两电荷必为异种电荷；又因为在两点电荷连线中垂线上，场强方向向右边电荷的场强方向偏转，可知a的电荷量小于b的电荷量。

下面把以上所有的探究结论运用到实际解题中去：

【例】（15江苏）两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则：（ ）[2]

A.a点的电场强度比b点的大

B.a点的电势比b点的高

C.c点的电场强度比d点的大

D.c点的电势比d点的低

【答案】ACD

【解析】

A项：本项的判断是关于点电荷所形成的电场强度的判断。直接观察图像可知，a点电场线要比b点密集，因此A项正确。

B项：本项的判断是关于点电荷所形成的电场电势高低的判断。由于电势沿电场线方向逐渐降低，因此B项错误。

C项：c点处总电场强度可以视为三个点电荷分别产生的场强的矢量和。对于c点而言，两个负电荷在c点处产生的电场强度大小相等方向相反，因此总场强等效为正电荷产生的场强，所以Ec=kQ正/r32，方向豎直向下。

而对于d点而言，两个负电荷在水平方向上产生的电场强度大小相等方向相反，而在竖直方向上产生的总电场强度方向竖直向下，大小为E负=2（KQ负/r22）*（2r3/r2）；正电荷在竖直方向上产生的电场强度方向竖直向上，大小为E正=kQ正/r32，所以d点总电场强度为Ed=E正 -E负= kQ正/r32-2（KQ负/r22）*（2r3/r2）

D项：电势为标量，因此直接计算数值即可，不用考虑方向。

对于c点而言：φc=kQ正/r3-2 kQ负/r1

对于d点而言：φd=kQ正/r3-2 kQ负/r2

又因为r2>r1，所以φd>φc，即D项正确。

总而言之，对于较复杂的由多个点电荷形成的电场，可以先利用相关公式计算单个点电荷所形成的场强或电势。对于电场，运用矢量相加法则；对于电势，运用标量相加法则，算出多个点荷的总场强或总电势。特别地，对于两电荷量不同的点电荷连线中垂线上的某点而言，总场强方向将朝向电荷量较多的电荷形成的场强方向偏转。

参考文献：

[1]曲一线.五年高考三年模拟：B版.高考物理[M].北京：教育科学出版社.2012.97

[2]壹柒教育.8.两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布…. [OL].[2016-11-13].http：//www.17jiaoyu.com/stzx/gzwl/gkmn2015/201506/20150611144407_136249.html

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