马尔科夫切换型时滞系统的稳定性

叶志勇，潘素英，张 华，2

(1.重庆理工大学 理学院， 重庆 400054; 2.铜仁学院 大数据学院， 贵州 铜仁 554300)



马尔科夫切换型时滞系统的稳定性

叶志勇1，潘素英1，张 华1，2

(1.重庆理工大学 理学院， 重庆 400054; 2.铜仁学院 大数据学院， 贵州 铜仁 554300)

马尔科夫切换型时滞系统是能很好地描述具有随机性同时又具有时滞的一类系统，而稳定性是其研究的基础。通过选取合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用线性矩阵不等式和Schur补引理得到了依赖于时滞的稳定性判据，理论上说明了所考虑系统在足够小的时滞条件下可以达到渐近稳定。最后通过Matlab LMIs Toolbox可以找到可行的矩阵解，并且借助Matlab LMIs Toolbox进行了数值仿真，说明了所得结论的有效性。

时滞；随机系统；Brownian运动；马尔科夫切换

时滞现象是造成系统不稳定、降低系统性能的主要因素之一，它广泛存在于各种工程系统中，进而使时滞系统受到大量关注，并且取得了丰硕的研究成果[1-3]。对于时滞系统的研究已深入各分支，比如时滞系统的时滞相关与否、时滞相关的稳定性分析与设计、参数识别等。

在实际的物理系统中，存在着许多的噪声和不确定性，而噪声和不确定性的干扰使得原有系统的性质被破坏。为了更好地刻画系统的内在性质，同时更准确、深入地对实际物理系统进行描述，研究中引入随机系统。高斯噪声是由Brown运动引起的干扰，而在实际生活中，系统除了受高斯噪声的干扰外，还受诸多其他噪声的干扰，如Possion噪声等。

在实际工程系统中，由于随机错误、不可预测的事件、互联子系统的变化等会引起系统参数的改变，而马尔科夫切换型随机系统就能很好地描述这种现象。马尔科夫切换型随机系统同时包含离散和连续状态，它可以对本身具有多模态性质的动态系统和为了提高系统的性能而采取多控制器切换的智能控制系统进行很好的描述，因而马尔科夫切换型随机系统理论和相应的控制方法在飞行器控制、电力系统、网络通信、无线伺服控制等诸多领域都有研究。毛学荣和袁成桂合著了第1本关于具有Markov切换的随机系统专著[1]。基于该文献的研究成果，Markov切换的随机系统的能控性、鲁棒性、稳定性等相关理论取得了相应的进展[4-9]。对于马尔科夫切换型随机系统的稳定性的研究有许多的相关文献，包含各种不同的稳定性(比如指数稳定、随机稳定、几乎必然指数稳定等)研究。本文主要考虑：对于马尔科夫切换型随机时滞系统，在给定的初始扰动下，当所含时滞足够小时，系统仍然能够达到稳定状态。为了实现系统的稳定，选取一个Lyapunov-Krasovskii泛函，再根据其判据得到想要的结果。

1 基础知识和模型建立

已知对于一个含单时滞τ的时滞系统，如果所考虑的系统对所有τ≥0都满足该系统的稳定性判据，则称该系统是时滞无关的。如果稳定性准则与时滞τ是无关的，也就是所得的稳定性准则中不出现τ，则称该稳定性准则是时滞无关稳定性条件。如一个稳定性准则与时滞τ相关，即稳定性准则中出现τ，则称该稳定条件是时滞相关稳定条件。

令(Ω,F,{Ft},P)是一个完备的概率空间，滤子{Ft}t>0满足通常条件(即{Ft}t>0右连续，且F0包含所有概率为零的集合)。

所考虑的模型描述如下：

(1)

引理1(Schur补)[10]对于给定在Rm的矩阵Q(x)=QT(x)，R(x)=RT(x)，以及S(x)，线性矩阵不等式(LMI)

等价于R(x)>0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)>0或者Q(x)>0,R(x)-S(x)Q-1(x)ST(x)>0。

2 主要定理

本文将对系统(1)的稳定性进行分析，其详细结果由定理1给出。

(2)

(3)

其中：

则系统(1)是渐近稳定的。

证明 为了得到系统(1)的稳定性，选取如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

其中：

V1(x(t),r(t),t)=xT(t)P(r(t))x(t)

且PT(r(t))=P(r(t))>0,QT(r(t))=Q(r(t))>0,RT=R>0。

为了叙述方便，不妨记r(t)=i,i∈S。当外部扰动B(t)=0时，可以求得V(x(t),r(t),t)的如下无穷小算子：

LV2(x(t),r(t),t)+LV3(x(t)

LV2(x(t),r(t),t)=xT(t)Qix(t)-xT(t-τ)Qix(t-τ)+

因此，根据不等式(3)，LV(x(t),r(t),t)能够被放大为：

LV(x(t),r(t),t)≤2xT(t)PiAix(t)+

2xT(t)PiBix(t-τ)+

xT(t-τ)Qix(t-τ)+τxT(t)Rx(t)=

xT(t)Ξ1ix(t)+2xT(t)PiBix(t-τ)-

xT(t-τ)Qix(t-τ)

这里

不过这场“抵制塑料吸管”的社会运动，并没有得到所有人的响应，甚至遭到了某些群体的反对和质疑。比如，有残疾人权益群体表示，塑料吸管，特别是可弯曲的那种，是某些残障人士不可或缺的生活辅助用品。

3 实验仿真

对于系统(1)

Cr(t)x(t)dB(t)

根据定理1,借助Matlab求得可行的解为：

根据实验的仿真结果，利用Matlab绘制随机切换和状态响应图，见图1～2。

图1 随机切换

图2 状态响应

图1表示在r0=2的初始条件下的马尔科夫链切换的一种可能状态。图2显示的是系统在给定初值x0=(-1;0.5;2)和时滞τ=0.5条件下的状态响应。可以看到：所考虑系统在相应的条件下最终可以实现渐近稳定。

4 结束语

本文基于马尔科夫切换的时滞系统，借助依赖于参数时滞的Lyapunov-Krasovskii泛函的方法，得到了所考虑系统渐近稳定地依赖于时滞的充分条件。此方法借助于Schur补引理，进而将系统的稳定性问题转化为线性矩阵不等式的可行性问题，最后借助软件Matlab的LMIstoolbox找到不等式可行的解，且验证了结果的有效性。

[1]MAOX,YUANC.StochasticdifferentialequationswithMarkovianswitching[M].London:ImperialCollegePress,2006.

[2]XUS,LAMJ.Onequivalenceandefficiencyofcertainstabilitycriteriafortime-delaysystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2007,52(1):95-101.

[3] 刘蕾,罗宾,韩存武,等.线性时滞系统的稳定性分析与控制[J].计算机仿真,2015,32(8):327-331.

[4]SHIP,ZHANGY,CHADLIM,etal.MixedH-infinityandpassivefilteringfordiscretefuzzyneuralnetworkswithstochasticjumpsandtimedelays[J].IEEEtransactionsonneuralnetworksandlearningsystems,2016,27(4):903-909.

[5]YANGJ,ZHOUW,PENGS,etal.SynchronizationofdelayedneuralnetworkswithLévynoiseandMarkovianswitchingviasampleddata[J].NonlinearDynamics,2015,81(3):1-11.

[6]ZHOUWN,TONGDB,GAOY,etal.Modeanddelay-dependentadaptiveexponentialsynchronizationinpthmomentforstochasticdelayedneuralnetworkswithMarkovianswitching[J].IEEETransactionsonNeuralNetworks&LearningSystems,2012,23(4):662-668.

[7]WANGZD,LIUYR,LIUXH.ExponentialStabilizationofaClassofStochasticSystemWithMarkovianJumpParametersandMode-DependentMixedTime-Delays[J].AutomaticControlIEEETransactionson,2010,55(7):1656-1662.

[8]CHENWH,ZHONGJC,ZHENGWX.Delay-independentstabilizationofaclassoftime-delaysystemsviaperiodicallyintermittentcontrol[J].Automatica,2016,71:89-97.

[9]CHENWH,ZHENGWX.Delay-IndependentMinimumDwellTimeforExponentialStabilityofUncertainSwitchedDelaySystems[J].AutomaticControlIEEETransactionson,2010,55(10):2406-2413.

[10]BOYDS,GHAOUILE,FERONE.LinearMatrixIneq-ualityinsystemandcontroltheory[M].Philadelphia:AIAM,1994.

(责任编辑 陈 艳)

Stability of Markov Switching Delay Systems

YE Zhi-yong1, PAN Su-ying1, ZHANG Hua1,2

(1.College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China;2.Big Data Institute, Tongren University, Tongren 554300, China)

Markov switching delay system is a kind of systems which can be well described as the system with random and time delay. The stability is the foundation of its research. By choosing a appropriate Lyapunov-Krasovskii functional, using linear matrix inequality and Schur lemma, the stability criteria dependent on the sufficient small delay for the considered system can achieve asymptotic stability. Finally, the feasible matrix solution can be found by LMIs Toolbox Matlab, and the numerical simulation was designed by means of LMIs Toolbox Matlab, which shows the effectiveness of the conclusion.

time-delay; stochastic system; Brownian motion; Markov switching

2016-11-16

国家自然科学基金资助项目(61364006)；重庆市教委科学技术项目(KJ1500915)；重庆理工大学科研项目(2013ZD22)

叶志勇(1966一 )，男，四川富顺人，博士，教授，主要从事微分方程与动力系统研究，E-mail:yezy@cqut.edu.cn。

叶志勇，潘素英，张华.马尔科夫切换型时滞系统的稳定性[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(4):141-144.

format：YE Zhi-yong, PAN Su-ying, ZHANG Hua.Stability of Markov Switching Delay Systems[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(4):141-144.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.04.023

O231.1

A

1674-8425(2017)04-0141-04