万有引力定律在天文学上应用归类探析

魏廷智

摘要：对于力和运动的关系，一般关注较多的是直线运动，实际上，牛顿运动定律不仅适于直线运动，也适于曲线运动，抓住天体运动是牛顿运动定律在曲线运动的典例这一主题，方可对万有引力定律在天文学上的应用深入探究.

关键词：万有引力定律；天文学

万有引力定律一般用于分析天体做匀速圆周运动的动力学问题或运动学问题，基本思路有两种：一种是没有特别说明情况下，将天体（或人造卫星） 绕着某中心天体的运动看作匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，即GMmr2=man=mrω2=mv2r=m4π2T2r；另一种是天体表面或附近的物体所受的重力近似等于天体对物体的万有引力，在天体表面建立GMmR2=mg，得到黄金代换式GM=gR2

1计算天体表面（附近）重力加速度

如图1所示，当天体不自转或天体的自转可以忽略时，天体对其表面（附近）物体的引力等于该物体在天体表面所受到的重力 即GMmR2=mg，则天体表面处的重力加速度g=GMR2 同理可得天体表面附近高度h处的重力加速度，如图2所示，g′=GM（R+h）2.

例1（2012年课标Ⅱ卷）假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的球体 一矿井深度为d 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零 矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A.1-dRB.1+dR

C.（R-dR）2D.（RR-d）2

解析物体在地面上时的重力加速度可由g=GMR2得出 根据题中条件，球壳对壳内物体的引力为零 矿井底部可以等效为地面，设矿井以下剩余部分地球的质量为M′，矿井底部处重力加速度可由g′=GM′（R-d）2得出，而M′M=（R-d）2R3，即g′=（1+dR）g 所以，B选项正确

点评题目难度较大，若盲目利用公式g=GMR2，没有正确理解公式中M和R的含义，导致解答错误，在万有引力公式F=GMmr2中，正确理解每一个字母符号的意义，特别是在具体题目中，要能辨别这些字母代表该题目中哪个具体的物理量

2计算天体的质量和密度

作为万有引力定律在理论的成就，需要求解天体的质量和密度，利用天体表面物体所受重力等于天体对物体的引力和观测卫星的运动，是测量天体质量的重要方法

21“称”量天体质量

不考虑天体自转，天体表面物体所受重力等于天体对物体的引力 根据GMmR2=mg，知道天体表面的重力加速度g和半径R，英国物理学家卡文迪许在实验室通过几个铅球间万有引力测量并计算出了引力常量G，这样就可算出天体的质量M，他称这种计算天体质量的方法为“称”天体的质量

例2一宇航员站在某一星球表面上，沿水平方向抛出一小球，经过时间t落回到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，测得抛出点与落地点的距离为3L，已知两抛出点在同一水平面上，该星球半径为R，万有引力常量为G，求该星球质量

解析如图3所示，设抛出点的高度为h，第一次以初速度v抛出物体做平抛运动的水平射程为x，当初速度增大到2倍，水平射程为2x 由几何关系：

L2=h2+x2

（3L）2=h2+（2x）2

解得h=33L.

设星球表面重力加速度为g，星球的质量为M，小球质量为m

竖直方向h=12gt2，

又因为GMmR2=mg，

联立以上式子解得M=23LR23Gt2.

例3一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量，做如下的实验：取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的测力计上，手握細直管抡动砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动 如图4所示，此时观察测力计得到砝码运动到圆周的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为ΔF，已知引力常量为G，试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M

解析设砝码在竖直平面内做完整圆周运动的轨道半径为r，在最高点和最低点受到细绳的拉力（测力计的读数）分别为F1和F2 根据牛顿第二定律，有

砝码在最高点：F1+mg=mv21r，

砝码在最低点：F2-mg=mv22r，

根据机械能守恒定律，有

12mv21+mg·2r=12mv22，

联立以上三式，解得g=ΔFm

星球表面上质量为m的物体所受重力等于万有引力，即GMmR2=mg

则该星球的质量M=R2gG=R2ΔF6Gm

点评“称”天体的质量，根据竖直上抛运动或平抛运动等力学规律求出天体表面的重力加速度是关键，再利用天体对其表面物体的引力等于该物体在天体表面所受重力的思路求出天体的质量.

对于天体的密度，将天体看作球体，体积V=43πR3，根据ρ=MV，求出天体的密度

22计算中心天体的质量和密度

如图5所示，将环绕天体m（行星或人造卫星）看作质点，它将环绕中心天体M做匀速圆周运动，

环绕天体所需要的向心力来自于中心天体和环绕天体之间的万有引力.

根据牛顿第二定律，有

GMmr2=man=mrω2=mv2r=m4π2T2r，已知或测出相关量，即可求出中心天体的质量M

在天文学中，环绕天体的线速度v、角速度ω都比较难以测量，而比较容易测量的是轨道半径r和环绕周期T，所以GMmr2=m4π2T2r比较常用，由此得到中心天体的质量M=4π2r3GT2 该中心天体密度为ρ=MV=3πr3GR3T2（R为中心天体的半径） 当卫星沿中心天体表面运行（近地卫星）时，r = R，则ρ=MV=3πGT2

例4 （2011年安徽理综） （1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即a3T2，k是一个对所有行星都相同的常量 将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式 已知引力常量为G，太阳的质量为M太；

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立 经测定月地距离为384×108m，月球绕地球运动的周期为236×106s，试计算地球的质量M地.（ G=667×10-11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字）

解析（1）因行星绕太阳做圆周运动，于是轨道半径半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有

GMm行r2=m行（2πT）2r，

于是有r3T2=G4π2M太，

即k=G4π2M太

（2）在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由K=G4π2M地，解得

M地=6×1024kg

点评题目考查了万有引力定律的应用，关键是正确理解引力公式中r和T的含义，能区分中心天体和环绕天体的各个参量，特别是不同行星的轨道半径，题目中要将太阳系的问题转移到地月系统，分析解答需要正确理解万有引力公式中各字母的含义与题目中已知量的关系

3人造卫星

万有引力定律的发现使地球人造卫星发射、运行、变轨和回收成为可能，1957年10月4日世界上第一颗人造地球卫星在前苏联发射成功，2003年10月15日，我国神舟五号宇宙飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，把中国第一位航天员杨利伟送入太空，实现了中华民族千年的飞天梦想，为空间科学研究奠定了坚实的基础

31人造卫星的稳定运行

人造卫星的运动看成匀速圆周运动，它们的共同点是各圆形轨道的圆心均为地心，所需向心力由万有引力提供，即可解决人造卫星稳定运行类问题

例5（2011年天津理综） 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动 已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的

A.线速度v=GMR

B.角速度ω=gR

C.运行周期T=2πRg

D.向心加速度a=GmR2

解析在月球表面，航天器做匀速圆周运动，半径近似为月球半径R，由万有引力提供向心力有

GMmR2=man=mRω2=mv2R=m4π2T2R，不考虑月球自转的影响，GMmR2=mg，由以上关系得到相关物理量

v=GMR，ω=Rg，T=2πRg，a=GMR2

所以A、C选项正确

点评题目将地球卫星知识迁移到月球卫星上，探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，是近月卫星，注意推导出卫星运行是各物理量与轨道半径的关系，即轨道半径是联系各物理量的桥梁

32人造卫星的变轨运行

当稳定运行的卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行

（1）当卫星v增大时， 所需向心力Fn=mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，万有引力做负功，卫星动能减小， v减小，某时刻F万=Fn时，卫星就进入新的圆轨道匀速运行，由v=GMr可知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加这一过程即为人造星的发射原理

（2）当卫星的v突然减小时，所需向心力Fn=mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，万有引力做正功，卫星动能就会增大，v增大，某时刻F万=Fn时，卫星进入新圆轨道匀速运行，由v=GMr可知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少 这一过程即为人造卫星的回收原理

例6 （2010年江苏高考）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图6所示 关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能

C.在轨道Ⅱ上运动周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

解析根据开普勒第二定律，近地点的速度大于远地点的速度，A选项正确；航天飞机由Ⅰ轨道变道Ⅱ需要减速，在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，B选项正确；根据开普勒第三定律r2T2=K，RⅡ< RⅠ，TⅡ< TⅠ，C选项正确；根据牛顿第二定律GMmr2=man可知，D选项错误

点评题目是卫星运行中的變轨问题，关键是正确理解万有引力与向心力之间的关系，掌握开普勒三定律和人造卫星稳定运行的特点，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决此类问题

例7地球同步卫星到地心的距离r可由r3=a2b2c4π2求出 已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2 则

A.a是地球的半径，b是地球自转周期，c是地球表面处的重力加速度

B.a是地球的半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度

C.a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度

D.a是地球的半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

解析对于地球同步卫星，万有引力提供它做匀速圆周运动的向心力，GMmr2=m（2πT）2r，物体在地面上所受引力等于重力，GMm0R2=m0g，联立解得r3=R2T2g4π2 所以A、D选项正确

点评题目涉及地球同步卫星，同步卫星又叫通信卫星，它的特点是指在赤道平面内且在赤道正上方，与地球自转具有相同的ω和T，相对地面静止

4三种宇宙速度

第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，地球的第一宇宙速度为v1=79 km/s；第二宇宙速度为（脱离速度）v2=112 km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度为（逃逸速度）v3=167 km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度

例8（2009年北京理综）已知地球半径为R，地球的表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响

（1）推导第一宇宙速度v1的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T

解析（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足GMmR2=mg，得到GM=gR2

卫星做匀速圆周运动的向心力等于它受到的万有引力GMmr2=mv21r，联立得到v1=Rg

（2）卫星受到的万有引力F=GMm（R+h）2，根据GM=gR2，得到F=GmgR2（R+h）2，由牛顿第二定律

F=m4π2T2（R+h），解得T=2πR（R+r）3g

点评计算地球第一宇宙速度一般有两种方法：一是不考虑地球自转的影响，地球表面物体所受重力等于地球对物体的万有引力，满足mg=mv21r；二是万有引力提供向心力，满足GMmr2=mv21r，对于不同星球，第一宇宙速度不同，计算方法相同

万有引力理论的成就，主要在求解天体的质量和人造卫星质量两个方面，通过归纳和探究，使学生形成知识框架和解决这类问题的基本思路，培养理论知识解决实际问题的习惯和能力