黏弹性系统随机响应分析

徐明

摘要：应用等效非线性化方法分析了高斯白噪声激励作用下强非线性黏弹性系统随机响应。首先，通过广义谐和变换，黏弹性作用力可近似等效为拟线性阻尼和拟线性刚度两部分，进而原系统简化为无黏弹性项的非线性随机系统。其次，选取一类具有待定参数的等效非线性系统类。该等效非线性系统类具有精确稳态解，且和简化后的非线性随机系统具有相同的特性。然后，根据简化系统和等效非线性系统类之差的均方值最小原则，最终确定等效非线性系统类中的待定参数。最后以该系统的精确稳态随机响应近似表示原系统的随机响应。本文所提方法得到的解析结果与蒙特卡洛模拟方法得到的结果符合较好，证实了该方法的正确性。

關键词：黏弹性系统；随机响应；等效非线性化方法；广义谐和变换；稳态概率密度函数

引言

诸如聚合物、复合材料、生物材料等黏弹性材料广泛应用于结构和机械工程。与传统弹性材料相比，黏弹性材料不仅可以储存弹性势能，而且类似阻尼可耗散能量。此外，黏弹性材料具有黏弹性特性——应力松弛和蠕变特性。由于黏弹性材料的独特性质，它们已被应用于机器人，高精度工业加工，航天器器件等重要领域。目前已有大量关于黏弹性材料研究的文献，发展了不少确定性激励情形下黏弹性非线性系统的分析方法和控制策略。如Han和wang研究了具有非线性阻尼的黏弹性方程，得到了能量衰减方程。Sergienko和Deineka用二次成本函数研究了具有黏弹性应力——应变本构关系的复合体最优控制问题。另一方面，由于环境中不可避免的随机干扰，学者对黏弹性材料的研究从确定性系统拓宽到了随机动力系统。Xie研究了有界噪声激励下二维黏弹性系统，得到其里亚普诺夫指数。Potapov应用随机平均法研究了黏弹性系统的稳定性，其中黏弹性力仅考虑了阻尼效应。Huang和xie分别应用具有一阶精度和二阶精度的随机平均法研究了单自由度黏弹性宽带随机激励系统的矩里亚普诺夫指数。Zhu和Cai与Ling等独立地提出了估计宽带随机激励下黏弹性系统响应的分析方法，后者同时还分析了系统的稳定性。Xiong和Zhu则基于随机动态规划原理，提出了非线性黏弹性系统随机最优控制策略。

目前研究黏弹性系统响应的众多方法中，随机平均法受到了极大的关注，然而由于其受限于弱阻尼和弱激励强度条件，无法推广于大阻尼和强激励情形，同时其复杂的推导过程难于被大多数人掌握。相反，等效非线性化方法具有分析大阻尼和强激励情形的优点，分析过程又简单易懂，因而具有较大优势。zhu等已经发展了哈密顿理论框架下的等效非线性化方法，并提出了三类等效准则：阻尼力之差的均方值最小，单位时间内阻尼力能量耗散之差的均方值最小及首次积分时间变化率期望相等。最近，等效非线性化方法已应用于非弹性碰撞振动系统的随机响应预测，其结果表明该方法对较强激励强度仍具有较高精度，而求解过程十分直观简洁。

本文发展了求解高斯白噪声激励作用下强非线性黏弹性系统稳态响应的等效非线性化方法。首先，通过广义谐和变换，将具有耗散和弹性回复特性的黏弹性力近似表示成关于系统状态的代数表达式，并将其替代原系统方程的黏弹性项，进而得到一不含黏弹性力的简化非线性系统。其次，通过等效非线性化方法分析得到简化系统的稳态响应概率密度函数，进而将其作为原系统的响应解。最后，通过蒙特卡罗数值模拟验证了该方法的正确性。