分数阶微分的图像边缘检测研究

王榕国

摘要：数字图像的边缘检测是图像分割、区域形状检测、目标区域识别等图像分析和处理领域重要基础。在数字图像的识别领域中，是图像特征检测的重要方法；图像的边缘检测是数字图像理解与分析的首步，它是机器视觉领域的一个重要的研究课题。分数阶微分理论应用在图像增强已成为数字图像增强中一种新型的处理方法。随着人们对分数导数理解和研究的加深，它的优势逐渐的被人们所发觉。本文利用分数阶微分的基本性质通过差分定义制作，使图像的边缘的信息能够有较好的连续性，能得到更好的效果而不增强噪声。

关键词：边缘检测；分数阶微分；图像增强

中图分类号：TP391.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）01-0037-02

1 引言

边缘检测是研究数字图像的基础，滤波是一种被人们所熟知的也是常用的一种方法，而我们可以用多种的方法来滤波，本文研究的边缘检测，就是它的子类，它对图像的分割，区域的检测都有着重要的作用。边缘是指图像的轮廓的灰度级的程度，它在理解图像的信息中有着重要的作用，同时也是第一步，边缘主要是存在图像的区域和区域，还有目标和目标等形式之中。因此，它在图像的分割和纹理特征的分析中占着重要的作用，并且我们所要分析的纹理特征对图像的分割有着重要的依赖性。因为边缘是图像最基本的也是最为重要的基础，所以它能被定义成一门独立的新型的学科，从这们学科中可以画出图像各区域的形状，还能从这些特性中分析出图像的信息，所以无论是对于人类还是机器视觉来说，它都是一个最为经典的课题。

本论文就是研究图像的边缘检测中分数阶微分的算法，分数阶微分算法可以更好地改善图像的质量，能使图像的边缘保持连续性，且不粗糙，使图像的边缘的特征能够得到更好的突出，有利于后期图像提取的各种操作操作。用MATLAB作为实验的平台，在众多的方法中总结不同的优点和对比分析。

2 研究现状

如今有关于分数阶微积分的研究平均每年都有数百篇论文出现，而且还在飞速的增长。分数阶微积分算法有难度，因为算法存在一些问题，主要有：（1）关于时间的问题距今为止还没有发现解决方法。很多数学家提出的方法只是对很少数的时候有效果，不具有普遍的适应性。因此要解决关于时间的问题还要走很长的路。（2）由于现在分数阶的定义还在争论不休，无法得到统一，因此现在分数阶微分的定义有各种各样，现在还未有一个定义能够得到大部分数学家的认可。

这里关于数值算法的分数阶微分的方程有：（1）级数逼近法；（2）有限元法；（3）无网格方法；（4）有限差分法；还有一些新的算法等等。

以上算法各有各的优点和缺点，每一张算法都有自己所适用的条件和方程，如果想要能够很灵活的应用这写方法，这就需要对各种方法很熟悉，才能够在所需要哪一种方法的时候就能立刻给出相对应正确的方法，不然就会得到错误的答案。在经过很多同一类别的文献对比之后，通常我们在计算時间分数阶微分的时候，都是使用Caputo这个人的定义，在计算空间分数阶微分方程的数值的时候一般是使R-L这两位数学家的定义和有关级数的定义。

3 分数阶微分提取图像边缘信息的优点

图像中像素不变的区域、纹理区域、纹理和边缘区域分别对应的是信号的低频、中频和高频。通过实验生成的图形分析可以看出当微分阶数减小到0.1阶后，微分运算不会使高频升高太多，低频也不会进行过多的抑制。可见，在0.1阶时，微分对图像边缘轮廓的提升和图像条纹的增强并无显著的效果。平滑区域的纹理信息会在图像边缘的检测时对其产生较大的影响。如果采用诸如Gauss-Laplace算子与Sobel算子检测灰度级（边缘检测）变化不大的图像边缘，会削弱灰度变化不大的纹理细节信息。因此可以说，基于整数阶微分的图像边缘增强算法不是对平滑区域中的纹理细节进行检测的有效方法。而经过分数阶微分处理过的图像，其中的平滑区域的纹理细节信息不仅不会被削弱，还会在某种程度上保留有非线性。基于分数阶微分的阶数连续性，通过调整分数阶的值，我们可以得到的图像边缘信息是效果最佳的，所以分数阶微分要比整数阶导数更有利于图像的边缘信息的提取。

边缘和噪声有共同点，都拥有大量的高频成分。原因在于边缘和噪声是不连续的灰度图像特征和局部的突变，会出现相应的像素灰度。在边缘检测时，由于整数阶的边缘检测算子对噪声的敏感可能会使噪声增加，使得传统边缘检测算子对噪声图像处理结果会产生很多虚假边缘不准确，效果不佳。通过分析相关特性我们可以发现利用分数阶来求图像的边缘，可以大大的抑制噪声的产生。本文是根据经典分数阶微分的定义来构造分数阶微分的掩模模板，利用分数阶微分的特性来保证提取的精准度，以获取到相比较而言效果更好的图像边缘信息。

4 分数阶微分应用在图像上的边缘提取实验仿真及结果分析

4.1 提取图像的边缘信息

为了完成标准化流程模板，首先要将微分算子的每一项都除以（8-12a+4a），然后再进行卷积和运算。完成运算后，对于邻近像素值发生变化的区域，输出像素值将会有所不同；对于所在基本相同的区域的相邻像素值，输出像素值基本不会发生变化。最后用经过掩模算子运算后将得到的图像的象素值与原图像相对应象素值来做差运算，那么所得到图像经过分数阶微积分运算产生变化的信息值，通过对比分析说明获得的图像边缘信息具有很高的信噪比。可以通过调节分数阶微分的阶次来得到输出像素值，可以看出5*5模板削弱噪声并加强边缘信息比3*3模板的效果好。因此通过分数阶微分算子后，图像的平滑区域虽然保持不变，其纹理更加清晰，边缘特征也更为突出。

4.2 各不同阶微分掩模算子加强Lena图像边缘信息的实验仿真

将已构建的分数阶微分掩模模板放在Matlab平台下实现图像的纹理增强和边缘检测。本文分别在3*3模板和5*5模板下将图片先滤波后再经过Canny算子提取图像的边缘信息。

4.2.1 Lena图各阶微分掩模算子在3*3模板下得到的滤波图像实验

3*3模板：H=[-v -v -v；-v 8 -v；-v -v -v]/（8-7*v）；

主函数代码如下：

clc；

clear all；

tic；

im0=imread（lena.bmp）；

imshow（im0）

title 原始图像

im1=rgb2gray（im0）；

imc=Fwf（im1，0.1）；

imc2=uint8（imc）；

imshow（imc2）

title 滤波后图像

由图1可以看出，采用不同分数阶微分算子把图片在3*3模板下进行滤波后求边缘，实验结果表明，图片随着阶数的增加纹理逐渐增多，但是出现了一些虚假边缘，部分阴影也被当做了边缘被显示出来。通过对比可以得出图片在3*3模板下0.4阶滤波结果图像是最好的。

4.2.2 Lena图各阶微分掩模算子在5*5模板下得到的滤波图像实验

5*5模板：H=[-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v 8 -v -v；-v -v -v -v -v；-v -v -v -v -v；]/（16-24.659*v+8*v^2）；

由图2可以看出，采用不同分数阶微分算子把图片在5*5模板下进行滤波后求边缘，实验结果表明，n的值应取0.1到0.2之间，这样图像的效果最好，n从0.3开始直达0.9时就会出现虚拟边缘，有时还看不见边缘，部分阴影也被当做边缘被显示出来，通过对比可以得到图片在5*5模板下0.2阶是最好的。

用数学算法实现在 Grümwald-Letnikov分数阶微分基础上构造的n阶分数阶空域微分增强算子。实验表明，各方向加权和最大值增强算法效果与模板窗口大小有关，模板窗口越是大，窗口中的像素点的灰度值关联性就越小，所以3*3模板在增强图像的纹理和边缘信息上要比5*5模板好。对3*3模板下0.4阶滤波结果图像和5*5模板下0.2阶滤波结果图像进行对比可以得到，5*5模板下0.2阶滤波结果图像相对于3*3模板下0.4阶滤波结果图像要差。

5 结语

本文将分数阶微分应用于图像边缘检测分析，从新的角度提出了分数阶微分图像增强的算法，将其放在MATLAB平台下实现边缘检测，从而增强纹理细节图像边缘。它的创新点包括：

（1）如果采用以往的整数阶微分对图像检测纹理信息，那么就会对图像灰度变化不大的纹理细节会受到很大程度的线性衰弱。本文是将作用于图像的微分阶数由整数（不可连续变化的）延伸到分数（可以连续变化的），分数阶微分可以对灰度变化不大的纹理细节进行线性保留，并且可以通过调节微分算子的阶数来得到效果最好的图像边缘信息。

（2）先在分数阶微分滤波器进行低通滤波后对图像进行增强，然后经过canny算子求其边缘。不止运算和编程比以往检测边缘的程序要简单，得到的图像纹理细节也得到加强。

分数阶微分应用于图像边缘检测还只是处于发展阶段，并不成熟。所以其理论在图像的复原、红外线识别、遥感航天、军事公安等领域有很大的研究空间，有待于学者们进一步探究。

参考文献

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