线性切换系统稳定性分析

贾丽丽

摘要：线性切换系统所有的子系统都是线性时变或者线性时不变的，线性切换系统能够十分精确的表示一些动态复杂的工程系统，更容易处理，线性切换系统的研究对于电力系统、空中交通管制等多种实际系统都十分有利，本文对线性切换系统进行简单介绍，重点分析研究了其稳定性问题。

关键词：线性切换系统；稳定性；分析方法

中图分类号：TP11 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）01-0228-02

近年来，混合系统理论在工业制造、航空交通控制、机器人等行业应用十分的广泛，已经成为计算机科学、应用数学、自动化控制等领域研究的热点问题之一，切换系统属于一种十分典型的混合系统，它的稳定性问题始终是相关学者及研究人员讨论的重要方向，本文主要在已有的理论基础上提出一种研究线性切换系统的稳定性问题的方法，仅为相关研究人员的工作提供参考。

1 线性切换系统稳定性问题概述

线性切换系统的典型特点包含有多个子系统，且子系统之间选取的切换信号不同，可能会对系统产生不同的影响。线性切换系统稳定性的研究主要包括三个基本问题，其一，在任意切换信号之下找出能够保证切换系统始终处于稳定状态的条件；其二，切换信号受限的条件下，线性切换系统稳定性问题；其三，稳定切换信号的设计问题。就目前来说，第一个问题已经得到了有效的解决，只要所有的子系统都存在一个共同的Lyapunov函数，系统在任意的切换条件下都稳定。第二个问题主要是验证系统在指定的切换信号之下是否稳定，切换信号不同，子系统的状态轨迹可能也存在着很大的区别，某些切换信号之下，原本稳定的子系统可能会变得不稳定，原本不稳定的系统也可能会变得稳定，因此需要对子系统的稳定性问题进行简单的探究分析。第三个问题是如何构造一个合适的切换信号使得线性切换系统始终保持稳定的问题。一般情况下，通过Lyapunov函数、分段Lyapunov函数、完备性条件等等可以设计出稳定的切换信号。

目前来说，线性切换系统稳定性问题的分析主要应用统一Lyapunov函数、多Lyapunov函数等等方法进行。相关研究显示，如果线性切换系统的子系统渐进稳定，则子系统的状态矩阵可以互换，整个线性切换系统都是渐进稳定的。研究人员通过李代数法对统一Lyapunov函数进行了研究探讨，将统一Lyapunov函数的存在行为问题转换为切换系统李代数可解性问题，发现当切换系统的线性子系统稳定，对应的李代数可解，则系统存在统一的Lyapunov函数，且任意切换序列之下，系统都是全局一致指数稳定的。部分研究人员同线性切换系统的特点出发提出了多Lyapunov函数方法，指出如果切换系统的子系统对应的Lyapunov函数相对切换序列满足相应的递减条件，则该线性切换系统稳定，本文在上述研究的基础上提出一种线性切换系统稳定性分析方法，仅为相關研究人员的这部分工作提供参考。

2 线性切换系统稳定性分析

本文提出了一种新的稳定性分析方法，即给定切换序列，如果切换至子系统的时间大于对映子系统的最小滞留时间，则说明该线性切换系统稳定，下文就该分析方法进行详细的介绍，并举例说明应用过程。

2.1 问题描述

某线性切换系统由一组n*n维Hurwitz矩阵组成，线性切换系统为x=Ap（t）x。切换序列p（t）∈{1，2，3……N}，序列分段右连续。第i个子系统的状态转移矩阵记为Hm（t）==，其中m=（1，2，3……N），由于Am为Hurwitz矩阵，因此各个系统满足以下几个条件：Um∈[0，+∞]时，成立，也就是说，Hm（t）有界；，因此，对于第m个子系统来说，fm∈[0，+∞]，当t>fm时，，（m=1，2，3……N）。任意初始状态下，设系统的切换序列为S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），线性切换系统在某时刻切换到第j个系统ij时，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），则表明该线性切换系统渐进稳定。

2.2 举例分析

举例说明，对于系统x=Ap（t）x，它的子系统为两线性定常系统，也就是说A1=，A2=，A1A2的特征均根计算可知为-1i，实部为负值，也就说子系统x=Ai（x）（i=1，2）是全局指数稳定的，整个切换系统并不一定稳定，当切换序列满足Um∈[0，+∞]时，的充分条件时，切换系统呈现出渐进稳定的状态，利用2范数及MATLAB软件计算可以得出，当t>1.2s时，通过，可以得出子系统1、2的最小滞留时间为f1>1.2s，f2=1.2s。任意初始状态之下，设系统的切换序列为设系统的切换序列为S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），线性切换系统在某时刻切换到第j个系统ij时，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），线性切换系统渐进稳定，使用周期切换序列仿真处理，系统的初始值为[1，1]T切换间隔时间为2s时，线性切换系统的曲线如图1所示。

这种稳定性分析的方法在子系统稳定的线性切换系统之中比较适用，不需要建立Lyapunov函数，系统的稳定性分析主要从时间切换的角度进行，实用性比较强，适用于各子系统是稳定的线性切换系统。该方法的明显优点是不需要构造李雅普诺夫函数，直接从切换时间的角度分析稳定性，具有一定实用性。定理“Um∈[0，+∞]时，成立，也就是说，Hm（t）有界”属于充分条件，如果线性切换系统不满足这一条件，则系统不一定稳定，但稳定的系统必须要满足这一条件。使用上述方法分析线性切换系统的稳定性时需要使用MAPLE、M ATLAB等等工具软件将各个子系统对应的最小滞留时间计算出来，与此同时还需要了解切换时间的范围，目前来说这一要求在一些子系统不稳定或者非线性的切换系统之中还不能实现，因此，该分析方法能否在除了子系统稳定的线性切换系统之外应用还需要进一步的分析探讨。

3 结语

本文主要就现阶段相关专业人员就切换系统稳定性研究的现状进行了简单的归纳分析，在此基础上介绍了一种适用于子系统稳定的、不借助Lyapunov函数的从时间切换角度进行分析的线性切换系统稳定性分析方法，受篇幅所限，本文介绍的内容十分的浅薄，仅为相关学术研究人员的有关工作提供简单的参考。

参考文献

[1]方志明.切换系统稳定性分析与优化控制若干问题研究[D].南京理工大学，2012.

[2]孙敏慧.Markov.切换系统的鲁棒控制[D].南京理工大学，2013.

[3]董学平，马国梁.线性切换系统的稳定性分析[J].合肥工业大学自然学报，2014（27）.