基于点电荷模型的腐蚀相关静电场快速预测方法研究

姜润翔， 张伽伟， 林春生

(海军工程大学 兵器工程系, 湖北 武汉 430033)



基于点电荷模型的腐蚀相关静电场快速预测方法研究

姜润翔， 张伽伟， 林春生

(海军工程大学 兵器工程系, 湖北 武汉 430033)

针对舰船腐蚀相关静态电场实时预测难的问题，提出了基于点电荷(电极)模型的快速建模方法。对舰船的结构进行合理分区，通过计算混合电位值确定电极的极化状态；在电极极化曲线及电化学系统电流和为0的准则基础上，建立了点电极电位和电流之间的函数关系；利用最小二乘算法计算点电极的电流值，并根据点电荷3层模型下的电位计算方法预测舰船腐蚀相关静态电场；分别利用仿真数据和船模试验数据对所提方法的有效性进行了检验。结果表明，所提方法能够实现对舰船腐蚀相关静态电场进行快速预测。

电磁学； 舰船； 腐蚀； 静电场； 点电荷； 电多极矩； 阳极； 阴极； 极化率

0 引言

舰船腐蚀相关静态电场是一种重要的舰船目标暴露源，水中兵器攻击源[1-3]。舰艇指挥员应实时掌握自身舰艇电场的大小，以对舰艇自身的安全进行实时评估。常用的舰船腐蚀相关静态电场建模方法主要有正演与反演两种[4-8]。正演模型是建立在船体结构、极化曲线、阴极保护电流等参数基础上的计算方法，主要应用于舰船设计阶段对舰船电场进行预测。而反演模型则是建立在实测某一深度平面电场数据基础上的，主要被应用于由某一深度的电场推算出其他深度电场值的领域[9-10]。有限元法和边界元法是常用的两种正演数值计算方法，但由于边界元法和有限元法的计算量较大，无法实现实时在线预测。

针对上述问题，考虑到腐蚀相关静态电场可视为点电荷的叠加，一种合适的方法是将舰船划分为若干区域，并将每个区域等效为点电荷，若能快速计算点电荷的位置和强度，即可根据点电荷模型对舰船静态电场进行建模。

1 点电荷建模的基本理论

假设船壳闭曲面S(见图1)上的电荷密度为Q(S)，则S在某一场点P处的电位U可表示为

(1)

式中：σ为海水电导率；K(S,P)为点P与S之间的距离函数。

图1 点电荷法对舰船腐蚀相关静态电场建模示意图Fig.1 Modeling of ship corrosion related static electrical field based on point charge source model

将表面S分为n个小面源Si,i=1,2,…,n，每个小面源的电荷密度为Q(Si)，有

(2)

式中：Qi为面源Si上的电荷大小；ΔSi为等效面源的面积；K(ΔSi,P)为面源Si和场点P之间的距离函数。

由电多极矩的相关知识可知，如果场点P距离等效面源Si区域较远，可将K(ΔSi,P)相对面源Si内的某一点(xi,yi,zi)进行泰勒展开，在0阶收敛半径之外，可忽略高次项，仅保持第1项，则(2)式可表示为

(3)

式中：K(Si,P)为等效点电荷的坐标(xi,yi,zi)到场点P(x,y,z)处的距离函数，在空气—海水—海床3层均匀介质条件下有

(4)

式中：H为海水深度；R2=(x-xi)2+(y-yi)2；k=(σ-σs)/(σ+σs)为海底反射系数，σs为海床电导率；m为反射层数，实际计算中其上限值可取10～20[11]。

2 点电荷强度的计算方法

由第1节可知，在基于点电荷法进行建模时，关键是计算出主要金属电极表面的电流。一般情况下，由于船体、非绝缘声纳导流罩、舵板、美人架、螺旋桨的面积远远大于通海阀、计程仪、测深仪的表面积，因此在对舰船电场建模时，可忽略面积较小金属构成的电化学系统产生的舰船电场。

需要注意的是，由于船体的尺寸相对较大，船体表面的电流是不均匀的，为了准确建模，将船体划分为若干个区域是合适的。具体如图2所示。

图2 船体表面区域划分示意图Fig.2 Schematic diagram of ship surface regional division

假设包含非绝缘声纳导流罩、螺旋桨、舵板、美人架、船体表面在内的等效点电荷的个数为n，每个点电荷的表面积和电流值分别为Ai和Ii，则舰船静电场可视为n个半球状点电极(考虑空气界面的影响)的叠加，根据点电荷的叠加原理可知，每个半球状电极的电极电位满足

(5)

式中：Ri,1为第i个电极和第1个电极之间的海水阻抗，其他依次类推；Ui为第i个电极的电极电位值。

由点电荷的静电场特性可知，存在

(6)

式中：di,j为第i个电极和第j个电极面积几何中心的距离；ai为第i个电极的等效半径。

将(5)式改写为矩阵形式，有

(7)

实际上，由电化学的相关知识可知，在建立腐蚀和防腐的电路问题时，还需考虑极化电阻的影响。此时，(7)式中矩阵中的Ri,i(第i个电极与海水地接触电阻)转化为(Ri,i+ri)，ri为每种等效电极的极化电阻和涂层电阻的和，有

(8)

式中：bi为等效点电荷的阴极极化率或者阳极极化率，具体计算时，应首先判断出材料在电化学系统中是阴极还是阳极；ρi为涂层横向电阻率。

(7)式的计算问题可转化为最小泛函数

(9)

的求解。

对(9)式增加控制方程

(10)

式中：α为控制参数。

同时，(10)式的解应满足电中性方程

(11)

利用最小值条件

∂F/∂Ii=0,i=1,2,…,n,

(12)

结合(11)式，可得到(n+1)×(n+1)阶矩阵

(13)

式中：

(14)

在对(13)式进行求解时，可将控制参数α依次选取为α1=10,αs=0.1×αs-1,s=2,3,…，分别计算其等效电荷Ii，并计算sum(I)=I1+I2+…,In，若其值在一定范围内接近于0，并且稳定，即可将α取为当前所设定的值。

3 材料极性的判断

由第2节可知，在计算点电荷强度时，需要计算材料的极化电阻值，即首先应判断材料在电化学系统中是阴极还是阳极。根据混合电势理论可知，n种金属共同作用下的阴极电流等于阳极电流，即

(15)

式中：φ为混合电位值；p和q分别为阳极和阴极的个数，满足n=p+q；Rai(i=1,2,…,p)为第i个阳极的全阻抗(极化电阻、涂层电阻和接触电阻之和)，Rcj(j=1,2,…,q)为第j个阴极的全阻抗，有

(16)

式中：bai和bcj分别为材料的阳极和阴极极化率。

(15)式亦等价于

(17)

即，计算得到的混合电位φ必然满足(17)式。

为了得到混合电位φ，可将船体表面n种金属电极的电位排列为φ1≥φ2≥…≥φn，并按照电位由大到小的顺序依次选取p=1,2,…，n-1种金属作为阴极，n-p种金属作为阳极，并将其对应的电极电位值、阴极极化电阻和阳极极化电阻代入至(17)式中，若计算得到的φ满足

φp+1≤φ≤φp,

(18)

则φ即为电化学系统的混合电位值。若第i种金属的电极电位φi<φ，则该金属为阳极，反之为阴极。

4 静电场建模及等效源强度计算方法

为了计算舰船电场，还需要给出每个等效电荷的位置，假设阳极和阴极通过的电流均匀，可将每个阳极和阴极的几何中心设定为等效电荷的位置：

(19)

式中：下角标max和min对应阳极和阴极表面在舰船坐标系中的最大和最小坐标值。

利用(13)式和(19)式计算出每个点电荷的等效电流和坐标位置后，便可利用第1节中的方法对静电场进行建模。

(20)

值得注意的是，针对外加电流阴极保护系统的舰船电场建模，为了进一步保证求解的正确性，还需增加能量约束条件。根据电流守恒定律有

(21)

根据多项式定律

(22)

有

(23)

即在计算外加电流阴极保护系统时，计算出的等效电流的平方和必须满足(23)式。

在得到每个等效电极的电流后，还可计算出舰船3个方向的等效电偶极矩为

(24)

式中：N为等效电极的个数，在自然腐蚀和牺牲阳极阴极保护时，N=n，而在外加电流阴极保护时，N=n+na.

5 算例

鉴于数值计算(边界元和有限元)[5-7]和缩比模型法[8,12-14]已成为舰船外加电流阴极保护系统设计、腐蚀相关电场特性、涂层破损和流速对腐蚀和防腐的影响等研究领域的标准方法。因此，为了验证点电荷的静电场建模方法是否有效，分别利用Beasy仿真数据(Beasy软件在船舶设计阶段被用于对船舶电场信号进行评估[6])和等比例船模试验数据进行了检验。

5.1 仿真算例

水面舰艇船长L为154 m，船宽B为20 m，吃水深度T为6 m；船体、美人架、舵板材料为涂层破损率10%的钢(电极电位为-0.506 V，其阳极极化率为0.5 Ω·m2，阴极极化率为25 Ω·m2，涂层电阻率为60 Ω·m2)；螺旋桨为镍铝青铜(电极电位为-0.367 V，其阴极极化率为0.21 Ω·m2，涂层电阻率为0 Ω·m2)。海水电导率σ=4 S/m，海床电导率σs=0.01 S/m，模拟海水深度为200 m. 将船体由船首至船尾划分为8段，其编号依次为船体1、船体2、…、船体8，船体、螺旋桨、辅助阳极等构成的等效点电荷的面积和坐标如表1所示。

表1 水面舰艇等效点电荷的面积和坐标

图3 一艘舰船(自然腐蚀状态)当不同水深z时的电位信号Fig.3 Potential signals of surface ship (natural corrosion condition) under different water depths

图3和图4分别为船体处于自然腐蚀状态和阴极保护状态，不同水深z时的正横距y为10 m时，利用等效点电荷法和边界元法计算得到的电位信号对比结果。其中，图3和图4中的电位信号为去均值后的结果，图4中的辅助阳极1、辅助阳极2、辅助阳极3的输出电流分别为30 A、30 A和60 A.

图4 一艘舰船(阴极保护状态)当不同水深z时的电位信号Fig.4 Potential signals of surface ship (impressed current cathodic protection condition) under different water depths

为了衡量换算结果，将点电荷计算结果电位U与Beasy软件计算的电位UB之间的相对均方根误差δ和相对绝对值误差δa定义为

(25)

(26)

式中：m为测点个数。

根据(25)式和(26)式计算的水面舰艇模型不同测量线(m=351)的误差差值如表2所示。

表2 水面舰艇模型不同测线的静电场预测误差值

5.2 船模算例

等比例缩小船模长度为2.62 m，最大型宽为26 cm，吃水深度为9.16 cm；声纳导流罩、船体材料均为低合金钢(涂层为防锈漆，厚度为220 μm左右)；螺旋桨(双桨)为直径为8.7 cm的圆盘，其材料为镍铝青铜；裸露在船体外面的轴系材质为合金钢，其表面进行了电绝缘处理。

将船体由船首至船尾划分为11段，其编号依次为船体1、船体2、…、船体11，船体、螺旋桨、舵板等构成的等效点电荷的面积和坐标如表3所示。坐标系的原点为船模基点坐标，原点距离水面的距离为9.16 cm.

利用电化学工作站对船体及螺旋桨材料的样片(长×宽为2 cm×2 cm)测试其极化曲线(见图5)，得到低合金钢和铝青铜的自平衡电位V分别为-690.2 mV和-369.6 mV. 由图5可知，合金钢和铝青铜在弱极化区域的阳极极化率和阴极极化率分别为1.50 Ω·m2和0.23 Ω·m2左右。

低合金钢的涂层电阻率通过测试涂层样片的电化学阻抗谱得到，10 d时间内监测得到的涂层钢的Bode图如图6所示。由图6可知，随着浸泡时间的增加，其涂层电阻值逐渐减小，在200 h后基本稳定在280 Ω·m2附近，且该值远大于阳极极化率，计算时，取低合金钢的涂层电阻率和阳极极化率的和ρa为281.50 Ω·m2，铝青铜的阴极极化率为0.23 Ω·m2.

表3 水面舰艇船模等效点电荷的面积和坐标

图5 合金钢和铝青铜的极化曲线Fig.5 Polarization curves of alloy steel and aluminum bronze

图6 涂层电阻率随浸泡时间的变化Fig.6 Coating resistance vs. immersion time

为了提高自然腐蚀电流的强度，海水电导率未按等比例缩小，模拟海水电导率为3.38 S/m. 试验水池长、宽和水深分别为8 m、5 m和0.92 m. 4个电场测量传感器(固态Ag/AgCl电极)距离水面的深度均为26 cm，相对于龙骨的水平距离分别为0 cm、8 cm、16 cm和24 cm. 零电极置于水池底部，距离测量电极的最大距离为4.76 m，接近2倍船长，可忽略零电极与测量电极有限基线长度(电极距离)引起的误差。船模及测量电极的示意图如图7所示，船模轴接地装置安装了非接触电流传感器(最小分辨率为0.1 mA)，用于检测自然腐蚀时的轴电流)。

图7 电场传感器相对船模的位置示意图Fig.7 Schematic diagram of electric field sensor and ship model

利用伺服电机拖动船模(在海水中浸泡10 d)以5 cm/s的速度匀速通过电极正上方，测量得到的水下电位信号和点电荷建模得到的信号如图8所示。

图8 等比例船模(自然腐蚀状态)当不同正横距时的电位信号Fig.8 Electric potential signals of surface ship model under natural corrosion condition

由图8可知，快速预测建模结果和船模试验结果的吻合度较好，但在船体中前部负峰值处出现了位置偏差，考虑为船模制作过程中，涂层涂刷不均匀所致(试验后，发现距离船首0.85 cm附近船体表面锈蚀严重)。值得注意的是，船模航行过程中，电流传感器测量得到的轴电流(等效为桨电流)如图9所示，不同船模结构电流的仿真计算结果如图10所示(横坐标为表3中第1列对应的序号)。由图9可发现，螺旋桨处的轴电流在1 mA左右波动，而反演计算得到的螺旋桨电流为1 mA，这从侧面再次证实了算法的有效性。

图9 实测螺旋桨电流Fig.9 Current of propeller

图10 船模不同结构的电流值Fig.10 Current of different ship structures

为了进一步验证算法的有效性，在图7船模试验的基础上，在船壳与螺旋桨轴之间串联滑动变阻器，通过调整变阻器模拟涂层电阻R的大小，得到低合金钢新的涂层电阻率和阳极极化率的和为

ρa=(281.5+R/A) Ω·m2,

(27)

式中：A为船体的浸水面积。

表4为不同R值时，仿真计算得到的螺旋桨电流和实测桨轴电流的平均值。由表4可发现，随着电阻R的增大，桨轴电流逐渐减小，且仿真计算结果和实测结果差别较小。

表4 不同R值时的螺旋桨电流值

图11给出了正横距y=0 cm时，不同R值的点电荷建模和实测结果值。由图11可知，随着电阻R值的增大，仿真计算出的负峰值偏差和实测结果的差异逐渐增大，这是由于随着涂层等效电阻率的增大，局部破损位置的在回路中的影响逐渐增大的原因。

图11 不同R值时的电场结果(y=0 cm)Fig.11 Electric potential signals under different R for y=0 cm

6 结论

通过将静态电场预测计算的问题转化为多个点电荷建模求解的问题，实现了腐蚀相关静电场的快速建模和预测，为快速预测评估舰船腐蚀相关静电场提供了一种新的途径和理论依据。

需要说明的是，基于点电荷的建模方法也可应用于船体外加电流阴极保护的优化设计中，若在建立电极电位和电流的关系时，将目标电位值设定为保护电位值，即可估算出辅助阳极的输出电流大小，从而有望达到实时调整辅助阳极输出电流，实现船体表面保护电位分布更加均匀的目的。

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Study of Quick Prediction Method for Ship Corrosion Related Static Electric Field Based on Point Charge Source Model

JIANG Run-xiang， ZHANG Jia-wei， LIN Chun-sheng

(Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China)

A method of rapidly establishing the prediction model based on the point charge source is proposed for the prediction of ship corrosion related static electric field. The reasonable division of ship structure is set, and the mixed potential of ship is calculated based on mixed electrode potential. The functional relationship between potential and current of point electrode is established based on the material polarization curve and the electrochemical system’s current sum which is zero. The current of point electrode is calculated using least squares method, and the ship corrosion related static electric field is predicted using the potential calculation method of point charge under three-layered medium. The effectiveness of the proposed method is verified by using the surface ship simulation data and the ship model test results. The results show that the proposed method can be used for fast prediction of ship corrosion related static electric field.

electromagnetics; ship; corrosion; static electric field; point charge source; electric multi-pole moment; anode; cathode; polarizability

2016-10-11

国家自然科学家基金项目(51509252、41476154)

姜润翔(1982—)，男，讲师。E-mail:jiang_runxiang@163.com

林春生(1962—)，教授，博士生导师。E-mail:lcs_and_zh@163.com

O441.1

A

1000-1093(2017)04-0735-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.015