额外维与厚膜模型简介

2017-04-21刘玉孝钟渊杨科

物理学进展 2017年2期

关键词：标量局域引力

刘玉孝，钟渊，杨科

1兰州大学物理科学与技术学院理论物理研究所，兰州7300002西安交通大学理学院，西安7100493西南大学物理科学与技术学院，重庆400715

额外维与厚膜模型简介

刘玉孝1，钟渊2，杨科3

1兰州大学物理科学与技术学院理论物理研究所，兰州7300002西安交通大学理学院，西安7100493西南大学物理科学与技术学院，重庆400715

额外维概念的提出已有近百年的历史，但直到最近二十余年，人们对额外维物理的认识才发生了实质性的转变。例如，人们开始注意到额外维的尺度可以达到TeV-1量级甚至是无穷大的，而不与当前的实验观测相违背。一些额外维模型还可以对粒子物理学中的规范层次问题以及宇宙学中的暗物质问题给出全新的解释。此外，如果将我们所处的四维世界看成是更高维时空中的拓扑缺陷，例如五维时空中的一个四维畴壁，则可以通过场论的方法得到局域在畴壁上的各种四维物质场。如果进一步要使四维牛顿引力也能被局域在畴壁上，一般需要假设五维时空按照某种方式弯曲。这种弯曲时空中的畴壁称为厚膜。最简单的解析厚膜解可以在广义相对论中通过引入最小耦合的背景标量场得到。随着宇宙学的发展，越来越多的扩展引力理论和非最小耦合的标量场相继被提出并被应用于宇宙学和高能物理的各种问题中。因此研究各种扩展引力和非最小耦合标量场理论中的解析厚膜解和各种场的局域化机制就成了一个重要而又有趣的方向。目前国内外对厚膜模型的研究已经取得了一系列的研究成果，我们将对这一领域的相关研究进行简单的介绍。本文先对几种常见的额外维模型包括Kaluza-Klein理论、大额外维模型、Randall-Sundrum模型和标准的厚膜模型进行简单介绍，并分析线性涨落和引力场的局域化。然后介绍厚膜背景下各种物质场的局域化机制。最后以非正则标量场论和几种常见的扩展引力理论为例，介绍厚膜模型的相关研究进展。

额外维；膜世界；引力理论；局域化；质量谱

I.引言

1914年，芬兰物理学家诺德斯特姆 (G.Nordström)在他的引力理论文章中首次提出“额外维”的概念[1]。1915年爱因斯坦提出广义相对论后，德国哥尼斯堡大学的无薪数学教师卡鲁扎 (T.Kaluza)[2]和瑞典物理学家克莱因(O.Klein)[3]分别于1919年和1926年提出了广义相对论基础上的五维时空理论，即卡鲁扎-克莱因理论，开启了额外维理论研究的先河。后来，超引力和超弦/M理论的发展极大地推动了额外维的研究。这些额外维理论的一个特点是，都假设额外维卷曲在非常小的空间尺度内（具体可参考[4]），以当时的实验能力并不能探测额外维的效应，所以早期对额外维的研究主要集中于理论方面。然而，1998年和1999年额外维卷土重来，不仅影响了整个理论物理学的研究，也使得实验物理学家们开始认真对待这个奇特的概念，也使得额外维成为物理学研究的主流课题。

下面我们先简单介绍一下额外维的概念，额外维在高能物理学理论研究中的地位，以及研究额外维的动机。

A.什么是额外维？

对于习惯了三维空间的人来说，一个具有更多空间维度的世界是很难理解的。人们很难想象除了上下、左右和前后这三个维度之外，另外的空间维度在哪里？为此，我们先简单看看维度的概念。对于位于某一个空间或时空M 中的任意一个点，如果确定其坐标需要D个数，则称该空间或时空的维度为D。例如：

•直线R1和圆环S1是一维的；

•平面 R2=R1×R1、圆柱面 R1×S1、圆环面T2=S1×S1和球面S2是二维的；

•欧氏空间R3=R2×R1、R2×S1、S2×S1、T2× S1、三球面S3等是三维的；

•欧氏空间 R4=R3×R1、R3×S1、R2×T2、R2×S2、R1×T3、 R1×S3、R1×S1×S2、

T2×S2、T4=T3×S1、四球面S4等是四维的。

通常，我们把三维空间之外的空间维度称为额外维，即三维之外的维度。当然，也有时间额外维的概念和相关的研究，本文不做介绍。虽然高维时空很难想象，但我们可以借助数学来理解。对超立方体的认识，一个简单的方法是从低维到高维进行对比：

•一维空间中的一条线段具有2×1=2个零维的边界-端点；

•二维空间中的正方形具有2×2=4个一维的边界-线段；

•三维空间中的立方体具有2×3=6个二维的边界-正方形；

•四维空间中的超立方体具有2×4=8个三维的边界-立方体。

这里，我们虽然没有见过超立方体，但知道了它的部分性质-它有8个边界，每一个边界均为我们三维空间中所熟知的立方体。接下来我们再举一个例子来感知一下四维超球到底是一个什么样的球：

•当二维平面上一个圆盘穿越二维平面上的一条直线时，在直线上首先出现的是一个点，然后是一条逐渐变长的线段，再然后是线段逐渐变短，直到最后缩短到一个点并消失；

•当三维欧氏空间中的一个球体穿越一个二维平面时，在平面上首先出现的是一个点，然后是一个逐渐变大的二维圆盘，再然后是圆盘逐渐变小，直到最后缩小到一个点并消失；

•因此可以推测出，当四维欧氏空间中的一个超球体穿越一个三维欧氏空间时，在三维空间中首先出现的是一个点，然后是一个逐渐变大的三维球体，再然后是球体逐渐变小，直到最后缩小到一个点并消失。

B.额外维在高能物理学理论研究中的地位

为了对现代额外维理论带来的影响有个直观的了解，我们列出INSPRIRE数据库1收录的高能物理学领域内引用超过5000次的理论论文：http://inspirehep.net/

1)An alternative to compactification,L.Randall and R.Sundrum,Phys.Rev.Lett.,1999,83：4690.引用＞5700次

2)A large mass hierarchy from a small extra dimension,L.Randall and R.Sundrum,Phys.Rev.Lett., 1999,83：3370.引用＞7300次

3)The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter,N.Arkani-Hamed,S.Dimopoulos and G.R. Dvali,Phys.Lett.B,1998,429：263.引用＞5800 次

4)Anti-de Sitter space and holography,E.Witten,Adv. Theor.Math.Phys.,1998,2：253.引用＞8000次

5)Gauge theory correlators from noncritical string theory,S.S.Gubser,I.R.Klebanov and A.M. Polyakov,Phys. Lett. B,1998,428：105. 引用＞6900次

6)The large N limit of superconformal field theories and supergravity,J.M.Maldacena,Adv.Theor. Math.Phys.,1998,2：231.引用＞12000次

7)The Inflationary Universe:A Possible Solution to the Horizon and Flatness Problems,A.H.Guth, Phys.Rev.D,1981,23：347.引用＞6000次

8)Asymptotic freedom in parton language,G.Altarelli and G.Parisi,Nucl.Phys.B,1977,126：298.引用＞5800次

9)Particle creation by black holes,S.W.Hawking, Commun.Math.Phys.,1975,43：199.引用＞6200 次

10)CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction,M.Kobayashi and T.Maskawa,Prog. Theor.Phys.,1973,49：652.引用＞8800次

11)Weak interactions with lepton-hadron symmetry S. L.Glashow,J.Iliopoulos,L.Maiani,Phys.Rev.D, 1970,2：1285.引用＞5200次

12)A model of leptons,S.Weinberg,Phys.Rev.Lett., 1967,19：1264.引用＞10400次

13)Unitary symmetry and leptonic decays,N.Cabibbo, Phys.Rev.Lett.,1963,10：531.引用＞5300次

14)Partial symmetries of weak interactions,S.L. Glashow,Nucl.Phys.,1961,22：579.引用＞6500 次

15)New generation of parton distributions with uncertainties from global QCD analysis,J.Pumplin,D. R.Stump,J.Huston,H.L.Lai,P.M.Nadolsky and W.K.Tung,JHEP,2002,0207：012.引用＞5000次

在这15篇论文中，前6篇都与额外维密切相关。可见额外维在高能物理学的研究中具有重要地位。

C.为什么要研究额外维？

引入额外的空间维度主要是基于下面三种动机：

1)统一理论。如Kaluza-Klein理论是为了统一广义相对论与麦克斯韦电磁理论。

2)量子引力。例如超弦理论中需要引入额外维来得到一个自洽的量子引力理论。

3)层次问题(hierarchy problem)。Arkani-Hamed、Dimopoulos和Dvali(ADD)提出的大额外维模型以及 Randall、Sundrum(RS)提出的弯曲额外维模型都可以通过引入额外维来解释标准模型中存在的层次问题。

II.平直时空中的额外维理论

A.Kaluza-Klein理论

Kaluza-Klein（以后简称KK）理论是二十世纪初由Kaluza首先提出[2]，并经Klein进一步发展[3]的一个五维时空理论。该理论指出，通过引入一个额外的空间维度可以统一当时已知的两种基本相互作用力，即电磁力（由麦克斯韦理论描述）和引力（由爱因斯坦的广义相对论描述）。该理论的基本假设是：

1)我们的世界是一个五维时空，其中第五维是一个半径为普朗克(Planck)长度(rc=lp～10-33cm)的圆环。

2)五维世界中只存在引力，相应的作用量为2本文采用自然单位制：ħ=c=1.：

而四维的电磁力和引力可以通过维度约化得到。

本文始终用xµ表示四维时空坐标，y或者r（有时用φ）表示额外维坐标x5，并以带“尖帽”的量表示全时空中的量，（为方便起见，III.B.1节以后，高维时空中的量不再加尖帽）例如(1)式中,和ˆR分别表示五维时空中的引力能标（质量标度）、度规行列式和标曲率。四维时空中相应的量用不带“尖帽”的字符表示。分别用大写拉丁字母（如M,N,···）和小写希腊字母（如µ,ν,···）表示全时空和四维时空中的指标。

图1.五维Kaluza-Klein理论的时空流形[5]。

其中α,β为待定参数，且当仅考虑零模时所有的四维场 gµν,Aµ,φ都只是 xµ的函数，与额外维 y无关。度规的号差为(-,+,+,+,+)。写成线元的形式为：是用四维时空度规gµν定义的线元。

当参数取如下值时[6]

作用量(1)（仅考虑零模时）可写为

由于括号中所有的变量均与y无关，因此可以对y直接积分，得到如下四维有效作用量：

至此可知，KK理论有如下两个重要特点：

1)一般地，由一个五维的纯引力理论 (1)通过对额外维积分，可以得到一个四维的标量-矢量-张量理论(9)。标量场φ称为伸缩子(dilaton)。原始的KK理论中没有考虑φ，其约化后的四维理论仅含矢量场和引力场。

当然，KK理论也存在一个致命的缺陷：如果额外维仅仅是紧致成圆环，则由五维费米场约化得到的四维有效作用量不是一个手征理论。这与实验观测到的只存在左手中微子的结论是矛盾的。因此需要对KK理论进行修改，使之能产生手征费米子。最常见的解决方案是采用轨形(orbifold)S1/Z2紧致化[7]，即将圆环从中间分成两半，并将上一半中的所有点与下一半中对应的点做认同(identification)。这也等效于将额外维紧致在一个区间上（见图2）。

图2.轨形的几何图像。

轨形紧致化和区间紧致化在物理上是等价的。以标量场为例，区间紧致化相当于在端点处引入两类边界条件（见[7,8]）：

当采用Neumann边界条件时，Φ的KK谱中既含有零模（零质量模式），又含有 KK模式（有质量模式或 KK态）3当我们把一个场从高维约化到低维时，得到一系列的低维场或粒子，称为KK模式，通常包括零质量模式和有质量模式，所有这些KK模式构成的集合称为KK谱。。然而，当选择 Dirichlet边界条件时，Φ的KK谱中仅有KK态而不含零模[7]。从轨形的角度看，一个偶宇称的Φ(y)等价于在边界处引入Neumann边界条件，而奇宇称的Φ(y)则等价于在边界处引入Dirichlet边界条件。换言之，奇偶性不同的两个场经过KK约化后一个含有零模，另一个则不含零模。由于一个五维的Dirac旋量场由两个手征性相反的Weyl旋量场构成Ψ=(χ,)T，且分析可知χ 和 ψ沿额外维具有相反的宇称[7]，因此只有一种手征Weyl旋量场具有零模。

B.非紧致额外维：畴壁世界模型

1983年，Rubakov和Shaposhnikov提出了畴壁世界模型[9]。这是一种与Kaluza-Klein理论完全不同的额外维模型。在畴壁世界模型中，额外的空间维度不必是紧致化的。相反，额外维的尺度可以无限大。畴壁世界模型的基本内容是：

•我们的世界是五维平直时空中的一个四维畴壁。畴壁附近存在一个有效势阱，能将五维物质场的低能KK模式束缚在畴壁上，所以在能量较低时我们感受到的是一个四维时空。只有当能量较高时，额外维的效应才会显现出来。畴壁世界的图像见图3。

数学上，Rubakov和Shaposhnikov考虑的就是一个五维平直时空中的标量场Φ4可参看文献[10]第3.7节。模型：

该模型有如下静态畴壁解：

若五维费米场与背景标量场之间存在Yukawa耦合（耦合常数为η，这里假设η＞0）：

则经过KK分解

后，KK模式的额外维部分满足一个类Schrödinger方程（有效势函数的形状见图3）。这里上标(n)表示第n 个KK模式。左手零模和第一激发态均为束缚态，其中左手零模为[9]：

ψ(0)L(xµ)是四维时空中的左手无质量旋量场，满足

可见，对于η＞0，左手零模的四维部分可以在四维畴壁上自由传播，但是沿着额外维方向波函数局域化在第五维的原点附近，即畴壁上，而右手零模则不能局域化。若η＜0，则结论相反。因此畴壁世界模型可以得到四维零质量的手征费米子。

畴壁世界模型虽然能够将左手征费米场局域化在四维世界上，但是由于背景时空是五维平直时空，引力零模并不能被局域化在畴壁上。如果引力零模能在全时空中传播，则两个质点之间的引力就不再满足牛顿的平方反比定律，而是F∝1/rD-2，这里r为两个质点之间的距离4可参看文献[10]第3.7节。。这里D是总的时空维数，只有四维时空(D=4)情况下才有平方反比律F∝1/r2。因此，我们需要一种机制能够把物质场和引力场都束缚在畴壁上。

图3.畴壁世界的图像：由于沿着额外维的方向存在一个非平庸的畴壁分布，使得物质场被局域化在畴壁附近。对于畴壁上能量较低的粒子而言，世界是(3+1)维的。但是当两个粒子以很高的能量相撞时，可能会产生更高能量的新粒子。当新粒子的能量高于畴壁产生的有效势函数的势垒高度Ec时，粒子将逃离四维世界，跑到额外维中去。

C.层次问题与ADD模型

在介绍ADD模型之前，有必要简单介绍下什么是层次问题。在量子场论中，Higgs场的物理质量µ与裸质量µ0之间满足如下关系：

其中δµ20～Λ2是裸质量的圈图修正，Λ是截断参数。按照有效场论的观点，Λ是出现新物理的能标。已知Higgs的物理质量µ～102GeV，假设新物理出现于普朗克能标 MPl～1019GeV，则只有通过非常精细地调节(fine tuning)裸质量µ0的值（需要调节34位数）才能使等式 (18)成立，这是非常不自然的。而Higgs质量需要如此高精度调节的本质原因是因为电弱能标MEW≈246 GeV与普朗克能标MPl～1019GeV之间巨大的层次差异。层次问题是粒子物理中一直悬而未决的重大疑难问题。

若新物理出现的能标较低（如 1 TeV），则不会产生严重的精细调节问题，亦即没有层次问题。1998年，Arkani-Hamed、Dimopoulos和Dvali考虑了一个含有d个额外维的理论[11]：

假设这d个空间额外维都各自卷曲成圆环，并且具有相同的半径rc，则易知基本能标与四维普朗克能标MPl之间的关系为：

表I.ADD理论中，额外维数目d与半径rc的关系

在该高维理论中，量子引力的基本能标不再是四维普朗克质量，而是。为了解决层次问题，ADD假设基本能标～1 TeV。则

由此可见，为了消除层次问题，额外维的个数d及其半径rc必须满足上面的等式。具体关系如表I所示。

当d=1时，为了解决层次问题必须要求额外维的半径达到1013m，这大概是太阳系的半径。然而，高斯定理指出该4+d维时空中两个静态质点m1和m2，在距离为r时所感受到彼此之间的引力势为[9]：

也就是说，当质点间距r≫rc时，额外维的效应并不明显；但倘若额外维的半径达到太阳系这么大，则牛顿的万有引力定律就不再是平方反比律而是立方反比律！这显然与实验相违背。目前实验上关于牛顿引力平方反比律的精确测量已经对额外维的半径给出了一个上限：当 d=2，且两个额外维的半径相同时，rc＜37µm[12]。因此，ADD模型在d=2的情况也可以被排除；而d≥3，rc＜10-6cm的可能性目前还不能排除。当然，我们这里假设所有额外维半径都在同一数量级上且基本能标～1 TeV。当额外维半径不同时，如果有些额外维的半径明显比其它额外维小很多，那么d＞2与d=2情况可能具有相同的牛顿势修正[13]。

然而，另一方面我们也看到，即使额外维数目达到六个，对应能量尺度也不过10 MeV，对于现在的粒子加速器来说，这个能量并不高，我们应该早就观测到一些额外维存在的迹象。为便于理解，我们以五维时空中的自由标量场为例，分析额外维半径与新物理之间的关系。

五维无质量的自由标量场满足五维Klein-Gordon方程：

由于场沿额外维方向具有周期性 φ(x,y)=φ(x,y+ 2πrc)，因此可以对其进行傅里叶分解，也叫 KK分解：

其中上标(n)表示第n个KK模式。KK分解可将场函数中四维部分和额外维部分分开。将KK分解代入KG方程，得：

可见，每一个n对应一个质量为mn=的四维标量场，可以分为两类：

•当n=0时，即质量为零的KK模式，其波函数

为 φ(x,y)=eixµpµ。该模式与额外维没有关系，可以认为这种粒子就是四维时空中已知的粒子；

•当n/=0时，也就是质量不为零的KK模式，它们的质量源于额外维，质量大小与额外维的尺度有关。如果能在对撞机中发现这样的粒子，就能为额外维的存在提供证据。

对于张量场和旋量场也有类似的结论，因此如果额外维对应的能量尺度r-1 c ～10 MeV，则第一激发态(m1～1/rc～10 MeV)应该早就被发现了，而实际上并没有。为了解决这一问题，ADD提出了第二个假设，即

•除引力场外，所有标准模型粒子都被束缚在一张四维超曲面，或膜世界上。这也是ADD模型区别于KK理论的关键所在。

由于只有引力场能沿额外维传播，因此在 ADD模型中，只有引力子具有KK模式。ADD模型预言，这些KK引力子可以作为中间媒介子参与标准模型粒子的反应，也可以直接在标准模型粒子对撞时被产生出来。这些反应过程和天体物理学的一些研究都能对 ADD模型的参数给出限制，具体内容可参看[7,14]。

需要指出的是，尽管ADD模型是通过假设标准模型粒子都束缚在膜上和额外维很大（相对于普朗克长度）来消除弱电能标MEW和基本能标之间的层次，使得MEW～～1 TeV，但是，当d较小时，基本能标与额外维所对应的能标1/rc之间的比值

仍然很大。因此ADD模型并没有真正解决层次问题。

畴壁世界模型和ADD模型是平直额外维模型中的两个典型代表，它们都为额外维理论的研究注入了新的活力，但是都存在自身的不足。下面我们将会看到，一些弯曲时空中的额外维模型能够很好地解决这两个模型的缺点，并且给出很不一样的物理图像和结果。

III.弯曲时空中的额外维理论

受到ADD模型的启发，1999年Randall和Sundrum提出了含有一个弯曲额外维 (warped extra dimension)的模型来解决层次问题，现在这一模型被称为RS-1模型[15]。随后又在RS-1模型的基础上提出了额外维无限大且能够使四维引力局域在膜上的RS-2模型[16]。RS-2模型与畴壁世界相结合还发展出了厚膜(thick brane)的概念[17,18,19]。

A.RS-1模型

这一小节我们简单介绍RS-1模型的基本结构，它是如何解决层次问题的，以及RS-1模型相关的实验进展。

1.RS-1模型的基本结构

RS-1模型[15]建立在以下几个基本假设基础上：

1)存在一个轨形紧致化的额外维 y∈[-πrc,πrc]或

者φ∈[-π,π]（y=φrc），紧致半径为rc。

2)在任意确定的φ值所对应的四维超曲面上，时空都具有Poincar´e对称，满足这一条件的最广泛的度规形式是：

其中A(φ)仅是额外维的函数，称为卷曲因子。

3)在φ=0和φ=π处各存在一个张力为常数的膜，分别称为隐藏膜（或普朗克膜、紫外膜）和可见膜（或TeV膜、红外膜）。RS-1模型假设所有的标准模型场都被束缚在可见膜上。

4)全空间(bulk)是一个五维的Anti de Sitter（反德西特，简称为AdS）时空，即假设bulk中只存在一个数值为负的宇宙学常数。

图4.RS-1模型示意图。

因此RS-1模型的总作用量S=Sgravity+Svis+ Shid包含三部分，即引力部分：

可见膜部分：

和隐藏膜部分：

分别是可见膜和隐藏膜上的诱导度规。Vvis（Vhid）是可见膜（隐藏膜）上的宇宙学常数。Lvis（Lhid）表示可见膜（隐藏膜）上除宇宙学常数外所有其它物质的总拉格朗日密度，这部分对于求解模型的背景解不重要，所以RS-1模型假设膜上只有宇宙学常数。

由作用量(30)和度规(29)出发，可以导出具体的爱因斯坦方程组[15]：

这里，撇号′表示对φ求导。由方程(35)知卷曲因子的解为

将A的解代入方程(36)并比较方程两边可得膜上与五维宇宙学常数之间的关系：

因此，RS-1模型的背景度规解可具体写为

由于RS-1模型假设只有引力能在五维时空中传播，因此也只有引力子具有KK谱。为了研究引力子的KK谱，需要考虑背景解(39)附近一个小的度规扰动。先考虑零模，由于RS-1模型采用了轨形紧致化，度规扰动中的矢量部分不含零模，只有张量和标量部分含有零模。其中张量零模对应于四维无质量引力子，而标量零模则对应于四维时空中的一个无质量的标量场，称为radion。若只考虑零模，则扰动后的度规可写为如下形式：

紧致半径 rc可以看成是 radion T(x)的真空期望值，或背景解。

将度规(40)代入作用量(30)，可导出RS-1模型的四维有效作用量Seff，其中包含四维有效引力的作用量

这里R是用四维度规gµν=ηµν+hµν(xρ)定义的标曲率。普朗克常数与五维基本能标之间的关系为：

2.RS-1模型与层次问题

前面说过，四维引力场是 gµν=ηµν+hµν，恰好等同于隐藏膜上的诱导度规：

但是，可见膜上的诱导度规并不等价于四维度规：

这一结果对束缚在可见膜上的标准模型场具有深刻的影响。RS-1模型假设Higgs粒子被束缚在可见膜上，相应的Higgs场的作用量是用诱导度规写出的：

由量纲分析可知λ是无量纲的，而v0具有质量量纲，是五维时空中Higgs场的真空期望值。此时，五维时空中Higgs场的基本质量为=

为了得到膜上物理的（有效的）耦合常数，需要将诱导度规e-2krcπgµν替换成物理度规gµν，结果是

显然，Higgs场的动能项-e-2krcπgµν∇µH†∇νH 不是正则的。定义正则的Higgs场 ˜H=e-krcπH，则

其中v=e-krcπv0为四维膜上Higgs场的物理真空期望值。此时，四维膜上Higgs场的有效质量为

该公式表明在卷曲额外维的影响下，四维膜上Higgs粒子的有效质量 mH相较于五维 Higgs场的基本质量发生了“红移”。这一结果可以被进一步推广为：可见膜上任一基本质量m0与其所对应的物理质量m之间均存在如下关系：

另一方面，在标准模型中，Higgs真空期望值设定了弱作用耦合强度即费米耦合系数

而实验结果要求该耦合系数为GF≈11.66 TeV-2，即要求Higgs真空期望值v≈246 GeV，这个能标称为电弱能标。因此，与Higgs质量层次同理，只要选取额外维半径rc～10/k，则五维基本的电弱能标v0(～MPl)在可见膜上被“红移”为TeV量级的有效电弱能标v。

3.RS-1模型中的引力子

RS-1模型假设只有引力在高维时空中传播，因此只有引力场具有KK模式。前面已经提到，引力子可以由度规的张量涨落描述：

其中y=rcφ，且引力涨落（张量涨落）hµν(x,y)是横向无迹的∂µhµν=0=。将此度规代入RS-1模型的五维作用量(30)式，得[20]：

变分可得运动方程：

以及边界条件

对引力涨落进行KK分解

方程(56)是一个Sturm-Liouville方程，波函数满足如下正交归一条件：

先看零模(m0=0)，波函数的通解为：

将KK分解和零模波函数的解代入引力作用量Sg中，动能项可写为

相对于五维平直度规，无质量模式沿额外维的分布为

因此四维引力子局域在紫外膜上[16]。

当mn/=0时，KK模式的通解为

由于ke-πkrc～TeV，所以RS-1模型中KK引力子具有TeV量级的质量。另一方面，将KK引力子的波函数代入RS-1模型的作用量，可导出TeV膜上标准模型场与引力子KK模式的耦合为：

其中Λπ=MPle-πkrc也在TeV量级。由于RS-1模型的KK激发态的质量和耦合常数都在TeV量级，因此如果它们存在，则可以作为共振态在大型强子对撞机LHC中被探测到。目前实验上并没有明显的证据表明存在超出标准模型的共振态，这可以给RS-1模型的参数（k/Pl和第一激发态的质量m1）给出限制。根据 2014年粒子物理数据[21]，对于 k/MPl=0.1，ATLAS和CMS实验组给出KK引力子第一激发态的质量下限分别是2.47 TeV和2.39 TeV。

B.RS-2模型

如前所述，在KK理论或ADD模型中基本能标和有效的普朗克能标之间满足(20)式：

显然，为了得到有限的普朗克能标，额外维的半径rc必须有限。在弯曲时空中则不然，以RS-1模型为例，普朗克能标和基本能标之间的关系是（见(42)式）

因此，即便rc无限大，我们仍能得到一个有限的MPl。受此启发，Randall和Sundrum在RS-1模型的基础上进一步考虑了无限大的弯曲额外维模型中引力的局域化问题，这就是RS-2模型。由于RS-2模型的目的不是解决层次问题，而是要分析如何在弯曲的五维时空中产生局域在可见膜上的四维引力。因此，与RS-1模型相比，RS-2模型主要有两个不同之处：

1)假设我们生活在y=0处的膜上，而y=πrc处的膜世界是不可见的。

2)额外维无限大，即 rc→ +∞，因此 RS-2模型中的KK谱是连续谱。这等同于将TeV膜移到无限远处。

1.RS-2模型中四维牛顿引力的产生

RS-2模型的解可以通过对 RS-1解取极限 rc→+∞得到。因此，RS-2模型的度规解为[16]

在III.A.3节中，我们已经知道RS-1模型的引力子谱为

在RS-2模型中由于rc→+∞，谱将变为连续的，并且m1→0，即激发态与零模之间是无间隙的。引力零模将给出膜上两个质点间的牛顿引力势。但是，由于RS-2引力谱中存无间隙的激发模式，因此还需要考虑所有的 KK激发态对牛顿引力势的修正。这是因为引力的本质就是引力子的交换，因此需要考虑交换无穷多有质量KK引力模式产生的引力。经过计算，Randall和Sundrum发现对于膜上（y=0）相距为|→x|的两个质点m1,m2，四维牛顿引力势具有如下形式：

其中，第一项来自引力零模，是标准的牛顿引力势；第二项是所有有质量引力KK模式的贡献，是对牛顿引力势的修正。随着距离 |→x|的增大，修正项将快速地衰减。额外维效应的特征尺度为普朗克长度：1/k～1/MPl～lPl。因此，Randall和Sundrum证明了即使存在无限大的额外维，只要时空按照一定的方式弯曲，我们仍将得到有效的四维牛顿引力。

2.RS-2模型中标量场的（准）局域化

由上一节我们知道在RS模型中引力零模在普朗克膜上有峰值，因此引力局域化在普朗克膜上。一个很重要的问题是探讨其它自旋的场是否能被局域化在膜上。下面考虑标量场在膜上的局域化问题，关于费米子的局域化问题可参考文献[22,23,24]。为了方便起见，从本节开始，高维时空中的量不再加尖冒。

考虑一个无质量自由的五维实标量场，其运动方程为[24,25]：

对标量场进行KK分解

则φ(n)(x)和ζ(n)(y)满足下面的方程：

下面分析零模（m0=0）是否存在。零模满足的方程为

上式的解为ζ=ζ0，ζ0是常数。不过，还需要看零模在额外维无限大时是否可归一化（即要看有效的四维动能项是否能归一化）。动能项归一化形式为：

可以看出当额外维无限大时对 y的积分仍然收敛，即RS背景下标量场可以局域化在膜上，虽然在y坐标下，标量场波函数为常数（如果考虑共形的额外维坐标r(ekydy=dr)，则波函数在普朗克膜上有峰值）。然而，以上讨论中假定质量项（或五维标量势）为零，这对标量场来说是不自然的。如果有五维标量势，额外维无限大时，解会变成什么样呢？有标量势时标量场的运动方程为：

显然，上式没有零模解。为了看零模到底变成了什么，需要考虑全部的连续质量谱[26]。五维标量势为质量项m2Φ2时，四动量为pµ的KK模式的运动方程为

正如前面提到的，p2=0不是该方程的解，所以不存在零模。起初，我们想也许零模会从五维质量项中挑选出一个满足p2=-m2的质量来，但p2=-m2也不是五维方程的解。因此，零模到底去哪儿了？在y比较大时，由五维质量得到的额外的质量项m2不重要，此时连续质量谱可以完全由 y确定。因此，除了在y比较小时波函数会扭曲外，有质量时的质量谱和m2=0时的质量谱一样。上式的一般解为Hankel函数：

当五维质量m比较小时，上式的解为：

因此，我们发现模式的局域化质量不是m，而是m0，即局域化质量将移到m0处，且有虚部，即存在寿命有限的分立模式，该模式也称为准局域化模式。如果寿命足够长，则该模式和一般的四维局域化模式类似。不过，在膜上待上一段时间后，它终将消失成为五维的KK模式。该模式也可解释为连续KK质量谱中的一个共振态，而不是单个的有复质量的模式。通过计算系统的有效火山势可以很好地理解该模式。束缚在火山势中的这种模式的隧穿振幅有限，因而其宽度和存活时间都有限。

总之，短时间内存在有效的局域化的四维粒子，该粒子在膜上待一段时间后，将消失在额外维中。如果该场是带五维规范电荷的，则从四维观者的角度来看，电荷将不守恒。当然，从五维理论来看，因为考虑连续KK模式（该模式被抑制在膜上），电荷还是守恒的。这只是额外维体积无限时的最简单的准局域化例子。也有人尝试考虑引力的准局域化模式，这将非常激动人心，因为这将说明引力子不是严格的无质量的，而是有有限宽度的。例如文献[27]中的GRS模型，文献[28]中的DGP模型。然而，它们或者有质量谱的内在不稳定性问题，或者有四维引力子在大距离时的不可重构性问题（后一问题还在争论中），因此并不完全令人满意。

图5.RS模型与厚膜模型的卷曲因子示意图。

C.厚膜—弯曲时空中的畴壁世界

RS-2模型给我们带来的一个启发是，只要我们将畴壁世界的时空背景由平直时空换为弯曲时空，就有可能同时实现物质场和引力场在畴壁上的局域化。目前，在很多引力理论中都已经找到了解析的畴壁解。这些畴壁解一般是光滑、无奇异的，并在一定的极限条件下这些解能退回到RS-2薄膜解。所以通常也把弯曲时空中的畴壁叫做厚膜。下面我们集中介绍各种厚膜模型的解，以及引力和物质场在厚膜上的局域化。

1.简单厚膜模型的构造

最简单的厚膜模型可以在最小耦合的标量-爱因斯坦引力中构造。该模型的作用量是

假设度规与RS-2度规类似

其中a(y)≡eA(y)是额外维的一个任意函数，称为卷曲因子，其具体形式依赖于具体的模型（即拉氏量的形式）。RS模型的度规解是A=-k|y|的特殊情况。

由作用量(82)和度规(83)出发可导出厚膜模型的爱因斯坦方程：

以及静态标量场满足的方程：

实际上，我们可以从爱因斯坦方程直接导出标量场的运动方程。所以三个方程中仅有两个是独立的，而我们有三个未知变量：A(y),φ(y),V(φ)。因此必须先给定其中一个变量，才能求出另外两个。为了找到厚膜解，文献中一般采用一阶方法[17]，即定义超势W(φ)使得

其中Wφ≡dW/dφ。将上式代入爱因斯坦方程，可得标量势函数为

根据对称性分析可知，要使得A和φ分别为偶函数和奇函数，超势W 只能是φ的奇函数。显然φ4型的厚膜模型要求W ～φ2，因此，若用超势方法，则在广义相对论中的正则标量场模型不存在满足要求的φ4型厚膜解。后面我们将看到，在f(R)引力中，可以存在φ4型的厚膜解。

为了得到解析的厚膜解，可以选择W = ksinφ[29]。与之相应的卷曲因子和标量场的解分别为

显然，当 y→ ±∞ 时，A(y)→ -k|y|，我们将得到 RS-1模型的卷曲因子解。因此厚膜只是对 RS-2模型在y=0处做了光滑和非奇异的处理。选择其它形式的超势可以得到不同的厚膜解。

2.线性涨落：稳定性及引力局域化

在得到一个厚膜解之后，我们首先要讨论解在线性涨落下的稳定性和引力的局域化问题。为了便于研究线性涨落，一般会对额外维坐标进行共形变换：dr=a-1dy，从物理坐标y变到共形坐标r。在(xµ,r)坐标系下，对平直膜来说度规是共形平直的：

在厚膜模型中，除了要考虑度规的涨落δgMN(xP)外，还要考虑标量场的涨落δφ(xP)。为方便起见，我们将度规的涨落改写成 δgMN≡a2hMN，并对 hMN引入如下的标量-矢量-张量分解 (scalar-tensor-vector decomposition，以后简记为STV分解)5这种分解的合理性及其在宇宙学中的应用，可参阅[30]。：

其中Cµ和Gµ是横向的（transverse）矢量涨落，满足：

而Dµν是横向且无迹的（transverse and traceless）张量涨落：

这里，所有指标均由ηµν升降，因此∂µ≡ηµν∂ν.

作用量所具有的广义协变性，可等效为线性涨落方程具有的规范对称性（详细讨论请参阅文献[31]）。所以，可以选取适当的规范条件消除部分涨落模式。常用的规范条件是纵向规范（the longitude gauge）：

在此规范下，矢量涨落满足的方程为[32]

张量涨落（即引力子）的方程为

标量涨落的方程为：

注意，本小节中撇号表示对r取导数。

在得到涨落方程后，我们可以对不同类型的涨落模式分别进行KK分解：

其中ϵµ,κµν分别表示极化矢量和极化张量，它们都是与坐标无关的常量。将KK分解代入涨落方程中，并利用p2=-m2，可得到v(r),t(r),s(r)满足的方程：

第一个方程表明矢量涨落只有零模，而另外两个方程说明张量和标量涨落的KK模式沿额外维的部分满足类Schrödinger方程。当m2v,m2t,m2s≥0时，我们说背景解是线性稳定的。如果存在m2＜0的本征态（快子态），则解是不稳定的。显然，任何背景解在矢量涨落下都是稳定的。为了判断解在张量和标量涨落下的稳定性，可以引入因子化方法，即把方程组(105)-(106)改写为：

代入解(89)-(90)不难发现张量零模局域在膜上（见图6），而标量零模不能局域在膜上。由量子力学的知识可知，当哈密顿量可以写成因子化的形式时，本征值必然是非负的。所以任意静态厚膜解在张量和标量涨落下也都是稳定的。

具体到Sine-Gordon厚膜解，从方程(105)可知引力子感受到的有效势函数是[29]

图6.有效引力势Vt和相应的归一化的引力零模式t0。

这与RS模型的结果是类似的。因此，Sine-Gordon厚膜模型可以很好地实现引力零模的局域化，并在宏观尺度产生牛顿引力。

IV.厚膜上物质场的局域化

本节要讨论的问题是：如果我们的世界真的只是五维时空中的一个四维畴壁，那么如何从五维弯曲时空中的场得到我们所熟悉的四维平直时空中的场？为了简单起见，可以在厚膜背景解的基础上考虑具有不同自旋的五维自由场。通过对这些场的作用量进行KK约化就可以得到相应的四维有效作用量。这里我们忽略物质场对时空背景的反作用（事实上，通常一个五维的基本粒子对时空背景的影响微乎其微，就像四维时空中一个粒子对时空背景的影响很小一样），所以整个时空的几何（即度规解）并不因为物质场的引入而改变。本文仅讨论研究中常见的几种物质场。为了便于统一讨论，我们将这些场分为两类，即q-形式场（包括标量场、矢量场、Kalb-Ramond场等）与费米场。

A.q-形式场局域化概述

q-形式场是指含有 q个自由指标的全反对称张量场XM1M2...Mq，特别地，q=0,1,2的形式场分别对应于标量场、矢量场和Kalb-Ramond场（简称KR场）。q-形式场的场强为

因此D=p+2维时空中自由的q-形式场XM1M2...Mq的作用量可以写为：

膜世界只需要考虑q=0,1,2,···,[p/2]的形式场的局域化问题[33]，这是因为q-形式场可以对偶到(p-q)-形式场。这里p代表厚膜的空间维数，例如五维时空中的厚膜具有3个空间维度。我们称空间维数为p的膜为p-膜。

仍假设D维时空中厚膜的线元具有如下共形平直的形式：

在此线元下，q-形式场的运动方程为

显然，作用量(116)在下面的规范变换下不变：

其中ΛM2M3...Mq是一个反对称张量场[33]。为了去除规范自由度，可以选择Xµ1...µq-1r=0作为规范条件，然后对场的剩余分量Xµ1µ2...µq进行KK分解[5]：

将 (122)、 (123)两式代到运动方程 (118)式中，可以得到 ˆX(xµ)和U(n)(r)满足的方程。其中U(n)(r)的方程是一个一维类Schrödinger方程：

有效势函数为

在给定背景度规解后，就可求出V(r)的具体形式。

另一方面，假设额外维部分的场函数U(m)满足如下正交归一化条件：

则利用 KK分解 (121)，可由高维作用量 (116)得到q-形式场膜上的有效作用量：

注意这里的求和是指对分立的KK模式而言，如果KK模式是连续的，则求和代表积分。可以看出，该有效作用量代表膜上不同的KK模式，即能够局域化在膜上的KK模式。由于正交归一化条件(126)是导出有限的有效作用量的关键，因此从类Schrödinger方程中所求解出来的KK模式，只有满足此条件时，才有可能被局域化在膜上（只有当KK模式沿额外维的分布主要集中在厚膜所在的区域且满足归一化条件时才称该模式局域化在膜上）。

先看最简单的零模式，即m20=0的KK模式。根据(124)式，零模沿额外维部分的解为：

1.标量场（q=0）

q=0时，作用量(116)简化为一个无质量的自由标量场Φ(xµ,r)的作用量，此时KK分解为

其类Schrödinger方程(124)相应的有效势函数为：

在正交归一化条件∫drχmχn=δmn下，标量场在膜上的有效作用量为：

这表明，我们有可能从一个高维无质量的自由标量场，通过KK约化得到膜上无质量和一系列有质量的自由标量场。

注意到V0(r)与张量涨落的有效势函数(113)具有相同的形式（p=3时）。因此，零模

也与引力零模具有相同的形式。只要引力零模能局域化（如前面提到的Sine-Gordon厚膜），则标量场零模也能局域化。

2.矢量场（q=1）

我们用Aµ来表示q=1的矢量场。由于存在规范自由度，我们先选择规范 Ar=0，再进行KK分解

最终可得与矢量场 KK模式的类 Schrödinger方程(124)相应的有效势函数为[34]：

在正交归一化条件

的假设下，矢量场的有效作用量为：

其中 fµ(nν)=∂µa(νn)-∂νa(µn)是膜上矢量场的场强。因此，从高维无质量自由矢量场的作用量出发，经过KK约化后可能得到膜上无质量以及一系列有质量的自由矢量场。零模局域化的前提是零模满足归一化条件，即积分 ∫drρ20有限。由(128)式知，矢量零模为

对五维时空中 (p=3)，有 ρ0=eA/2，再利用关系dr=e-Ady得

因此，如果在物理坐标系中额外维y无限大，则上面的积分发散，矢量零模对任意的背景度规解都是不能局域化的。目前已知的矢量场能够局域化的模型主要包括一些六维厚膜模型[35]、额外维有限的 de Sitter（德西特，简称为 dS）厚膜模型[36]以及外尔几何下的厚膜模型[37]。文献[38]通过利用Chumbes-Holf da Silva-Hott机制来实现矢量场的局域化，而文献[39]则基于类Stueckelberg作用量来实现局域化。此外，也可以通过假设矢量场与曲率之间存在耦合[40]或者几何的Yukawa耦合[41]来实现矢量场的局域化。

3.Kalb-Ramond场（q=2）

用Bαβ来表示q=2的Kalb-Ramond场。这种二阶反对称张量场最初是在弦理论中引入的，是一种无质量的模式。KR场（NS-NS B-场）与度规张量场和伸缩子场（dilaton）为闭弦的无质量激发，与KR场耦合的弦的作用量为-∫dxMdxNBMN（类似于在电磁场中运动的带电粒子的作用量-∫dxMAM）。后来在Einstein-Cartan理论中，KR场被用来描述时空的挠率。在四维时空中KR场与标量场对偶，而在高维时空中KR场则代表着新的粒子。所以有必要研究这种场在膜世界中的局域化问题。

按照前面的方法对高维自由KR场进行KK分解

同样能得到KR场的KK模式满足的类Schrödinger方程(124)，相应的有效势函数为：

同时，结合正交归一化条件，可导出膜上的有效作用量为：

在五维时空中，KR场的零模解正比于e-A，而标量场的零模解正比于e3A/2。因此，对于卷曲因子e2A指数收敛的情况，标量场能够被局域化在膜上，而KR场不能。为了使KR场能够局域化，可以引入它与背景标量场的耦合，例如文献[42,43]假设KR场与背景标量场的耦合为：

其中ζ是耦合常数，π是背景标量场，HMNL是KR场的场强。当耦合常数ζ满足一定条件时，KR场就可以被束缚在膜上。此外，文献[44,45]研究了 KR场在RS薄膜模型中的局域化。其它的相关研究可参见[46-50]。

4.膜上的q-形式场的局域化与Hodge对偶

在D=p+2维时空中，一个无质量的q-形式场与无质量的(p-q)-形式场对偶：

该对偶也可写为

例如，在五维时空中，0-形式场（标量场）与3-形式场对偶，1-形式场（矢量场）与2-形式场对偶。

D=p+2维时空中一个无质量的q-形式场的作用量为

其中∫M≡∫dDxSusskind等人给出了下面的假设[51]

于是Y[q+1]=ˆY[q+1]，且对RS膜，膜上的作用量为

因此，q-形式场在RS膜上的局域化需要上式中对y的积分要收敛，即要求

于是假设 (146)意味着对五维情况，只有 0-形式场（标量场）可以局域化在 RS膜上，而更高形式的场则不能。这与五维时空中0-形式场与 3-形式场之间的Hodge对偶相矛盾。

为了解决该悖论，Duff等人对不同的q选择了不同的假设[52]：

该假设使得高维时空中的Hodge对偶和膜上无质量模式的Hodge对偶得到了保持。然而，该假说只对零模有效，因此得不到有质量KK模式之间的Hodge对偶。

为了解决上述困难，付春娥和刘玉孝等提出了没有作规范选择的一般的KK分解[53]：

其中a1=a2=(2q-p)/2。把上面的KK分解(150)代入到q-形式场的作用量得到如下四维有效作用量：

其中第n个KK模式的四维有效作用量为

它们可写为类Schrödinger方程

其中有效势为

上面两个方程可以重新写为

其中算子Q为Q=∂r+A′(r)。因此有以下结论：

•不存在负本征值的态，即总有m2n≥0。

它们的作用量为

因此只有一个零模，q-形式零模或 (q-1)-形式零模，能局域化在 RS膜上。对于对偶的 (p-q)-形式场，我们有

因此，如果有一个局域化的q-形式零模，则一定有一个局域化的对偶零模，即(p-q-1)-形式零模。如果有一个局域化的(q-1)-形式零模，则一定有一个局域化的(p-q)-形式零模。把q-形式场和(p-q)-形式场的KK分解代入高维时空中的Hodge对偶关系，则得到膜上的对偶关系：

膜上的Hodge对偶表明：

•无质量q-形式场与(p-q-1)-形式场对偶，或者

•无质量(q-1)-形式场与(p-q)-形式场对偶。

由此可见，零模的Hodge对偶始终得到满足。可以证明，相应的有效作用量是相同的：

或者

对于q-形式场的第n个KK模式，其有效作用量为

它在下面的规范变化下是不变的：

于是我们可以选择下面的规范

从而，上面的有效作用量为两种KK模式的作用量：

•一个有质量的 n-level q-形式场模式（质量为mn），以及

•一个无质量的n-level(q-1)-形式场模式。

另一方面，q-形式场和它的对偶(p-q)-形式场的有效势具有如下关系：

KK模式的关系为：

(p-q)-形式场的KK模式的有效作用量为

该有效作用量也是两种KK模式的作用量：

•一个有质量的n-level(p-q)-形式模式，以及

•一个无质量的n-level(p-q-1)-形式模式。

把场的分解代入到高维时空中的 Hodge对偶关系 (144)，则可得到膜上两组 n-level KK模式之间的对偶关系：

利用这些对偶关系，可以证明下面两个有效作用量是相等的：

因此，我们可以列出两组KK模式之间的对偶：

•一个具有质量mn的n-level q-形式KK模式和一个无质量n-level(q-1)-形式模式；

•一个具有相同质量mn的n-level(p-q)-形式KK模式和一个无质量n-level(p-q-1)-形式模式。

高维时空中及膜上形式场的对偶关系的总结见表II。

表II.高维时空中及膜上形式场的对偶关系(⇔表示对偶)

B.费米场的局域化

下面我们介绍费米场的局域化机制。费米场的局域化是各种物质场局域化中研究得最多的。研究发现，为了使自旋为1/2的旋量场能够被束缚在厚膜上，一般需要引入旋量场与背景标量场的耦合L(Ψ,φ)。在含有多个实标量场的厚膜模型中，可设五维Dirac费米子的作用量为：

其中DM=∂M+ωM，ωM是自旋联络。对共形平直度规

我们有

五维时空中的Γ矩阵为[54-56]

其中γµ和γ5是通常的四维Dirac γ矩阵。耦合项L的具体形式取决于背景标量场的奇偶性。通常，我们考虑的厚膜具有Z2对称性，因此，为了使得费米子KK模式的有效势具有相应对称性，即有效势为额外维的偶函数，则当背景标量场是奇函数时一般取Yukawa型耦合[54,57-62]

其中F最终是额外维r的奇函数。此时，Ψ的运动方程为

而当背景标量场是偶函数时，需要引入新的耦合形式[63]

其中F(φ,···,ρ)是实标量场φ,···,ρ的函数，η是耦合常数。文献[63]首次引入了这种新型的耦合方式。此时，Ψ的运动方程为

对旋量场Ψ进行如下手征分解

将(181)式代入运动方程(178)和(180)中，可知两种情况下KK模式都满足下面的类Schrödinger方程组：

而对新型耦合(179)，有效势为[63]

不论取哪种耦合形式，如果要导出膜上四维无质量和有质量 Dirac费米子的有效作用量，都必须要求fLn(r)和fRn(r)满足如下正交条件：

由类Schrödinger方程容易求出两种耦合形式下，左、右手征的费米零模fL0,R0(r)的解析表达式：

•对Yukawa耦合为[54]

•对微分耦合为[63]

零模的归一化条件为

显然，当额外维无限大时左、右手征零模中最多只能有一个可以被局域在膜上。这正是标准模型所需要的，而额外维为圆环的KK理论则不能给出四维无质量手征费米子。因此在物质场能在整个高维时空中传播的额外维理论中，额外维的Z2对称性具有重要意义。左、右手费米零模中的一个能在膜上局域化的条件通常为：耦合常数η大于某一个临界值，或者耦合常数大于零，这取决于厚膜模型和费米子与背景标量场的耦合方式。

上面考虑的两种耦合方式有一个前提，即厚膜是由背景标量场产生的。但是，某些厚膜模型中并没有背景标量场（如文献[65]考虑的f(R)引力中的纯几何厚膜）。这种情况下需要引入新的耦合才能使费米子局域化在膜上。最近，文献[66]提出了费米子与时空曲率耦合的一种机制：

其中F(R)为五维时空标曲率R的函数，得到了比较丰富的结果。

以上讨论只是各种场的零模的局域化。文献中还讨论了有质量的KK模式的局域化和质量谱。通常质量谱分为三种情况：

•有效势具有火山的形状，只有零模能局域化，有质量的KK模式都不能局域化，质量谱是连续的，从零开始。

•有效势具有有限深方势阱类似的形状，在边界上趋于正的值V(∞)。这时零模和有限多个有质量的分立的KK模式能局域化在膜上，而质量平方大于有效势在边界上取值（即m2＞V(∞)）的那些KK模式不能局域化。质量谱为分立部分和连续部分，存在质量间隙。

•有效势在边界上发散，类似于谐振子势。这时所

有模式都能局域化在膜上，质量谱为分立谱。

对于质量谱中包含连续谱的情况，如果有效势存在准势阱，则可能存在共振态。受文献 [54]的启发，Almeida等人[67]研究了费米子在双场厚膜上的局域化，首先提出了寻找共振态的方法及定义，即利用箱归一化的KK模式ψ(r)在额外维坐标原点r=0的值的模方 |ψ(0)|2来寻找共振态，|ψ(0)|2为KK模式的质量的函数曲线，该曲线的每一个峰对应一个共振态。这种方法只适用于寻找偶宇称的共振态。

随后，刘玉孝和杨捷等人在文献[60]中提出了相对概率法解决了该问题，因此现在被广泛采用。对于任意一个质量为m的KK模式ψ(r)，其在膜上出现的相对概率定义为[60]

其中rb取为厚膜的宽度，而rm不失一般性的可以选为rb的10倍。对于那些质量平方远大于有效势的所有取值的KK模式ψ(r)，其形状几乎和平面波差不多，因此其相对概率接近0.1。而质量平方小于有效势最大值的某些KK模式在膜上的某些区间的波函数取值可能远远大于其在远离膜的区域的取值，这些KK模式将有较大的相对概率（有的甚至接近1）。由于不同质量的KK模式的构形不同，因此相对概率是质量的函数。由此把存在局域最大值和半高宽的KK模式称为共振态，因为它们在膜上具有一定的寿命。对于存在准势阱的有效势，可能存在有限多个共振态，通常质量小的KK共振态具有较大的相对概率和较长的寿命。

此外，还有文献考虑了一种新的物质场 -Elko旋量场（电荷共轭算符的本征旋量）[68,69]的局域化[70[68,69]，而五维Elko的局域化性质与标量场和费米子也大不一样[70]。

V.厚膜模型的新发展

除了使用标准的（正则）标量场来构造膜世界，很多文献也尝试着使用各种非标准（非正则）的标量场来构建厚膜模型。另一方面，随着宇宙学和引力理论的发展，人们研究了各种扩展引力理论的新性质。因此寻找各种扩展引力下的厚膜解也将对认识扩展引力和厚膜的性质有一定的意义。此外还有很多工作研究膜上具有非零宇宙学常数，即弯曲膜的情况。本节将对这些厚膜模型做一个简单的介绍。

A.非正则标量场产生的厚膜解

正则标量场是指标量场的拉格朗日密度为 L= X-V(φ)的标量场。任何与正则情况不同的标量场都可以称为非正则标量场。非正则标量场的拉氏密度一般含有标量场φ及其一阶、二阶乃至更高阶导数的耦合项，即L=L(φ,∂Mφ,∂M∂Nφ,···)。但是，为了保证运动方程是二阶的，拉氏密度L中最多只允许出现φ的二阶微分项。目前，运动方程为二阶的最广泛的非正则标量场论是Horndeski理论[73-75]。本文仅介绍一类比较简单的非正则标量场，即K-场的厚膜解。

1.K-场模型

K-场是指拉氏量为L=L(φ,X)的标量场。这种形式的标量场最早是用于宇宙学暴涨模型中[76-78]，后来被应用于厚膜的研究中。在广义相对论中引入K-场可以得到最简单的厚K-膜模型：

相应的爱因斯坦方程组为：

当给定L的具体形式后我们可以采用一阶方法来构造解析解。

文献[79]对K-场的线性稳定性问题作了系统的研究，主要结论是：

1)K-场和正则标量场产生的厚膜具有相同形式的矢量和张量涨落方程。这是因为标量、矢量和张量涨落是相互独立演化的，而K-场只是在正则标量场的基础上修改了标量场部分，因此矢量和张量涨落方程并不会受到影响。

2)在取纵向规范，并且拉氏量满足如下条件时，我们得到了K-场厚膜的标量涨落方程，其形式与标准情况时的方程（即(99)式）类似：

其中，变量θ定义为

点号“ ˙”代表对坐标 r∗求导数，而 r∗的定义为：

显然当LX=1,LXX=0时，θ=a5/2φ′/a′,r∗= r。因此，当条件(195)成立时，K-场厚膜解在标量涨落下是稳定的。所以(195)式是一个K-膜解稳定的充分条件。

3)对任意的K-场模型，标量涨落的零模都不能被局域在膜上，因此不会产生由标量零模所传播的第五种力。

下面介绍一类常见的K-场厚膜模型：

以此为出发点，可由爱因斯坦方程导出

不难看出∂yφ与Wφ之间并没有很简单的关系，因此一般得不到φ(y)的解析表达式。所以Bazeia等人考虑了0＜α≪1的情况，通过取W=3asin(bφ)得到了如下近似的解析解：

通过分析文献[80]我们注意到，要求A的一阶方程与标准厚膜情况一致并不是必须的。因此，我们尝试了保持φ的一阶方程不变，即

并由此导出了下面的一阶方程组[81]：

文献[81]还进一步分析了该模型物质场的局域化性质，发现当α较小时，零质量的左手费米子和零质量引力子都可以局域化在膜上。

2)幽灵场(phantom)模型

文献[82]考虑了以宇宙学中用来解释暗能量的幽灵场作为“材料”构建膜世界。系统的作用量为

其中标量场动能项与正常情况相差一个负号，称为幽灵场（phantom）。由度规假设(83)，对该作用量变分可得运动方程

其解为

3)快子场 (tachyon)模型

快子(tachyon)是玻色弦理论中存在的一种超光速粒子。快子场厚膜的相关工作有[83,84]。在[84]中作者研究了快子场构建的厚膜模型，相应的作用量为

其中V(T)为快子场势函数。此时假设膜上为dS时空，则度规可写为：

其中膜上共形时间 τ与坐标时 t的关系由坐标变换 dτ=a-1(t)dt联系，a(t)=eHt，而 H为哈勃常数。运动方程为

而该模型的解为

而对于该模型，自旋为1/2的费米子可以局域化在膜上。

6注意：由于本文中取=1，因此得到的解与文献[81]略有不同。

B.扩展引力中的厚膜解

1.标量-张量引力

虽然爱因斯坦建立广义相对论时受到马赫原理的启发，但广义相对论并不遵从马赫原理。1961年，Brans和Dicke根据马赫原理提出了一个引力理论，称为 Brans-Dicke引力[85]。在该理论中存在一个与引力非最小耦合的标量场。在弦理论中也存在一个与引力非最小耦合的标量场-伸缩子场(dilaton)。Brans-Dicke引力是标量-张量引力的一种特殊情况。在厚膜世界理论中，很多文献也探讨了在标量-张量引力下的膜世界模型[86-88]。下面考虑一种简单的作用量

其中要求F(φ)是标量场φ的一个光滑正定的函数。而由度规假设(83)，可得运动方程为：

文献[89]中对于F(φ)=1-αφ2的形式给出了一个解析解：

在文献[88]中，作者对F(φ)更多的形式给出了解析解，证明了这些模型在张量涨落和标量涨落下的稳定性，并指出零质量引力子可以局域化在膜上。

2.f(R)引力

f(R)引力是一种常见的高阶引力理论，它假设引力的拉格朗日量正比于标曲率 R的一个任意函数 f(R)。f(R)理论最早是在宇宙学的研究中引入的[90-92]，目前也主要应用于宇宙学中[93-97]。膜世界提出后，人们开始在f(R)理论中研究薄膜[98-103]以及厚膜[104-112]的相关问题。文献 [104-112]中的f(R)厚膜都是由背景标量场产生的。这一类f(R)厚膜模型的张量涨落满足比较简单的方程，具体讨论见文献 [113]，而标量涨落方程比较复杂，目前仅文献[114]讨论过含背景标量场的f(R)厚膜的标量涨落问题。

一种比较简单的情况是不含标量场的纯度规f(R)理论，这类理论与最小耦合的爱因斯坦-标量理论是等价的。这种等价性使得我们能够直接在纯度规f(R)理论中找到厚膜解而不需要再引入背景标量场。更重要的是，在爱因斯坦框架下，我们可以很容易地分析厚膜解的稳定性。目前在纯f(R)引力中研究厚膜解的工作有[115,116,65]。在文献[115]中，作者得到了几个f(R)厚膜的数值解。而解析的厚膜解第一次出现于文献[116]中。随后在[65]中我们给出了一种寻找解析解的简单方法，并系统地讨论了静态厚膜解的线性稳定问题。

下面先介绍[65]中给出的两个f(R)厚膜的解析解。纯引力f(R)平直厚膜的作用量为

度规仍为

此时，独立的运动方程只有一个：

其中fR≡。如果先给定一个简单的A(y)的表达式，则可通过运动方程解出fR(y)，再利用R=R(y)就能得到f(R)的最终表达式（见文献[113]）。利用这个方法容易得到两个比较简单的解析解[113]：

•f(R)为双曲函数

•f(R)为多项式

注意到文献[116]也讨论了f(R)为双曲函数的情况，同时分析了解在张量涨落下的稳定性，但没有讨论标量和矢量涨落。主要是由于f(R)引力是一个高阶引力理论，因此直接导出标量涨落方程比较困难。文献[113]利用共形变换的方法分析了纯f(R)引力厚膜的标量、矢量和张量涨落问题。这一方法的基本原理是可通过共形变换将纯f(R)引力等价地改写为一个最小耦合的爱因斯坦-标量理论，而后者的线性涨落问题比较容易处理。最终的结论是：这两个纯引力f(R)厚膜解 (219)～(222)在三种线性涨落下都是稳定的，并且相应的引力零模都能被局域在厚膜上7事实上，任何满足fR(y)＞0的解都是线性稳定的。，而有质量的KK引力子产生的牛顿势修正与距离的立方成反比，因此在大尺度上能够得到四维牛顿引力（具体内容可参考[117,65]）。

由于厚膜模型中费米场的局域化一般需要有背景标量场，而纯度规f(R)厚膜模型中没有背景标量场>8前面提到过，即使没有背景标量场，也可以构造费米子与时空曲率的耦合来实现费米子的局域化[66]。。因此要研究f(R)厚膜中费米场的局域化通常还需要考虑含标量场的f(R)厚膜，即考虑作用量

其中φ为背景标量场，V(φ)为相互作用势。文献[122]研究了非正则标量场产生的f(R)厚膜。这里我们仅考虑正则标量场情况，度规仍取为(217)。此时对于静态厚膜解，独立的运动方程为

由于系统有四个未知变量f(R),A,φ,V，而只有两个独立的运动方程，我们可以选定其中两个变量求出另外两个。

文献[105]在f(R)=R+αR2的情况下得到了一个简单厚膜解。在此情况下，如果将势函数取为

则可得到解

其中

文献[105]还研究了引力零模和费米场在厚膜上的局域化问题，结论是：张量涨落的额外维部分仍满足一个类Schrödinger方程

相应的有效势函数UT(r)为

3.f(T)引力

f(T)引力是平行引力 (teleparallel gravity)的推广，为此我们先简单介绍平行引力的基本知识[118,119]。在时空流形的任意一点xM的切空间总可以用正交标架eA(xM)为基矢展开，大写字母A,B,C,···= 0,1,2,3,5为切空间指标。显然，标架eA(xM)是切空间中的矢量，它在坐标空间中的分量为eAM。

时空度规可以用标架表示为

其中ηAB=diag(-1,1,1,1,1)是切空间中的闵氏度规。由方程(228)可得

在平行引力中不再使用常见的 Levi-Civita联络Γρµν，而是用Weitzenbck联络：

利用Weitzenböck联络可定义挠率（torsion）张量：

两种联络之差定义为

则可将平行引力的作用量写为

其中e=det(eAM)=M∗是五维时空中的基本能标，这里取M∗=1。研究发现平行引力与广义相对论的作用量之间只相差一个边界项。在这个意义下，平行引力与广义相对论是等价的。因此，要研究挠率对标准厚膜解的影响就需要对平行引力进行推广，例如考虑如下作用量

这里f(T)是挠率标量T的一个光滑函数，LM代表物质场的拉氏密度。这种理论称为f(T)引力，最早是由Bengochea和Ferraro提出并用来解释宇宙的加速膨胀[120]。

对标架场变分可得运动方程：

文献[121,122]研究了f(T)=T+αTn情况下的厚膜模型，并得到了两个解析的厚膜解：

1)n=0或者n=1/2时场方程退化为与广义相对论相同的形式，因此可以得到广义相对论下的厚膜解：

这里u=1-72αb2k2；参数b,k＞0；F(y;q),E(y;q)分别是第一类和第二类椭圆积分。对第二个解，为了使标量场φ为实的，要求α≤1/(72k2b2)。

当 y→ ±∞ 时 A(y)→ -bk|y|，所以时空是渐近AdS的。相应的宇宙学常数为

上面两个解所对应的能量密度分别为

研究发现[122]，当1+2b+72α＜0时膜开始发生劈裂，并且劈裂的程度随着|1+2b+72α|的增加而增加。

文献[121]对自旋为1/2的费米子局域化问题也进行了分析，发现膜上只存在一个无质量的左手费米子束缚态，而增加挠率效应的强度后，势阱的深度也将逐渐增加，相应的左手KK费米子共振态数目也逐渐增多。

文献[122]研究了f(T)厚膜解的张量涨落问题。首先考虑标架的涨落

利用正交关系(229)并保留至线性项，可得标架的逆为

利用(228)式得

张量涨落满足横向-无迹条件：

对标架场，上式等价于

利用上面的关系最终可导出共形平直坐标系 dr= e-Ady中张量涨落方程为[122]：

这里

对张量涨落进行如下KK分解

易知ϵµν(xρ)和ψ(r)分别满足

其中m是KK引力子的质量，有效势U定义为

Schrödinger方程(250)也可写为如下形式：

这意味着m2≥0，所以任意f(T)理论中的解析厚膜解在横向无迹的张量涨落下都是稳定的。引力零模具体有如下解析形式：

其中N0是归一化系数。文献[122]证明了n=2时无质量引力子可以局域化在膜上。

4.EiBI引力

广义相对论是一个纯度规理论，也就是说 Einstein-Hilbert作用量只是度规的泛函。而 1924年，Eddington提出了一个基于纯联络的引力理论，该理论等价于含有宇宙学常数的广义相对论[123,124]。但是该理论由于没有考虑物质场，因此不是一个完整的理论。2010年，Ban˜ados和Ferreira受Eddington引力的启发，提出了一种Palatini理论，称为Eddingtoninspired Born-Infeld（EiBI）引力理论。在该理论中，度规和联络都是独立的场（Palatini体系），而物质场也被包含在该引力中，与引力场以最小形式进行耦合[125]。该引力理论因为能够克服均匀各向同性宇宙早期的奇点问题而受到众多关注。在文献 [126,127]中，作者在EiBI引力下研究了膜世界模型的性质。

EiBI引力的作用量为：

其中κ=8πG5，b是一个量纲为宇宙学常数倒数的常数，RMN(Γ)代表由联络Γ构造的Ricci张量的对称部分，而SM(g,Φ)为只与度规耦合的物质场作用量。λ为非零的无量纲参数。

引入一个辅助度规qMN后，作用量(254)对度规场g和联络场Γ的变分给出运动方程：当bRMN很大时，EiBI作用量(254)趋近于Eddington作用量；而反之，当bRMN很小时，EiBI作用量可以退回到宇宙学常数为 Λeff的 Einstein-Hilbert作用量。特别地，在无物质场时，真空中EiBI作用量等价于一个宇宙学常数为ΛG=(n/2-1)(λ-1)/b 的Einstein-Hilbert作用量。但当背景时空中存在一个标量场时，EiBI理论将偏离爱因斯坦的广义相对论。这里考虑物质场为正则标量场。

引入膜世界度规假设(83)后，相应的辅助度规的形式为qMN=diag(-u,u,u,u,v)，其中u和v是额外维y的函数。则运动方程化为

由于这三个方程并不是完全独立的，故引进一个简单的限制条件∂yφ(y)=Ka2(y)（K为常数）后，可以得到

其中，

该解为一个扭结(kink)解，相应的构型为一个单膜结构。

而[127]中还考虑了另一个限制条件

并对运动方程进行了数值求解，发现当K2≫1时，该解为一个单膜解，而K2→1时，该解则变为双膜解，膜具有内部结构。

文献[126,127]中对该模型的线性张量涨落也进行了分析，指出上述模型在张量涨落下是稳定的，而无质量引力子可以局域化在膜上。特别地，膜上的低能有效四维引力是爱因斯坦引力。

C.多标量场厚膜模型

上面的模型中，厚膜由一个标量场产生。事实上，厚膜也可以通过多个标量场作为“材料”所产生。在[42,128,129,130]中，作者考虑了在五维时空中引入两个标量场产生厚膜的情况。该模型作用量为

而假设线元的形式为

由该度规假设可得相应的运动方程为：

引入超势W(φ)后可将运动方程化为一阶形式

其中b为一个正的常数。

对于一个特殊的超势[42,128]

经过简单计算即可得相应的解为：

对于该模型，文献[130]指出：对于自旋为1/2的费米子，通过引入其与背景标量场的耦合η¯ΨeλπφΨ，在参数b/=1时，零质量左手费米子可以被局域化在膜上；而对于自旋为1的矢量粒子，引入耦合eτπFMNFMN后，参数τ和b在一定的取值范围内，零质量的矢量粒子可以被局域化在膜上。

在文献[131]中，作者研究了六维时空中两个标量场产生的厚膜解。更一般地，文献[132]讨论了p+n维时空中，n个背景标量场产生的(p-1)-膜的情况。此外，文献[133]还研究了由多个非正则标量场产生的平直厚膜。

D.弯曲厚膜

前面介绍的厚膜几乎都假定在四维膜上时空是平直的，在RS模型提出后不久，DeWolfe等人[17]就考虑了膜上具有dS几何与AdS几何这两种简单的非平直情况，相应的四维度规分别为：

常数H与四维宇宙学常数Λ4满足关系Λ4=±3H2，其中“+”号和“-”分别对应dS和AdS情况。我们称膜上具有dS几何的膜为 dS膜，类似地可以定义AdS膜。dS膜和AdS膜统称为弯曲膜，平直膜对应于H=0的情况。

考虑到弯曲膜的情况，我们将厚膜的度规统一写为如下形式：

对弯曲膜的研究目前主要集中于标准的标量-爱因斯坦引力这种简单情况：

Kobayashi等人首先研究了这类弯曲厚膜的解以及解的线性涨落问题[134]，不过他们的解在一般情况下需要借助数值方法来研究。比较好的解析解是王安忠首先给出的：对dS膜情况，解为[135]：

AdS厚膜模型的解为[135]：

其中0≡参数δ满足δ＞1或者δ＜0。这个解描述了一个分布于r=0附近的AdS厚膜，且额外维是有限的-rm≤r≤+rm，其中 rm=

可以看出，王安忠的解在H→0极限下并不能得到平直的厚膜解。为了得到存在平直膜极限的弯曲厚膜解，Bazeia小组提出了通过引入超势W(φ)来寻找解析的弯曲膜解的方法[136]。他们得到的dS厚膜解为：

s和 a是实参数。将 dS厚膜解中的参数 H2替换为-H2可以得到AdS厚膜解；而取H→0则得到平直厚膜解。因此，文献[136]将平直膜和弯曲膜的解统一起来了。

在得到弯曲厚膜的解析解之后，仍然要讨论解在线性涨落下的稳定性问题，以及各种物质场的局域化。标量-爱因斯坦理论下，弯曲厚膜的线性涨落问题已经有文献进行了系统的研究，具体请看[134]。另外，各种场在弯曲膜上的局域化可参考文献[137]。

也有一些工作研究诸如非正则标量场产生的弯曲厚膜[138]，Weyl几何下的弯曲膜[139]等。但对于超出爱因斯坦引力和正则标量场的弯曲厚膜模型，不论是寻找解析解还是分析线性涨落都将变得更为困难。文献[140]给出了临界引力（一种高阶引力理论）中平直膜、dS膜和AdS膜的薄膜和厚膜解。

E.厚膜的劈裂

大多数厚膜模型都是RS-2模型的推广。在此情况下，厚膜的能量密度只有一个峰值。但是，在有的厚膜模型中，能量密度峰的个数会随着参数的变化而增加，这种现象被称为膜的劈裂，或者说膜具有了内部结构。在有的模型中，随着膜的劈裂标量场将由原来的单扭结变成一个双扭结；而在另外一些模型中即使标量场仍保持单扭结的构型，能量密度也会随着参数的改变而发生劈裂。伴随着厚膜的劈裂，可能会出现各种场在膜上的准局域化形成有限寿命的共振态。造成厚膜劈裂的原因有很多，常见的有以下几类：

1)标量场自耦合。Bazeia等人发现[141]在标准的标量-爱因斯坦理论下的厚膜模型中，如果取如下超势：

其中p=1,3,5,···，则背景标量场的解为

当 p=1时，背景标量场的解是一个单扭结，而当p=3,5,···时，背景标量场将变为双扭结。一些文献研究了各种场的局域化性质将随参数p的变化而变化，具体可参看[50,142,143,144]。

2)多个背景标量场的耦合。最典型的多场厚膜模型是布洛赫膜（Bloch brane）[129]，作用量为

这里 φ=φ(y),χ=χ(y)是两个静态标量场。文献[145]系统地研究了对称和不对称布洛赫厚膜解情况下费米场和引力场的局域化和共振态问题，除此以外，文献 [38,48,146,147,148,149,150]也深入研究了双场厚膜中的膜劈裂现象。在双场厚膜模型中，膜的劈裂一般不需要标量场具有双扭结结构。

3)标量场与其微分项的耦合。在标量场与其微分项有耦合的模型中，也可能出现厚膜的劈裂现象。例如，文献[151]研究了耦合项为(1+βφ2n)(∂φ)2的厚膜模型，发现当β和n增大时，厚膜的能量密度会发生劈裂。文献[151]还进一步讨论了引力场、dilaton场和费米场的局域与准局域问题。

4)标量场与标曲率的耦合。在非最小耦合的标量-爱因斯坦理论或更广泛的标量-张量理论中厚膜也可能会出现劈裂[87]。

5)挠率导致的劈裂。前面关于f(T)理论的讨论中已经提到过，挠率也能导致膜的劈裂[121,152]。

6)高阶曲率项。在含有高阶曲率项的厚膜模型中也可以出现膜劈裂的现象，如 f(R)引力[108]、临界引力[140]等。

7)有限温度效应。在厚膜中考虑有限温度效应后，厚膜也可能发生劈裂[61,153,154]。

VI.总结与展望

额外维的概念从提出到现在已经历将近百年的历史，不论在理论上还是实验上，物理学家都已对额外维开展了深入而细致的研究。近几年的《粒子物理学数据》中还收录了额外维研究的最新进展，这表明额外维的研究已经从早期的纯理论探索发展到现在的实验探测阶段。尽管目前仍没有直接的证据表明存在额外的空间维度，但额外维的思想有助于我们了解新的物理现象。本文侧重于介绍额外维理论研究中的一个分支，即厚膜理论的相关问题。

近年来随着宇宙学理论的发展，各种新型的引力理论和非正则标量场被相继提出。在这些新理论中寻找解析厚膜解，将对理解这些新理论有所帮助，同时也将加深我们对厚膜的理解。本文介绍了一些常见的厚膜模型，包括由一个（或多个）正则（或非正则）标量场产生的平直厚膜以及标量-张量引力、f(R)引力、f(T)引力和EiBI引力中的平直厚膜解，另外还介绍了广义相对论中由单标量场产生的弯曲膜（即dS膜和AdS膜）。此外，我们还简单介绍了各种厚膜模型的背景解、厚膜在线性涨落下的稳定性以及各种物质场在膜上的局域化机制。

目前国际上对厚膜的研究已经取得了大量的研究成果。在解析解方面除了成功找到了本文中提到的f(R)引力、f(T)引力和EiBI引力中的厚膜解和正则或非正则标量场产生的平直（或弯曲）厚膜解之外，还得到了包括 Gauss-Bonnet引力[155]、临界引力 [156,157,140]、Weyl（外尔）几何 [37,158,139]等扩展引力理论下的平直或弯曲厚膜解。这些厚膜解中的大多数都具有比较简单的张量涨落方程，因此引力的局域化问题基本上都被比较完整地讨论过。

物质场在厚膜上的局域化一般只与厚膜解（一般是卷曲因子和背景标量场）的具体形式有关。例如，标量场的局域化在数学上等同于引力场的局域化（当引力作用量为爱因斯坦-希尔伯特作用量时），因此从卷曲因子的形式就可以判断标量场和引力场的零模是否能够被局域在膜上；而要判断自旋为1/2的费米场是否能局域化，一般既要知道卷曲因子也要知道背景标量场的形式，同时还要根据背景标量场的奇偶性选择费米场与标量场的耦合方式。而矢量场的局域化目前还没有公认的局域化方案，目前已知的矢量场能够局域化的模型主要包括一些六维厚膜模型[35]、额外维有限的dS厚膜模型[36]以及外尔几何下的厚膜模型[37]。另外也可以通过假设矢量场与曲率之间存在耦合来实现矢量场的局域化[40]。

因此，今后至少可以在以下几个方面对厚膜开展进一步的研究：

1)寻找新理论下的解析厚膜解。随着宇宙学和引力理论的发展，还会提出各种新型的引力理论和标量场论（例如近年来研究较多的 Horndeski理论[73,159]）。在这些新理论中找到形式简单的解析厚膜解，将对理解这些理论有所帮助。

2)厚膜解线性涨落的研究。目前大多数厚膜模型的张量涨落方程都可以化简成一个单变量的二阶类Schrödinger方程，且该方程的具体形式一般与背景标量场的拉氏量形式无关，这在很大程度上简化了讨论。但是要判定一个厚膜解是线性稳定的，除了要分析张量涨落，还要讨论矢量涨落和标量涨落。标量涨落问题是厚膜研究中的一大难点。因为标量涨落方程除了与引力理论有关，还与产生厚膜的标量场的个数以及拉氏量的形式密切相关。当背景标量场的个数增加时我们将得到多个标量涨落方程，此时需要构造矩阵方程来判断解的稳定性（可参考[114]）。对于高阶的临界引力[156]，厚膜模型的标量涨落是稳定的[157]，但由于张量涨落满足四阶微分方程，不能转化成一个二阶的类Schrödinger方程，因此目前还不清楚厚膜的张量涨落是否稳定。

3)物质场的局域化的研究。主要包括探索其它物质场（如 q-形式场[3453]、Elko场[70]）在厚膜上的局域化问题，以及阿贝尔或非阿贝尔规范场的局域化机制。

4)温度效应对厚膜的影响。厚膜是平直时空中的畴壁解在弯曲时空中的一个推广。通过有限温度场论的方法可以分析温度对畴壁性质的影响，因此也可以考虑温度对厚膜将产生什么影响。目前还没有利用弯曲时空中的有限温度场论直接分析厚膜温度效应的工作，不过有些工作通过假设背景标量场势函数中的某些项是温度的函数来初步分析在有限温度下厚膜性质的变化[61,153,154]。

5)厚膜在加速器中的新物理效应。在厚膜理论中，所有的场都为高维时空中的场，它们局域化在膜上的零模为四维时空中的粒子，而有质量的KK模式通常代表新粒子，这些新粒子通常是不能局域化在膜上的。零模与KK模式之间的相互作用将给出加速器中的新物理效应。目前相关的研究主要集中于薄膜模型或者没有考虑引力的普适额外维模型（Universal Extra Dimensions）[14]，厚膜方面的相关研究仍很少见，主要原因可能在于关于额外维的重叠积分带来了相当大的困难，例如文献[160]考虑了厚膜对库仑势的修正用到了重叠积分。

致谢

本文涉及的部分工作受到国家自然科学基金（项目号：11375075、11522541和11605127）、中央高校基本科研业务费（项目号：lzujbky-2016-k04）、教育部新世纪优秀人才支持计划和中国博士后基金（项目号：2016M592770）的资助。

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An introduction to extra dimensions and thick brane models

Liu Yu-Xiao1,Zhong Yuan2,Yang Ke3

1.Institute of Theoretical Physics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,People’s Republic of China 2.School of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,People’s Republic of China 3.School of Physical Science and Technology,Southwest University,Chongqing 400715,P.R.China

The concept of extra dimensions has been proposed for about one hundred years, but only until the last twenty years or so,our knowledge on extra dimensions began to change essentially.For instance,people start to notice that the size of extra dimensions can be as large as TeV-1scale or even infinitely large,without conflicting with nowadays experimental data. Some models on extra dimensions can offer completely new explanations to the hierarchy problem in particle physics and to the dark matter problem in cosmology.Besides,by regarding our four-dimensional world as a topological defect in higher-dimensional spaces,for example a fourdimensional domain wall in five-dimensional space-time,one would obtain various kinds of fourdimensional matter fields localized on the domain wall by using field theory methods.In order to localize the four-dimensional gravity on the wall,one usually needs to assume that the spacetime is curved in particular way.Such domain walls in curved space-time are called thick branes. The simplest analytic thick brane solution can be obtained in general relativity by introducing a minimally coupled background scalar field.With the development of cosmology,more and more extended gravity theories and non-minimally coupled scalar fields have been proposed and applied in many issues in high energy physics as well as in cosmology.Therefore,it is an interesting direction to study analytic thick brane solutions and the localization mechanism for different fields in various kinds of extended gravity theories and in non-minimally coupled scalar field theories. Nowadays,thick brane models have been extensively investigated both in China and abroad,and many results have been obtained.We are going to give a short introduction to the related results in this field.Firstly,we briefly introduce several typical models on extra dimensions,including the Kaluza-Klein theory,the large extra dimension model,the Randall-Sundrum model and the standard thick brane model,and analyze the linear perturbation as well as the localization of gravitational field.Then we discuss the localization mechanism of various matter fields in thick brane background.Finally,by using the non-canonical scalar field and several popular extensive gravitational theories,we introduce the development on the study of thick brane models.

Extra dimesions;Braneworld;Gravitational theory;Localization;Mass spectrum

O412

10.13725/j.cnki.pip.2017.02.001