基于对称群思想的新疆伊斯兰几何纹饰分析

刘 超

(石河子大学 师范学院，新疆 石河子 832000)

基于对称群思想的新疆伊斯兰几何纹饰分析

刘 超

(石河子大学 师范学院，新疆 石河子 832000)

伊斯兰文明关于几何纹饰与对称的创造性使用起始于10世纪，到14世纪时有了令世界瞩目的成就。伊斯兰教在10世纪(明代)传入新疆之后，几何纹饰也在本地区的清真寺、民居、传统工艺品等的装饰上得到传承和创新性的应用。二维连续的重复繁衍的新疆伊斯兰几何纹饰凸显了几何、图样与对称，阐释了无限性及无所不在的宗教教义。文章基于对称、对称变换和对称群的思想，分析了用于定义几何纹饰背后网状系统的五种形态的网格以及二维连续图案的十七种对称群类型，基于平移、旋转、镜射、滑动镜射等对称变换分析了伊斯兰几何纹饰的构图规律，并结合实物图片进行了例证。

新疆；伊斯兰教；几何纹饰；对称；对称变换；对称群

一、新疆伊斯兰几何纹饰特征及发展历程

所谓几何纹饰，就是运用点线面及其组合形成的具有审美价值的抽象图形。由点、线、面的组合所形成的几何纹饰体现了人们的审美观点,它使人在视觉和精神上都能感受到强烈的震撼和愉悦。苏联数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》中指出[1]“人类从自然界本身提出几何的形式……起初是把形式赋予原材料，而以后就意识到形式是属于原材料的，也是可以脱离原材料独立地加以考察的，人们意识到物体的形式，就能够改进自己的手工品，并且能够更明确地把形式概念本身分离出来。这样，实践活动成为了建立几何抽象概念的基础。”实际上，几何学的产生源于全世界范围内各个时期人们社会生产生活的实际需求。如信仰伊斯兰教的穆斯林们因为宗教信仰和审美的需要，在清真寺、民居等传统文化载体上装饰的到现在看来都是独一无二的特具伊斯兰特征的几何纹饰。几何纹饰应用的一个重要原则是遵循对称的性质和规律。德国数学家H.外尔(H.Weyl)指出[2]：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大。数学则是它的根本。”他还指出[2]：“装饰品的几何学艺术的最杰出的大师们曾经是阿拉伯人。”已有研究表明，伊斯兰数学曾对数学发展作出过重要贡献。哈佛大学的研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖的“girih”设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念。虽然所有人类文化从很早就开始探究图样与对称，却只有伊斯兰文明在大约10世纪时有了真正壮观的成就，并于14世纪中叶达到全盛[3]。实际上，伊斯兰文化钟爱几何纹饰并发展到相当的高度是由其宗教信仰决定的。根据伊斯兰教“信主独一”的教义，穆斯林教徒们只信仰真主安拉，认为真主安拉无始无终，无所在无所不在，故伊斯兰教建筑及装饰艺术不设任何偶像，以单一抽象取代神的拟人化形象，于是伊斯兰艺术“拥抱”几何[4]。伴随着世居新疆的维吾尔、哈萨克等民族所信仰的伊斯兰教于10世纪(明代)传入新疆，也自然将阿拉伯世界的几何纹饰艺术同时传来，并结合本地区的文化特征进行创新。现今新疆地区清真寺外墙及内殿砖饰中包含的大量以四边形(方形、菱形以及不规则的四边形)、多边形(如细长六边形)、星形(四角星、六角星、八角星等)以及圆形(相切圆、相交圆等)等为基础图案进行二维连续延展的复杂程度极高、精彩纷呈的几何纹饰就是例证。

在传承与创新的基础上，新疆伊斯兰几何纹饰集中凸显了几何、图样与对称，这些构成伊斯兰文化艺术可见主体的重复性几何图样与对称，是人脑所能想象的两种最深奥与广泛的概念，这些图样的形式，至少在二维空间里，穷尽了平面对称的所有可能性[4]。新疆伊斯兰文化艺术就是利用几何图形的对称性质将平面或空间分割成和谐、对称的部分，以产生交织的精巧图案，通过对称结构的不断重复，最终阐释无限性及无所不在的核心思想。在伊斯兰艺术家的眼中，几何的支配性是至高无上的，宇宙的和谐只有透过最纯粹完美的几何形式才能体验。他们懂得如何利用几何中的“点、线、面、体”等来完美地呈现伊斯兰母题，并努力让这超然的关联性在他们作品中璀璨生辉[4]。这些极具伊斯兰特色的几何纹饰常常是以石膏雕花、木雕、砖饰等形式装饰在清真寺外墙、内殿墙壁、镂空花窗以及民居和民族传统工艺品上(如地毯、服饰、器物等)，它们不仅美观，而且在数学上极为准确，更为关键的是它们深刻地反映了伊斯兰教教义，使人一眼就能辨析出它的伊斯兰教属性。

二、新疆伊斯兰几何纹饰的对称群

对称是一种非常普遍的自然现象，因而它在自然科学的众多学科中有着广泛的研究与应用。同样地，在数量关系、空间形式中对称的现象也大量存在。对称的和谐形态总给人以强烈的美感和震撼力，因此，被大量地应用于建筑、造型、艺术、绘画和工艺美术中[5]。在新疆伊斯兰教文化艺术中，关于对称的应用也是达到了相当的高度和水平。以下图1到图6是笔者在新疆喀什高台民居和麦盖提县调研期间所拍摄的有关伊斯兰教文化艺术的图片。

图1 麦盖提清真寺 图2 喀什米合拉甫型镂窗

图3 麦盖提县墙壁砖饰 图4 麦盖提彩绘图案

图5 麦盖提街拍花帽 图6 麦盖提民居铁门

如上呈现的新疆伊斯兰文化载体所蕴含的几何纹饰都是高度对称化的二维连续图案，大都经由一个小的平面图形经过镜射、旋转、平移与滑动镜射等四种变换，不断重复繁衍，从而填满整个装饰面。新疆伊斯兰几何纹饰涉及的对称变换包括平移、旋转、镜射(镜面对称)、滑动镜射等。下面结合一般对称群的定义，分析平面图形对称群的概念。以正方形为例，正方形中只包括以上四种对称变换中的两种，即旋转和镜射。分别用R1、R2、R3来表示第一重(90度)、第二重(180度)、第三重(270度)的旋转，特别地，第四重旋转相当于不做任何变换，相当于群论中的单位变换，将它记做I。分别以M1、M2、M3、M4来表示以m1、m2、m3、m4为对称轴进行的镜射变换(如图7)。由此，正方形的所有对称变换组成的集合如下：D4={I,R1,R2,R3,M1,M2,M3,M4}。这八个对称变换都保持正方形的中心不动，而把它的顶点仍然映成顶点。

图7

再看对称变换的合成运算。以Dn来表示某平面图形(正n边形)具有的全部四种对称变换的集合，将关于该平面图形的两个对称变换的合成(先做一个对称变换，再做另一个对称变换)定义为Dn上的一种“乘积”运算“·”(对称变换的合成运算从右往左)。仍以正方形为例，如上所讨论的正方形对称变换的集合D4的两个对称变换R1和M1的合成表示先绕O点逆时针旋转90°，再以M1为轴作镜射，可以验证，M1·R1=M4。也即，M1·R1仍然是正方形的一个对称变换，并且仍然在D4中。由此，可逐一验证正方形的任意两个对称变换的合成仍然是正方形的对称变换，也在D4中。

因此，对于一个平面图形(正边形)的所有对称变换组成的集合Dn以及对称变换的合成运算“·”，可以验证它们满足以下几个条件：

(1)Dn中存在单位变换I，对任意m∈Dn，有I·m=m·I=·m；

(2)对任意m1,m2∈Dn，有m1·m2∈Dn;

(3)对任意m1,m2,m3∈Dn,m3·(m1·m2)=(m3·m1)·m2；

(4)对任意m∈Dn，存在变换m-1∈Dn，使得m·m-1=I=m-1·m。

参照一般对称群的定义，一个平面图形的所有对称变换的集合Dn及其合成运算“·”构成该平面图形的对称群(也称作平面费德洛夫群)，记作(Dn,·)。研究表明，二维连续伊斯兰几何纹饰的对称群共有十七种[6](如图8所示)。在数学上可以用群论的方法证明在无限的平面图形的对称群中不会再有其他的类型。例如，正方形有且只有编号为“10”“11”“12”所列的三种对称群类型，涉及镜射和四重旋转变换。

图8 二维连续平面图形的十七种对称群

三、基于对称群思想的新疆伊斯兰几何纹饰构图规律分析

(一)十七种伊斯兰几何纹饰的分类

研究表明，每个伊斯兰图样(特指二维连续纹饰)之中必然包含着两个方向的平移对称(如图9中矩形格内图案的左右和上下方向的平移)，否则它无法铺满整个平面。一旦有沿两个方向的平移，就必然会产生一个网状系统[6]。也即，一个二维的周期或连续图样，产生于特定图案被复制到两组平行线所生成的网状系统节点上，如图10所示。

这些平行线相交使得整个平面被小平行四边形所覆盖，我们把每一个这种小平行四边形称为“单位格”，而整个二维连续纹饰都可以从这个单位格中的图形经过平移、旋转等对称变换得来。这样，就相当于将整个伊斯兰图样切割成一个个小的基础单位，这对于研究其构图规律或者复原纹饰就显得较为容易和便利了。具体地，两组用于定义图样背后网状系统的平行线可以产生以下五种形态的网格(每一种网格都有三个参数变量，矢量长度，以及二者之间的夹角)，每种单位格形态都有其独特的特征。[6]

图10 两个方向的平移对称示意图

图11

如图11所示，构成新疆伊斯兰几何纹饰的五种基本网格分别为邻边不等的斜平行四边形网格、矩形网格、正方形网格、不含60度角的菱形网格、含60度角的菱形网格。基于五种基本网格形态，所有伊斯兰几何纹饰就可以相对应地分为五大类。换言之，所有伊斯兰几何纹饰的造型都是围绕五种基本网格以及其包含的一共十七种对称群的对称变换组合进行创造的。从对称群的角度来看，分析一个伊斯兰几何纹饰构图过程的基本步骤可概括为：观察几何纹饰，找出单位格(必然是上述五种基本网格的一种)；根据该单位格的对称群属性，找出其所有的镜射轴和旋转中心；在此基础上，找出构成该单位格的最小构图单元并画出该纹饰包含在该最小构图单元中的图案(必定是有交点的几条短直线)，然后经过镜射和旋转变换得到一个单位格中的几何纹饰图案，再通过二方平移，得到铺满整个装饰面的几何纹饰。也即，从对称群的视角分析伊斯兰几何纹饰就要从寻找单位格开始。

(二)基于对称群思想的伊斯兰几何纹饰构图分析

以一幅正方形网格的纹饰为例进行分析。

第一步，观察图12(新疆清真寺镂空窗户)所属的网状系统，切割出正方形网格。

图12(图片出自：莫合德尔·亚森《新疆伊斯兰教建筑装饰》)

第二步，以这样的一个单位格为研究对象，标出它的镜射轴和旋转中心。图13中虚线是镜射轴，红色点为旋转中心，在这个单位格里包含了十二个旋转中心。

图13 图14 图15

第三步，将一个单位格继续细分，分出多个全等小直角三角形。如图14所示，整个单位格由这样的8个小三角形构成。确定了其中一个，其他的小三角形都可经由镜射或旋转得来。将原几何纹饰在这一小三角形内的部分(图14左上)构造出来。

第四步，以这个小三角形中的图案为基础，根据已经标识出来的镜射轴和旋转中心，依次进行单位格内部的镜射变换和单位格之间的镜射变换(图14)。

第五步，以这个格子里的图形为基础，分别沿着网格的两个方向平移，铺满整个平面，整个纹饰就构造出来了(如图15所示)。

其它四种网格系统的纹饰可用同样的方法来进行操作。如图16所示为一含60度角的菱形网格结构，基于对称群思想，该镂窗图案的构图过程如图17所示。

图17

实际上，对于五种伊斯兰几何纹饰五种基本网格及对称变换的使用也不只限于伊斯兰几何纹饰方面，在绘画艺术上也有着广泛的应用。例如，将对称思想和对称变换应用到极致的当属荷兰画家埃舍尔所创作的系列艺术图案。埃舍尔创造性地在每个基本图案的内部添加动物、鸟和其他的形状，并进行动态化的设计，然后通过三重旋转、四重旋转甚至六重旋转等得到二维连续的效果惊人又美丽的镶嵌图形，他的这些创作极大拓展了连续图案的艺术表现力。相比伊斯兰几何纹饰，应该说是各具特色，一个显得庄重宏伟；一个是栩栩如生、活灵活现。如图18所示埃舍尔创作的蜥蜴系列艺术图案，图18中左图为基于正六边形三重旋转变换的蜥蜴图。在一个正六边形内，以加注阴影的部分为起始，依次逆时针旋转120度，240度，便可得到一个正六边形内的蜥蜴图案，在其他正六边形内，根据原创图案，进行如上的重复性操作，便得到了整副图案。图18中右图为基于正方形四重旋转变换的蜥蜴图，构图原理与左图是一致的。

图18(图片出处：沈源《二维连续图案的对称性及其变换的初探》)

通过分析埃舍尔蜥蜴系列艺术的构图可以发现，除了基本图案所满足的对称变换之外，埃舍尔从艺术的角度在每个小的图案单元里增加了象形的部分蜥蜴的头、脚、尾巴等图案，使得在经由对称变换之后，在二维连续的平面上，形成了由蜥蜴构成的栩栩如生的铺满整个平面的镶嵌艺术图案。像埃舍尔画作中出现的艺术图案，在新疆伊斯兰教文化艺术中并没有出现。这也反映了基于对称思想的几何纹饰应用的特征：即使应用的对称变换类型相同，在同一几何纹饰框架中，如果使用不同的素材，也能创作出各具特色的连续图案。同样地，即使使用同一种素材，只要应用的对称类型不同，也能创作出不同的连续图案。

图19

除了如上述的构成伊斯兰几何纹饰的五种基本图案依据对称思想和对称变换所得到的装饰图案之外，关于五种基本图案还有着更为广泛的应用。具体地，首先，严格遵循对称思想、对称变换的性质，将五种基本图案继续“等分”，直至等分得到的基本图形完全没有对称性。例如，基本图案中的正六边形依次经过二等分、三等分、六等分、十二等分、十八等分就可得到梯形、五边形(有一条边极短)、菱形、等边三角形、直角三角形、顶角为120度的等腰三角形。由此，五种基本图案的等分可得到如图19所示的各种不再具有对称性质的图案(主要是五边形、平行四边形、梯形和各类三角形)。在此基础上，根据艺术设计需要将新得到的构图单位根据“对边重合、旋转重合、中心旋转重合(在分成更小的单元的基础上进行)、滑动镜射重合”的要求进行“等分”分解[7]。例如，梯形的“旋转重合就是先依据对称的性质将正方形分割为两个大小相等的梯形，然后经由旋转变换使两个梯形的边(对边或每条边)重合。在此基础上，基于这些基本图形，根据艺术设计与创新需求进行造型设计(基于四种对称变换，网格可以设计成由曲线构成的自由形态)，并在满足“镶嵌”的前提下进行重复性排列，最终产生既遵循对称性质又极具艺术特色的令人震撼的创意性艺术图案，限于篇幅，不再赘述。

总之，基于十七种对称群类型构造的新疆伊斯兰几何纹饰较为集中地诠释了新疆民俗数学的形式和内容。新疆伊斯兰几何纹饰通过使用多种基本数学图形，基于对称群思想，通过遵循平移、旋转、镜射、滑动镜射等对称变换以绘制和创造出错综复杂、装饰性强、赏心悦目的装饰图案。新疆伊斯兰几何纹饰的作用在于呈现一种观察世界的方式并阐释隐藏其后的精妙实在，以支撑信徒的精神生活。以伊斯兰教世界观为基础的二维连续几何纹饰通过重建原始自然之美来寻求补偿文明进化中的精神损失，它寓意着在可见的物质世界之外无限的存在，象征了真主无限的、充塞寰宇的创造属性，激发着人们对永恒秩序的赞叹与沉思。这些极具伊斯兰特色的几何纹饰强化了宗教膜拜的氛围，是数学与宗教结合的成功范例。

[1] (俄)A.D.亚历山大洛夫著.数学——它的内容、方法和意义[M].孙小礼，等，译.北京:科学出版社，2012.

[2] (美)H.外尔.对称[M].冯承天,陆继宗,译.上海：上海科技教育出版社,2002.

[3] Peter J. Lu,Paul J. Steinhardt.Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture [J].Science,2007,315(23):1106-1110.

[4] (英)道尔德·萨顿.几何天才的杰作——伊斯兰图案设计[M].贺俊杰,铁红玲,译.长沙：湖南科学技术出版社，2013:50.

[5] 人民教育出版社课程教材研究所.高中数学选修(3-4)对称与群[M].北京:人民教育出版社,2012.

[6] (印)塞伊德·蒋·阿巴斯,阿默·夏克尔·萨尔曼.伊斯兰的几何艺术[M].廖纯中，译.台北:左岸出版社,2004.

[7] 沈源等.二维连续图案的对称性及其变换的初探[J].装饰,2010,204(4):118-119.

责任编辑：毕 曼

2016-05-26

国家社科基金西部项目“新疆民俗数学研究”(项目编号：13XMZ029)。

刘超(1982-)，山东胶州人，副教授，主要研究方向为民俗数学。

J522.8

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1004-941(2017)02-0127-05