高中平面向量的特点及解决平面向量的综合问题分析

程德明

【摘要】长时间以来国内外对数学教学的研究从未间断，将向量引入到中学数学教学中是一个非常重要的体现。向量及向量的算法在以前的高中数学课本中主要是在复数中教授，正余弦定律则是通过平面三角几何教授，平面两点之间的距离、平移等则是在综合几何中教授，而新教材则是将这些内容全部都融合在一起，使用向量的观点来解决问题，这样一来完全改变了以前教材的编制体系。基于此，本文主要对高中平面向量的特点及解决平面向量的综合问题进行了分析。

【关键词】高中数学 平面向量 问题分析

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）29-0177-01

使用向量的定义来处理数学问题，因为向量具有代数形式和几何形式的两种身份，这便是使得它成为了多项数学内容的连接中心。所有在高中数学教材中引进向量已经势在必行，而且向量的应用在很多方面都引起了数学专家的思考。改革后的数学课程以简洁为主，简化教学内容，提升数学教学效率，加强数学各部分之间的联系和知识的综合应用，将几何、代数等教学内容进行综合编制。将向量引入到高中数学教材中，增强了各部分内容之间的联系，使得高中的数学知识和大学的数学知识衔接更为紧密了。

1 平面向量的学习内容和特点

1.1 平面向量的定义

在二维平面内能同时体现方向和大小的量为平面向量，在物理学科中将这种量称之为矢量，将只有大小而没有方面的物理量称之为标量，也就是数量。平面向量的表示方式一般是在英文字母a，b，c上面添加一个箭头，这种表示方式不但可以表示向量有向线段的起点，还能表示有向线段的终点。由此可以引出一些新的概念，例如平行向量、有向线段、单位向量等名词。对于平面向量的学习应该从物理学的立场出发，通过物理学中的学习经验来形成一个物理问题情景。

1.2 平面向量的基本定律

规定 是同一平面内两条不共线的向量，那么这个平面内任意向量则为 ，而且只有一对有效实数 ，那么任意向量的计算公式则为 。我们将 称之为这个平面中所有向量的基底。

1.3 平面向量的特点

基础知识是向量的基本特点，同时它也是一种方法和工具相结合的数学知识。向量的运算体系非常具有优势，它所提供的坐标法、向量法等都成为了研究高中数学的主要手段。向量的运算体系解决了几何中长度、角度的计算，线段平行、垂直的证明，正余弦定律的导出。这些例子都充分体现了数学中数形结合的思想。

向量中“数”和“形”同时都有，是数学数形结合的媒介。在介绍向量概念的时候，教材中使用了几何图形，而在解答几何问题时，又使用了向量知识，这些都体现了数形结合的理论思想。

几何代数化、形式化除了可以使用函数，还可以通过向量的方式。向量是现在数学中重要的数学概念，同时它也是联系代数、三角、几何的工具。新高中数学教材引入向量，充分体现了新课程理念。它的引入将几何与代数的关系变得更加紧密了，维度之间的过渡显得十分顺畅。向量是一种数学知识，更是一种解决数学问题的方法。

向量的概念是从生活实践中引出来的，而且它也是解决工程技术和物理学等问题的主要工具。教材中十分看中理论与实际的结合，尤其是应用，比如物理学中通过位移、加速度、速度等概念引入了向量的概念，又从物体做功引入了向量数量积的概念。对于向量应用的例子生活中随处可以，例如速度的分解与合成、工程技术中的曲柄连杆结构问题等。课本每章都安排了实习作业，最引人注意的是，教材在向量这章结束的时候还安排了一个研究性作业——向量在物理学中应用，然后利用数学模型来解释生活中出现的与向量有关的物理问题。

2 解答平面向量的综合问题

在数学学习过程中，平面向量一般会和其他内容联系起来，这种问题在考试中经常会遇到。若是学生对平面向量概念的理解不透彻，或是没有搞明白与其联系的内容，在做题过程中很容易陷入困境。数学中平面向量一般与以下几个方面的内容综合使用。

2.1 平面向量与平面解析几何的综合

平面向量自身就具有数形结合的特点，所以将平面向量和解析几何联系起来也非常常见，学生也经常在考试过程中遇到此類综合性的题目。学生在遇到这类问题时，要使用数形结合的思想解题，这样的话在综合问题上才不会陷入困境，比如已知在平面直角坐标系上有两个点，计算这两个点之间的距离。解这个问题的关键在于求解一个平面内两个点对应平面向量的长度。又或者对一条线段进行分析，求解线段中按照比例分段点的坐标。根据平面向量的性质，求出线段与分段点之间的坐标，对这两个坐标进行计算即可。需要注意的是，在计算平面向量乘积的时候，必须要考虑到向量之间的夹角。在平面几何计算中，一般都是使用这个方法，解答相对应的问题。

2.2 平面向量和三角函数的综合

以直角三角形为基础形成的新函数是三角函数，其中主要包含余弦函数、正切函数、正弦函数等，三角函数一般用来计算平面向量的数量积问题。例如两个平面向量的乘积，是由两个向量的大小和它们之间角度的余弦值相乘而求得。在高中数学学习中，学生总是会遇到这个利用平面向量解决三角函数的题目。再例如使用平面向量的运算方式将平面向量问题转变为三角函数问题，以此来分析三角函数的特点和性质。有些数学题目，学校需要使用三角函数的概念来解决三角形问题，这时也可以利用平面向量的概念，对正余弦定律巧妙使用，对边角进行互换，解决与三角形面积、角度、长度的问题。解决平面向量和三角函数综合问题的关键是学生必须明确向量数量积和三角函数知识之间的联系。

2.3 平面向量和函数的综合

在函数学习中，学生经常会遇到函数图象平移题目，例如指数函数中线段的平移。学习平面向量其实就是在学习点平移的向量，所以在遇到这个函数图象平移问题时，可以将其看作是平面向量中的点进行平移。再例如已知X与Y之间的关系，求出函数中X或Y的最大值和最小值。解答这类问题可以将Z看作平面向量，然后对其计算，利用函数之间的联系简化运算式，最后分析题目中X和Y在什么情况下函数值最小或是最大，进而的出计算结果。学生在遇到平面向量和函数的综合性题目时，学生一定要学会在平面向量特点的基础上转化成为函数式。

3 结束语

总而言之，平面向量知识在学习过程中经常会与其他数学内容联系在一起，这是由于平面向量自身的特点。平面向量具有数形结合的特点，可以解决与解析几何相关的数学题目。

参考文献：

[1]胡小平，任全红.平面向量在高等数学领域中的应用初探[J].绵阳师范学院学报，2007，（02）：15-20

[2]傅拥军.渗透平面向量构建知识网络[J].金华职业技术学院学报，2005，（03）：50-53

[3]边雪娇.解决平面向量问题的六个基本策略[J].学周刊，2016，（07）：89-91