一种机械振动信号的结构化随机测量矩阵构造方法

郭俊锋， 施建旭， 魏兴春， 雷春丽

(兰州理工大学 机电工程学院， 兰州 730050)

一种机械振动信号的结构化随机测量矩阵构造方法

郭俊锋， 施建旭， 魏兴春， 雷春丽

(兰州理工大学 机电工程学院， 兰州 730050)

针对压缩采集在机械振动信号采集的过程中，现有随机测量矩阵不易硬件实现、确定性测量矩阵重构误差较大的问题。将高斯序列的优点和循环原理的优点相结合，提出一种高斯分布循环测量矩阵，其是一种结构化随机测量矩阵。高斯分布循环测量矩阵的第一行元素由服从高斯分布的序列生成，通过循环移位生成剩余的所有行向量；随机取出除第一行的其他所有行的部分元素，每个元素再乘不同的随机数或者同一个随机数，并放回原位置；基于高斯分布循环测量矩阵得到的机械振动信号压缩测量值采用正交匹配追踪算法对原始振动信号进行重构。高斯分布循环测量矩阵的所有元素的随机性可以满足测量矩阵对随机性的要求，循环原理的内在确定性又可满足测量矩阵硬件实现的要求。仿真表明：高斯分布循环测量矩阵的感知性能略优于与高斯矩阵的性能，整体上基本相当。

振动信号；压缩采集；高斯序列；循环原理；结构化随机测量矩阵

机械振动信号传递与承载着机械设备工作过程中所蕴含的大量信息，检测并提取振动过程中的有用信息，从而能够更加深入地了解机械设备工作过程中的内在机理和特征，为更好的开发利用机械设备提供理论和技术支撑。但是，随着实际工业生产要求的不断提高与机械工业的不断发展，机械装备愈趋大型化，成套化，由于机械系统在工作过程中会产生碰撞、速度突变、结构变形、摩擦变化等，且不同组成部件间相互交叉耦合，振动更为复杂，振动频率越来越高且呈现非线性、非平稳性。而且随着大型机械振动检测向综合、高速、连续和网络化趋势的发展[1]，基于香农-奈奎斯特的振动信号采样导致了海量的采样数据，这些数据的实时传输与同步存储已成为亟待解决的成本与工程技术瓶颈问题。压缩感知理论[2]采用非自适应线性投影技术来保证信号的原始结构，将其应用于振动信号采集，能够在保证不丢失信息的前提下以远低于奈奎斯特频率对振动信号进行采样。

测量矩阵在压缩采集机械振动信号中处于核心位置，它负责直接对机械振动信号的采集，对于振动信号的数据采集和信号重构起着决定性作用，测量矩阵的性能是保证压缩采集到的振动信号测量值包含原始振动信号全局信息的关键，矩阵的零空间特性[3](Null Space Property，NSP)，Spark理论[4-5]，约束等距性[6](Restricted Isometry Property，RIP)和不相干性[7]都是描述测量矩阵的重要准则，只要测量矩阵能够满足这些性质中的任意其中一个，就能保证以高概率重构原始振动信号。

基于这些准则，许多研究者从矩阵元素的随机性和确定性方面对测量矩阵进行构造，将测量矩阵分为随机性测量矩阵和确定性测量矩阵。随机性测量矩阵的元素都是独立地服从某一随机分布(Independent Identical Distribution，IID)，如高斯随机测量矩阵，相关研究表明[8-9]，随机性测量矩阵满足测量矩阵的基本准则，具有很高的重构精度，但是，随机性测量矩阵在实际测量应用中要占用大量存储空间，而且计算复杂度很高。相对于随机性测量矩阵，确定性测量矩阵，如循环测量矩阵[10]，是按照一定的规律生成，容易硬件实现，计算复杂度低，但是，其缺点是对振动信号测量数目和稀疏度的要求较高，而且重构精度较低。

融合随机性测量矩阵和确定性测量矩阵各自的优势，本文提出了一种高斯分布循环测量矩阵(Gaussian Distribution Circulant Measurement Matrix，GCMM)。该矩阵具有循环特性，易于硬件实现，克服了随机矩阵存储空间大的缺陷，大大降低了压缩采样和重构恢复的运算量，因而将其运用在机械振动信号的压缩采集中，具有更加实际应用价值。

1 高斯分布循环测量矩阵的构造思想及具体步骤

本文将高斯序列的优点和循环矩阵的优点相结合，提出高斯分布循环测量矩阵。首先，产生服从高斯分布的随机序列作为测量矩阵的第一行元素；然后，通过循环移位，并随机取出部分元素，再对取出的每个元素乘以不同的随机数或者乘以同一个随机数，放回原位置，作为测量矩阵的第二行；剩余行元素以此类推，按第二行元素生成。

假设构造的高斯分布循环测量矩阵为Φ，Φ∈RM×N(其中M为矩阵的行数，N为列数，且M≪N)

高斯分布循环测量矩阵Φ具体为

φi=[φi1,φi2,…φiN]

高斯分布循环测量矩阵构造的具体步骤为

步骤1 生成个服从高斯分布的随机数作为测量矩阵的第一行，即

φ1=[φ11,φ12,…,φ1N]～N(0,1)；

步骤2 将φ1通过循环移位生成φ2，即

φ2=[φ1N,φ11,…,φ1N-1]；

步骤3 在φ2=[φ1N,φ11,…,φ1N-1]向量中，随机取出n个元素(1≤n≤N)，记为[a1,a2,…an]；

步骤5 根据步骤2～步骤4的向量生成规律，重复步骤2～步骤4，得到M-1个行向量；

步骤6 将以上得到的M个行向量按生成的顺序组成矩阵Φ∈RM×N。

构造高斯分布循环测量矩阵的流程图如图1所示。上述的测量矩阵构造与经典的循环矩阵构造方式不同，没有生成一个方阵，再随机选取，而是直接生成了需要规模的测量矩阵。

2 高斯分布循环测量矩阵的RIPless理论分析

压缩采集振动信号的一个核心问题是如何构造测量矩阵，使得通过测量矩阵感知到的测量值保持重构和处理需要的原始振动信息，并且测量的次数应尽可能少。针对该问题，发展了一系列理论，具体的理论如下所述：D=ΦΨ记为感知矩阵，其中Φ为测量矩阵，Ψ为信号的稀疏变换矩阵，D必须满足零空间特性(NSP)，即D的零空间中不能包含稀疏度为2k的振动信号，才能重构稀疏度为k的两个不同的振动信号。但是，要验证一个矩阵是否满足NSP是一个NP(Non-deterministic Polynomial)难题，为了寻求更容易操作的条件。因此，产生了很多等价形式，其中最著名的理论之一是Spark理论，当且仅当Spark(D)>2k时，能从某一测量值中最多恢复一个与其对应的某一原始振动信号。然而，NSP和Spark都没有考虑测量值中含有噪声的情况，TAO等提出了约束等距特性(RIP)，得出的重要结论是：少量不相干的测量值之所以能够包含重构原始信号的信息，是因为测量矩阵φ满足一定阶数的约束等距性。要验证和设计出的矩阵D满足NSP、Spark和RIP其中的一个，都是一个NP难问题。

图1 高斯分布循环测量矩阵构造流程图Fig.1 Constructed flow chart of GCMM

2.1 不相干性(Incoherence Property)

记相干性参数为μ。

如果信号f在时域上是稀疏的，此时的不相干性描述的是测量矩阵Φ的行向量的元素满足

(1)

根据GCMM的构造过程，GCMM的所有元素的取值范围为[-1,1]，因此可选取为μ=1。

如果信号f在正交基Ψ上是稀疏的，此时的μ描述的是高斯分布循环测量矩阵Φ的行向量和信号f的稀疏变换矩阵Ψ列向量之间的不相干性。需考虑

(2)

式中：φi为高斯分布循环测量矩阵Φ的行向量；φt为稀疏变换矩阵Ψ的列向量。

任意一个循环矩阵C都可以表示为

(3)

式中：N为测量矩阵的列数；F为离散傅里叶变换矩阵(DFT矩阵)；F*为离散傅里叶变换矩阵的伴随矩阵;φ1是循环矩阵的第一行。高斯分布循环测量矩阵Φ是循环矩阵C根据上述第一部分构造得的。

由以上循环矩阵的表示方法，可以将内积<φi,φt>表示为

(4)

(5)

其中，Yw为

(6)

因为d中的元素都是相互独立的，所以Yw中的元素也都是相互独立且有界的，即

其中，aw为

根据Hoeffding不等式[14]，得到

(8)

其中，

(9)

由Parseval定理可知

(10)

(11)

(12)

式中，c为常数。

(13)

因此以1-δ的概率，高斯分布循环测量矩阵的行向量与系数变换正交基Ψ的列向量之间的不相干性满足如下关系

(14)

因此，选取μ=2c·lg(2N2/δ)

2.2 均向性或无向性(Isotropy Property)

机械振动信号f在正交基Ψ下具有稀疏表示时，要考虑测量矩阵Φ和稀疏变换矩阵Ψ的乘积矩阵ΦΨ的行向量的均向性。

如果信号f在时域上是稀疏的，只需要考虑由服从高斯分布的随机向量φ1生成的循环矩阵Φ的行向量的均向性。其中Φ的具体形式如下

即验证

(15)

测量矩阵Φ的M个行向量φk～IID(独立同分布)，则

(16)

即E(φφ*)=I。所以测量矩阵Φ中的元素分布满足均向性。实质上，均向性描述了服从高斯分布的元素具有单位方差且不相关。然而，如果信号f在正交基Ψ上是稀疏的，需要考虑矩阵ΦΨ的行向量的均向性。由于高斯分布循环测量矩阵Φ的行向量已经满足均向性，根据稀疏变换基Ψ的正交性，矩阵或向量在基本初等变换下的元素满足随机分布的不变性，矩阵ΦΨ的行向量也满足均向性。

以上给出了机械振动信号在正交变换基上是稀疏信号时，高斯分布循环测量矩阵的约束等距性的理论分析。

3 高斯分布循环测量矩阵的试验仿真及性能分析

试验对象为轴承型号6025-2RS，建立轴承外圈振动信号模型

(17)

以轴承型号6205-2RS为例，取其内径d1、外径d2、滚动体直径d3、接触角β和个数z分别为25 mm、52 mm、7.9 mm、 0.67 rad和9，转频fr=30 Hz，采样频率fs=1 024 Hz，则根据外圈故障频率的计算公式为

(18)

得到其外圈故障频率fo=104.03 HZ，设外圈发生故障时激发的载波频率fc=3 000 Hz。m=3，n=5，Ari(i=1,2,3)、Aoj(j=1,2,3,4,5)和AI分别为0.1、0.2、0.3、0.3、0.4、0.33、0.2、0.1、0.38，φri(i=1,2,3)、φoj(j=1,2,3,4,5)和φI分别为0、3、2.5、0、2、6、4、4.5、3.3，衰减系数α为800。

首先利用高斯随机测量矩阵对机械振动信号进行测量，取信号长度N=512，稀疏度K=134，压缩测量值数M=268，稀疏变换采用正交傅里叶基，恢复算法采用正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)。采用相对误差Rel-Err(Relative Error)作为恢复振动信号的评价指标，其中Rel-Err的定义为

(19)

(a)机械振动原信号

(b)机械振动恢复信号

(c)恢复误差图2 高斯分布循环矩阵测量的振动信号恢复结果Fig.2 The reconstruction result of GCMM for vibration signal

在同等仿真试验条件下，对高斯分布循环测量矩阵的测量性能进行试验。在高斯分布循环测量矩阵的构造过程中，除第1行外的，其它剩余的M-1行，每行随机分别取出128、171、256、341个元素等四种情况，即随机取出高斯分布循环测量矩阵每一行约1/4、1/3、1/2、2/3的元素，再乘以不同的随机数，最终得到所需的测量矩阵；再对每行随机分别取出128、171、256、341个元素，再乘以同一个随机数，最终得到所需的测量矩阵，试验结果如图3和图4所示，具体相对误差数值如表1所示。可以看出，随机取出的元素不论乘以不同的随机数还是乘以同一个随机数，都是取出的元素越多，得到的高斯分布循环矩阵的感知性能越好；相同试验条件下，随机取出的元素乘以不同的随机数得到的高斯分布循环矩阵的感知性能要比乘以同一个随机数得到的高斯分布循环矩阵的感知性能要好。

图3 随机取出的部分元素乘不同的随机数构造的高斯分布循环测量矩阵的重构相对误差随压缩测量数目的变化Fig.3 Reconstruction error as a function of the numbers of measurements with GCMM of randomly selected partial entries multiply by different random number

图4 随机取出的部分元素乘同一个随机数构造的高斯分布循环测量矩阵的重构相对误差随压缩测量数目的变化Fig.4 Reconstruction error as a function of the numbers of measurements with GCMM of randomly selected partial entries multiply by the same random number

其次，采用不同的测量矩阵对机械振动信号压缩测量值进行恢复并对其效果进行比较。比较的测量矩阵有高斯矩阵、循环矩阵和高斯分布循环矩阵，其中高斯分布循环矩阵是随机取出256个元素乘不同的随机数构造得到的，如图5所示。可以看出，该试验中采用的高斯分布循环矩阵的感知性能略好于高斯随机测量矩阵的性能，整体上基本一致。

最后，分析比较了高斯随机测量矩阵、循环测量矩阵和高斯分布循环测量矩阵所占用的存储量，如表2所示。

从表1和图5可知，三种测量矩阵的重构相对误差随压缩测量数目的整体发展趋势，具体的测量值数目和对应的相对误差如表1所示，当m<268时，相对误差非常大；当m=268时，相对误差就急剧减小，达到了近似精确重构，而m>268时，相对误差会逐渐减少但变化非常小且测量值数目增多带来计算量增大，仿真试验进一步验证了压缩测量重构条件，最终从相对误差和计算量两方面综合考虑得到最优的测量值数目是268。

基于以上的试验结果分析，可以得出，随机取出除第1行的其它剩余M-1行中，每行的256个元素乘不同的随机数构造得到的高斯随机矩阵，其感知性能与高斯随机测量矩阵的感知性能大体一致，且两者占用的存储量也相同，但是，高斯分布循环测量矩阵含有确定性成分，易于硬件实现，这是优于高斯随机测量矩阵的方面；在振动信号重构要求不高的情况下，从计算复杂度、存储量、测量矩阵的硬件实现等方面综合考虑，高斯分布循环测量矩阵的感知性能要优于高斯随机测量矩阵。

表1 相对误差

表2 存储量

4 结 论

本文将高斯序列的优点和循环矩阵的构成原理相结合，提出了高斯循环矩阵的构造方法。高斯循环矩阵不仅集成了循环原理的内在确定性优点，而且利用高斯序列的外在随机性来满足测量矩阵对随机性的要求。循环原理的内在确定性和高斯序列的外在随机性的集成使得所构造的高斯循环矩阵的综合性能优于传统的测量矩阵，高斯循环矩阵与高斯随机矩阵、循环矩阵相比具有诸多优越性，运用在机械振动信号的压缩采集中，具有实际的价值。

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A structured random measurement matrix GCMM for mechanical vibration signals

GUO Junfeng，SHI Jianxu，WEI Xingchun，LEI Chunli

(School of Mechanical and Electronic Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

When the compressed sampling theory is applied in mechanical vibration signal acquisition, the existing random measurement matrix occupies a large storage space, the process of compression acquisition and reconstruction need to handle a large amount of computation problems. Here, Gaussian distribution cycle measurement matrix (GCMM) was proposed by integrating advantages of Gaussian sequences and the circulant theory. Firstly, the first row elements of GCMM were generated with a row vector obeying Gaussian distribution, all the remaining row vectors were generated through circular shift. Then part elements of all rows except the 1st row were taken out, each element was multiplied by the same random number or different ones, they were put back at the original position. Finally, the compressed measurement values of mechanical vibration signals obtained based on GCMM were used to reconstruct the original vibrating signals using the orthogonal matching pursuit algorithm. All the elements of GCMM satisfied he randomness requirements of the measurement matrix, the intrinsic certainty of the circulant principle also met the requirement of hardware implementation of the measurement matrix. Simulation results showed that the perception performance of GCMM is similar to that of Gaussian matrix, but the required storage space of GCMM is less than that of Gaussian matrix.

vibration signal; compressed sampling; Gauss sequence; cycle principle; structured random measurement matrix

国家自然科学基金资助项目(51465034)

2015-09-29 修改稿收到日期： 2016-02-26

郭俊锋 男，博士，副教授，1978年生

施建旭 男，硕士生，1989年生

TP274

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.016