补集思想在数学解题中的妙用

摘 要：用补集思想解题可以使一类在常规解法中应该分类讨论的数学问题避开讨论，从而简化计算步骤，减少盲目性。这样在考场上可以节省时间，争得解题主动权。

关键词：补集思想；分类讨论；反面；妙用

高三的数学复习，不是高一高二数学内容的简单重复，需要在复习过程中进行一些归纳和整理，以便能提升学生的数学解题能力。而分类讨论思想作为学生的一个难点在于既要对事物所包含的所有情况一览无余，还要对题設所容纳的类型全面细致的分析处理。但在一些题目类型中，若能就其题设所容纳的对立面进行思考，可能会带来极大的方便。美国教育心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和便利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路”。补集思想是一种重要的数学思想，补集思想的妙用可以使一类含有“特殊”词语的数学问题得以轻松解决。比如在题设中出现“至少有一个”，“至多有一个”，“不等关系”等类型的题目。我们分析事物的全集时发现题设中所容纳的类型较多，而其对立面容纳的情况较少，此时就应该采用补集思想达到事半功倍的效果。而利用补集思想解题的必要条件是确定事物的全集和题设中所包含的全部类型。因此利用补集思想解题的一般思路是：确定全集，就题设的反面求出结果，将上面所求出的结果取其补集，即为题设条件的正面所要求的结果。

一、补集思想在函数中的妙用

1.题设中含有“至少有一个”的妙用

例1. 若三个方程：至少有一个方程有实数解，试求 的取值范围。

分析：若从方程有实根考虑，则有下列七种可能：（1）①有实数根，②③无实数根；（2）②有实数根，①③无实数根；（3）③有实数根，①②无实数根；（4）①②有实数根，③无实数根；（5）②③有实数根，①无实数根；（6）①③有实数根，②无实数根；（7）①②③均有实数根。这样要解七个不等式组，再求出它们的并集，情况比较复杂， 计算量大且容易出错，确实非常麻烦。如果我们考虑“至少有一个方程有实数根”的反面，即“三个方程都没有实数根”那么在实数为全集的条件下。它们的取值范围恰好互为补集，求出“三个方程都没有实数根”的k的取值范围，取它的补集就是“至少有一个方程有实数根”的k的取值范围，只需解一个不等式组，非常简便。

解：若三个方程都没有实数根，则

易解得：.

因此当时，三个方程都没有实数根。

所以，三个方程至少有一个方程有实数解，k应属于的补集，即k。

归纳：该题的全集是三个方程实数根的情况包含8个基本事件，此题题设含有7个基本事件，其对立面只含有一个基本事件，从而考虑补集是最佳方案。

二、补集思想在概率统计中的妙用

例2. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是 .

解：如果我们按常规方法解此题，我们要分三类来讨论：

（1）只有一人达标其概率为：

+=

（2）有两人达标其概率为：+=

（3）三人都达标其概率为：

三人中至少有一人达标的概率是：0.26+0.46+0.24=0.96

分析：此类解法情况比较复杂，计算量大易出错，确实非常麻烦。如果我们求其反面，再用补集思想来处理就会简单很多。

采用“补集思想”解答如下：

解：“三人中至少有一人达标”的反面是“三人都不达标”，且“三人都不达标”的概率为：

三人中至少有一人达标的概率为：

三、补集思想在解析几何中的妙用

例3. 若椭圆 与连接两点 ， 的线段没有公共点，则a的取值范围为 .

思路一：正面解答

分A， B两点都在椭圆内或 都在椭圆外两种情况考虑。

解：与连接两点，的线段没有公共点。

A， B两点都在椭圆内或A， B都在椭圆外。

当A， B两点都在椭圆内时，则，解得；

当A， B两点都在椭圆外时，则，解得；

实数a的取值范围是：

思路二：运用“补集思想”求解

考虑其反面“有公共点”，则可避免分情况讨论，使问题简化。

解：根据题意，设全集，先求椭圆与线段AB有公共点时a的取值范围，易得线段 的方程为：，，

由方程得：，

求解得：，又，

当椭圆与线段AB没有公共点时，

实数a的取值范围是：

分析：从两种思路的解题过程中，不难看出，运用“补集思想”避免了分类讨论且让运算更简便，出现意想不到的效果。

在高三数学复习教学中，归纳总结出题目中含有“至多”，“至少”，“不等”等这类词语的问题，正面求解比较复杂抽象，往往从问题的反面入手，根据补集思想，从词义反面考虑，对原问题作部分或全部的否定，用这种方法转化问题就可化繁为简，化难为易，从而实现快速而精准的解题。

总之，“补集思想”在数学中有广泛的应用，通常遇到带“至多、至少、不等”的题目或是存在性命题，只要认真审题，抓住问题的本质特征，运用补集思想，注意运用一些基本策略和解题技巧，适当转变思路，尝试用逆向思维对问题进行分析，就可能找到捷径，使问题迎刃而解，往往都能达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]张春杰.知识与能力并重，思想和方法同行[J].中学数学教学参考，2013（11）.

[2]王颂文.也谈补集思想的应用[J].中学数学，2009（9）：26.

作者简介：杨杰（1976- ），女，汉族，学士，云南保山人，职称：中教一级，单位：云南省保山市第一中学，研究方向：数学教育。