基于极值理论下ARMA—GARCH模型的实证研究

庄慧敏

摘要：对2012年1月1日至2016年10月30日的上证综合指数日收益率进行平稳性检验、自相关检验、偏自相关检验和ARCH效应检验，可以建立ARMA-GARCH模型。ARMA-GARCH模型的残差项单独提取，分别建立正态分布和广义的Pareto分布模型，对标准残差进行拟合，并用滚动估计法估计置信水平为95%的VaR值。研究发现：ARMA-GARCH模型可以更好的说明日收益率的波动集聚性，而波动的厚尾性，即残差项用广义的Pareto分布可以更好的拟合，得到95%的置信水平下的VaR值的风险更小。为金融市场的研究提供借鉴。

关键词：ARMA-GARCH模型；VaR；广义Pareto分布；R软件

一、引言

21世纪以来，随着科学技术的不断进步，经济全球化与金融一体化的趋势不断地加快，现代金融理论、金融创新、信息技术等因素在推动全球经济发展的同时，也给金融业带来了巨大挑战。股票市场债务危机的频繁出现、经济危机的不断发生，正在潜移默化的改变着世界的经济格局，特别是世界经济的重心开始逐渐的转向发展中国家，与此同时各国大力提倡金融改革，使得全球金融市场面临巨大的不确定性，金融市场风险日益严重。因此对股票市场和金融风险的研究尤为重要。

自Engle在1982年提出ARCH模型以来，国内外学者对自回归条件异常方差模型进行了大量的扩展性研究，构成了GARCH模型的一个家族体系，主要有GARCH、EGARCH、TGARCH模型等。

基于GARCH模型的VaR估计方法的研究也有很多。So和Yu（2007）对于基于七种GARCH模型的VaR估计方法进行了实证研究，包括RiskMetries模型以及两类长记忆GARCH模型，发现基于GARCH模型的VaR估计比RiskMetries方法得到的VaR估计值具有更好的预测效果。但是基于极值理论下建立ARMA-GARCH模型的研究还很少。因此，本文基于正态分布和极值理论分别对上证综合指数日收益率建立ARMA-GARCH模型，比较两种方法的优劣，为金融市场研究提供借鉴。

二、理论基础

（一）ARMA模型

三、模型建立

本文提取2012年1月1日至2016年10月30日的日收盤价，共1174个数据，数据来源Yahoo财经网。数据处理采用R软件3.3.1。

对日收盘价取对数得到日收益率，即计算公式为：yt=ln（pt）-ln（pt-1）

式中，yt代表第t日的收益率，（pt代表第t日的上证综合收盘指数。

（一）数据检验

1. 平稳性检验

本文采用ADF单位根检验。ADF值小于给定显著性水平下的临界值，说明该时间序列没有单位根，也即是该序列是平稳时间序列。反之，则为非平稳时间序列，需要对其进行差分处理，使序列平稳。

使用R软件对日收益率序列进行单位根检验，其中ADF=-24.7563 ，小于5%显著性水平下的临界值-1.95。表明日收益率时间序列不存在单位根，因此日收益率时间序列是平稳序列。可对其建立ARMA模型。

2. 自相关性检验

Box-Ljung检验法。检验的，明显小于0.05，可以认为日收益率平方序列存在自相关性。即原序列存在ARCH效应。

3. ARCH效应检验

ARCH LM-test检验法。检验的，小于0.05拒绝原假设，所以在5%的显著性水平下，认为日收益率序列具有ARCH效应。

（二）ARMA-GARCH模型的建立

通过R软件中筛选出的最优拟合模型是ARIMA（3，0，2）和GARCH（1，1）。模型系数如图1所示。

1. 模型检验

标准化残差是否存在显著的ARCH效应。

根据Weighted ARCH LM Tests检验结果可知，p-value值明显大于0.05，因此接受原假设，所以在5%的显著性水平下，认为日收益率序列不具有ARCH效应。说明建立的ARMA（3，0，2）GARCH（1，1）模型已捕捉了数据的条件异方差。

2. ARMA-GARCH模型的风险价值VaR

ARMA-GARCH模型共进行了573次回测，实际损失超过VaR估计值的突破事件发生了30次，Actual %是5.2，说明突破事件发生率比设定的概率水平（5%）大，初步判断采用的模型有待改善。Kupiec检验将突破事件发生率与估计VaR值的左尾概率进行比较，如果二者无显著差异，则表示估计出来的VaR值是有效的；如果相差很大，则说明采用的VaR估计模型是不适当的，应拒绝。根据Kupiec检验的P值结果（0.797），不能拒绝原假设，即采用的VaR估计模型是有效的。 Christoffersen检验是来查看突破事件是否独立，主要检验的是在当天已经发生突破的条件下突第二天再发生突破事件的概率是否与当天未发生突破事件、第二天发生突破事件的概率相同，简单来说，Christoffersen检验是来查看突破事件是否会接连发生。根据P值结果（0.539），需要接受Christoffersen检验的原假设：突破事件是独立的。通过以上的回测过程，证明构建的模型是可以接受的、可以用于预测。

3. 基于正态分布下ARMA-GARCH模型的VaR

由于对数收益率乘100，因此当上尾概率τ=0.05时求出的持有期为1天的 VaR为0.037483，当上尾概率τ=0.01时求出的持有期为1天的VaR为0.04856。

由于残差是用正态分布拟合得，导致最后构建的模型不够理想，因此改变残差的拟合分布尤为重要，因此，选择具有广义的Pareto分布对残差进行拟合。

（三）标准残差建立Pareto分布模型

1. 标准残差的独立性检验

标准化残差进行检验是否存在自相关

根据标准化残差进行Weighted Ljung-Box Test检验可知滞后十阶中最小的p-value值为0.5228，明显然大于0.05，接受原假设，即标准化残差进行检验不存在自相關性，因此假定残差是独立的。

2. 标准残差建立Pareto分布模型

标准残差平均超出散点图

由图2中可知，阈值选取2.00（由于对数收益率乘100）比较合适。

在阈值为2.00的情况下用GPD分布拟合日对数收益率得到的诊断检验图

在图3中，左上角为超出量的分布函数图，右上角为残差的散点图，左下角为分布的尾概率估计图，右下方为残差的Q-Q图，从图可以看出，尾概率估计和残差的Q-Q图基本与直线重合，说明选取的阈值为2.00比较合适。

由R软件输出的结果可知标准残差建立Pareto分布模型为：

3. 标准残差基于Pareto分布模型的VaR和ES值

由于对数收益率乘100，因此当上尾概率τ=0.05时求出的持有期为1天的 VaR为0.02385，ES为0.03289，当上尾概率τ=0.01时求出的持有期为1天的VaR为0.03856，ES为0.04668。

四、研究结论

通过正态分布和极值理论分别对上证综合指数日收益率建立ARMA-GARCH模型进行比较得出：基于Pareto分布下ARMA-GARCH模型可以更好的说明日收益率的波动集聚性，而波动的厚尾性，即残差项用广义的Pareto分布可以更好的拟合，得到95%的置信水平下的VaR值的风险更小。置信水平下的VaR可以衡量日收益率的最大损失值。基于极值理论下的ARMA-GARCH模型比基于正态分布更好的说明日收益率的厚尾性，并且对VaR的预测效果更好。为金融市场的研究提供借鉴。

参考文献：

[1]卢文娟.VaR方法在股市风险分析中的实证研究——基于ARMA-GARCH模型[J].西南财经大学，2001（04）.

[2]王德全.ARMA-GARCH模型及VaR方法在我国银行间同业拆借市场中的应用研究[J].系统工程，2009（05）.

[3]蔡立耑.量化投资以R语言为工具[M].电子工业出版社，2016.

[4]许启发，蒋翠侠.R软件及其在金融定量分析中的应用[M].清华大学出版社，2015.

（作者单位：贵州大学经济学院）