工程数学与数学建模思想相融合的实例探索

刘君

【摘 要】大学数学教学改革是现代信息发展的形势所趋，培养应用型人才需从教学内容与方法着手。将数学建模思想和方法融入到工程数学的教学中，可有效提高学生的实际应用能力。

【关键词】工程数学；数学建模；创新教学

0 引言

工程数学是大学工科类专业的基础课程，这门课程不仅为学生解决实际问题提供了方法，也是进一步学习专业课程必不可少的基础课程。广州城建职业学院一直本着为城市建设培养高素质技术技能人才的办学定位，坚持应用型人才的培养模式。近年以来各大高校都在开展高等数学与数学建模相融合的教学模式，这已成为应用型人才培养下，数学教学改革的一种有效途径。

1 学生数学知识能力的初步调查

为更清楚地了解学生的应用能力，笔者以数学应用能力测试的方式，对广州城建职业学院建工造价、会计经管等专业部分学生进行了测试，结果显示学生的数学建模正确率在55%～66%之间，平均得分58.98。

从测试结果来看，学生对数学知识的应用能力还有待提高，因各专业对数学要求不同，导致学生对数学知识的掌握程度不同。这充分说明高职的数学教学需根据不同专业、不同基础制定相应的教学方式。而通过在《工程数学》课程中融入数学建模思想，可有效提高学生对数学知识的应用能力，为后续专业课程的学习打下坚实的数学基础。

2 将数学建模思想融入工程数学课程教学的基本思路

2.1 在工程数学的基本概念、定义的教学时融入建模思想

数学来源于生活，因此在教学中应重视从现实问题到数学概念的抽象过程，引导学生建立书本知识与实际问题的联系。在大学数学教学内容中，涉及到的模型主要有初等函数模型、微分方程模型等.微分方程模型是一种比较常见的数学模型，涉及函数的导数的物理意义，弄清它的意义，对学生利用导数解决诸如边际收入、边际成本、人口增長率、交变电路的电流强度等问题奠定基础。

案例1导数的概念引入。

导数对大部分学生来说并不陌生，但也只是仅限于中学时代的浅显认识，笔者发现大多数学生并不能够了解到导数的“变化率”这个物理意义，个人认为教师在教学过程中可采用“系统讲授”与“数学建模思想”相结合的方式来进行，使学生更为直观地认识到“变化率”。

1）问题引入

切线的研究是一个经典问题，它是导致微分学产生的问题之一。古希腊人通过对圆的切线的认识，将曲线的切线定义为“和曲线只有一个交点的直线”。而近代通过对函数曲线的研究又进一步认识到，曲线切线的确定是一个动态的过程，它是常量数学所不能表述和解决的。只有通过变量数学研究，才能最终解决曲线的切线问题。

2）导数的基本概念—变化率

从运动和极限的观点来看，曲线的切线与其相应的割线之间有着密切的联系，曲线的切线可定义为割线运动的极限，即k切=lim（Δy/Δx）=y′。

由上式可知，函数的导数可以看作是函数值随自变量发生变化的“速度”，即函数相对于自变量的变化率.因此在解决有关“变化率”的实际问题时，可以利用一阶导数建立微分方程数学模型，比如人口增长模型，传染病的传播模型、边际成本、边际收益等。

2.2 教学案例既要贴近生活，又需紧密结合教学内容

结合学生数学基础，在学生对导数有基本认识之后，可针对导数应用问题，设计某些实际应用案例，达到融入数学建模思想和方法的目的。

案例2某基地种植青椒，如何合理安排最佳出售时机，才能使收益最佳？请你由往年市场行情数据，试解决如下问题：1）构建市场价格与时间的数学模型；2）构建青椒种植成本与时间的数学模型；3）何时出售纯收益最佳？

学生通过进行市场调查、网络搜索等方法搜集相关数据（略），并通过数据对应的离散图可以看出，种植成本先降后升，符合二次函数模型；而价格与时间关系符合分段函数模型。

教师协助学生通过SPSS软件进行回归拟合，得到成本、售价与时间t的数学模型：

种植成本C与时间t的函数关系为：Q=（1/200）（t-150）2+100，（0

售价P与时间t的函数关系为：P=360-t（0

由上述模型可以看出，种植成本在150天时达到最小，而售价在200天达到最低，这是因为前50天种植成本低，使得市场的青椒供过于求而降价。

纯收益=收益-成本，故收上述模型，可建立关于纯收益的数学模型：

L=P-（1/200）（210-P）2-100（0

L=P-（1/200）（30+P/2）2-100（200

本案例从实际生活出发，数据由学生分组调查收集，使得问题变得更为灵活，学生查到的数据不同，所建立的模型也会有所不同，这无形之中增加了学生的学习数学的兴趣和信心，让学生真实体会到数学建模思想，培养学生的创新思维能力。

2.3 深层探讨相关专题模型

在学生对导数基本概念有一定了解的基础之上，可对相关“变化率”的数学模型进一步深入推广，如成本函数、收益函数等系列变化率模型，使学生能够更深层次地了解到边际成本、边际收益即为自变量增加一个单位时，相应的函数值增加量，亦即函数随自变量发生变化的速度。而针对建工专业可介绍并深入探讨有关人口增长率的数学模型，使学生能够更深层次地认识到函数变化率的用途。

案例3 关于人口增长的数学模型。

马氏模型的特点是设定人口的年增长率为常数r。若人口总数为时间t的函数x（t），则由函数导数的物理意义可知，人口数量函数x（t）的一阶导数，就是人口数量一年的增长量rx（t），即x′（t）=rx（t），解得x（t）=x0er（t-t0）。

从该模型可以看出，在年增长率为常数不变的情况下，人口数量确实是以指数增长的。

1961年世界人口总数约为3.06*109，而在此之前10年的人口增长率大约为2%，如果用1961年的人口数据，通过上述表达式，计算可得x（t）=3.06*109e0.02（t-1961）。

上述模型能够较为准确地预测和反映1700-1961年间的世界人口数量。但当时间跨度较大时，误差就会比较大，如t=2510时，x=2*1014（2万亿），说明该模型对长期人口预测是不准确的，应当给予修正。马氏模型之所以在预测长期人口总数时出现错误，其原因主要还是实际人口增长率并不是常数，它会随着人口的增加而逐渐减少，那么应该如何进一步改进呢？

若环境人口的最大容量为xm，而人口增长率改为r=r*（1-x（t）/xm），即可得到经典的阻滞型人口增长数学模型x′（t）=r（1-x（t）/xm）x（t），x（t0）=x0，解得：x（t）=xm/[1+（xm/x0-1）e-r（t-t0）]。

20世纪初专家们曾用该模型预测了美国的人口总数量，而计算结果与1930年之前的美国人口数据基本相吻合，但后来的误差越来越大，那么该模型该如何改进？留给学生课后思考。

3 结束语

广州城建职业学院在数学建模竞赛的推动下，工程数学课程的教学改革也有了较大的进展，而把数学建模思想融入到工程数学课程的教学之中，也是一种推动数学教学改革的有效途径，达到以赛促教，竞赛与教学相辅相成，从而能够使教学改革取得较好的成效。

【参考文献】

[1]杨启帆，边馥萍.数学建模[M].杭州：浙江大学出版社，1990.

[2]同济大学数学教研室.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[责任编辑：田吉捷]