基于“过程”理念的教学设计有效性的实践与反思

张炜

[摘 要] 笔者结合浙教版九年级上册“3.7正多边形”概念的形成、概念的内涵，重点的掌握、难点的突破等数学概念知识的形成、理解、掌握和运用四个关键环节，浅谈“过程”理念在教学设计有效性中的实践与探索，以期抛砖引玉.

[关键词] 教学设计；课堂有效性；过程理念

在寻觅数学的过程中落实数学

概念的发现

爱因斯坦曾说：提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步. 为此，笔者在浙教版九年级上册“3.7正多边形”（以下简称3.7节），让学生在寻常物体中发现数学，寻找正多边形出现的“倩影”. 在经历正多边形的发现过程中，体会概念学习的意义. 具体操作如下.

师：同学们，听了孙楠的《五星红旗》，我们黑板上方悬挂的五星红旗漂亮吗？

生（齐）：漂亮.

师：是的，这是我们中国人的骄傲. 从数学图形的眼光看，五星红旗中的美在于五角星的结构，大家看，如果把它设计成这样可以吗？（见图1）

生纷纷抢答，形成共识：红旗上的五角星（图1的左侧）看起来比较正，显得神圣、庄严，不能更改.

师：同学们说得很好. 看来，数学图形包含了丰富的蕴意. 用数学的眼光看，五角星（图1）是从一种五边形（图2）中产生的，（幻灯片显示正五角星）五角星上的五边形有何特殊性呢？（提示：可以从五边形的边、角方面进行描述）

设计意图 从现象到本质，从外观到抽象，用数学的眼光看世界. 从图形的比较、归纳、概括中形成概念，从特殊到一般.

生1：我发现它的边和角（内角）都相等.

师：这个同学指出了这种多边形的主要特征，你们认为应该怎样称呼呢？

生（齐）：叫正多边形.

师：你们在身边还能找到哪些类似的正多边形呢？以小组为单位，比比谁的发现多，并指出判断的依据.

设计意图 从抽象回归现实，从特殊到一般，学生在做中学. 笔者在巡视小组活动中发现，平时一些不爱举手的同学也活跃起来. 正多边形的概念及学习意义来源于“鲜活”的实例，直观、具体. 这样的数学活动，学生参与度高，寓教于乐.

在自我体验的过程中享受中国

文化的内涵

师：你们觉得“正”字有怎样的文化内涵？请大家把昨天自己的预习成果展示一下，请小组代表发言.

生2：我们从字典中了解到“正”字的含义如下……

生3：我们是从网上查询到的内容……

生4：我们是从图书馆查阅的知识小百科……

老师将同学们的自学成果汇总如下，并一起朗读一遍（投影显示）.

正：中国汉字，多音字，读作zhèng或者zhēng，表示不同的意思，常用读音为zhèng，意思是不偏斜，平正，它象征着正气、庄严、神圣.

师：下面请大家欣赏老师搜集的一些含有“正”字形的图案（见图3）

设计意图 现在的数学课堂提到数学文化，就是课本里固有的几个“单薄”的几何定理：勾股定理、平方差公式的图形解释. 在很多师生的心目中，数学就是枯燥的代名词，数字和字母很抽象，在他们的心目中，数学的美、数学文化永远望尘莫及. 我国已故数学大师陈省身先生曾说过：数学有趣、数学好玩、数学很美. 细想，你不让学生真正动起来，凡事都自己包揽，怎么会将数学冰冷的美丽化成火热的思考呢？法国著名雕塑家奥古斯特·罗丹指出，这世界并不缺少美，而是缺少发现美的眼睛. 学生通过各种渠道进行查阅，各边相等、各角相等的多边形概念的抽象化成了学生自主学习的过程，拓展了正多边形概念的视野，形成了学生对中国数学文化的内心震撼. 汉字只用一个简单的“正”字就囊括了这种图形的丰富内涵，这不就是中国数学文化的魅力吗？

在动手实践过程中探究知识的 重点

3.7节的重点是发现和掌握正多边形的内角公式，以及根据内角公式结合正多边形的外接圆确定相应的正多边形. 如果学生认识了正多边形的概念马上进入内角公式的学习，未尝不可，但会让学生有突兀之感. 为什么学正多边形的内角公式呢？为了让学生心悦诚服地接受内角定理的出现，笔者做了如下整合.

师：正多边形在生活中如此丰富，你能画出哪些正多边形？并介绍画法.

（为了便于比较，假设正多边形的边长选定为4 cm）给学生作图的时间（3～5分钟）

设计意图 教师改变一味灌输的做法，把思考的时间和空间还给学生，给学生参与问题解决的过程. 教师改变“过程短暂”的做法，新课程倡导教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，教师在巡视中发现学生的困难之处，因材施教.

师：我发现多数同学拿着笔束手无策，你们为什么感到困难呢？

生5：老師，我想画正五边形，但不知道正五边形的内角是多少.

师（面向其他同学）：你们的困惑一样吗？

生（齐）：是的，不知道正多边形的内角的大小.

师：每个正多边形根据边长都不好画吗？

生6：老师，我们组发现，等边三角形可以画三边相等实现，正方形可以借助三角板本身有直角便于操作. 正三角形和正方形根据边长的条件容易画图，但是从正五边形开始就不好画了. （见图4）

师：看来，从正五边形开始，正多边形画图中除了考虑边的因素，内角的大小也是关键. 每个正多边形的内角的大小是多少呢？有何规律呢？

设计意图 从动手画到动手算，从学生的活动实践过程中认识到内角公式的必然性. 著名作家肖川在《教育的理想与信念》一书中说：“当我们学会用等待的心情看待学生时，我们就会对学生少一点苛责、少一点失望、少一点冷漠，而多一份理解、多一份信心、多一份亲切. ”新课程倡导教师“用教材而不是简单地‘教教材”. 教师要创造性地使用教材，要在使用教材的过程中融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重组和整合，要选取更好的内容对教材进行深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课堂，要充分有效地将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识，既要有能力把问题简明地阐述清楚，也要有能力引导学生探索、自主学习.

在愤悱的反思过程中突破难点

教学参考中指出，3.7节的难点是正六边形的尺规作图思路，它只是为我们的教学设计提供了一定的参考依据，但是教材的难点还需要结合具体学情，难点是教学设计动态的产物. 由于学生不同，难点的确定也需要与时俱进. 在3.7这一节中，笔者通过课前预习调查的反馈，发现学生最大的困惑是前面几节都是圆的直接性有关概念，如圆心角、圆周角、圆内接四边形等，都与圆“结缘”. 而到了正多边形，从标题上丝毫与圆“无缘”. 所以，在正多边形的内角学习之后，马上就抛出正多边形的外接圆，这便成为学生学习的难点. 如何穿针引线、实现知识的有效衔接？如何给学生设计一个清晰的知识脉络，实现课堂的和谐？笔者把正多边形外接圆的形成过程作为作图的探究点，在形成思维多样性的同时，形成正多邊形的必要性，具体如下.

设计意图 建构主义认为，学生不是被动的信息接受者，学习不是知识由教师到学生的简单转移或传递，而是在师生共同的活动中，教师通过提供帮助和支持，使学生主动地建构知识经验，这种建构是任何人都不能代替的. 知识的意义不是简单地由外部信息决定的，而是在学习过程中，通过新旧知识经验反复地、双向地相互作用建构获得的. 每一个学习者都是在自己原有的经验系统基础上对新信息进行编码，建构自己对信息意义的理解，而且原有的知识经验会和新的信息相互作用，其本身也会产生调整和改变.

过程观的教后反思

教学设计有效性应遵循教学“以学定教”的三个要素：学什么？为什么学？怎样学？数学作为一门科学，来源于生活又服务于生活. 只有将数学融入生活，学生才会将数学冰冷的美丽化成火热的思考. 本节课的教学设计，素材简单、朴素，注重学生的现实生活，素材来源于草根性，具有“本土化”的特色.

本节课的教学设计主线自然、连贯. 首先，采用从学生熟知的国旗上的五角星发现“正”字的含义，体会生活中处处有数学，数学离不开生活，体会“正”字图形的现实意义；其次，从国旗上的五角星发现正五边形的必要性，根据五边形与多边形的联系，揭示正多边形的概念，这从特殊到一般的思考过程. 再用正五边形类比其他正多边形，从而体会正多边形的概念. 另外，注重学生的直接经验，根据学生对五角星的直观认识，挖掘五角星的正多边形背景，结合多边形学生已有的认知，从正五边形延伸到对其他正多边形的比较、思考，以学生的直接经验——国旗上的“正”字图形的起源认识为主线，经历正五角星到正五边形直接经验的铺垫，从而为认识正多边形概念的间接经验的获得提供认识基础. 通过如何辨识正多边形，引出正多边形的概念，从如何画正多边形产生正多边形的性质，从如何创造正多边形的数学美引出正多边形的外接圆概念，环环相扣，奇趣横生，学生学得轻松，教学设计的结构夯实自然.

新课标指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学，在教学设计中，每个环节都要体现数学作为科学的本质，教学设计要有“数学味”. 本节课的教学设计充分挖掘了数学的科学性，主要有三个关键词：识、做、联. 识，从众多的生活素材认识、辨析正多边形，从而形成正多边形的学习意义的过程；做，就是让学生的学习成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；联，就是给学习方式赋予时代的气息，具有足够的时间和空间经历观察、实验、联想、猜测、计算、推理、验证等多维度的活动过程，改变教师一味灌输、学生成为知识容器的机械记忆的教学设计过程.

孔子在《论语》中指出：“不愤不启，不悱不发，举一隅，不以三隅反，则不复也. ”其强调教师启发式的教学设计要结合学生的“最近发展区”，符合学生的认知规律. 3.7节中的导入设计这一环节，教材提供了关于正六边形的图案素材作为引例，如果不考虑学生的实情，教师照本宣科，似乎也说得过去. 但目前的学生多数是教室、食堂、家庭三点一线，即使双休日休息了，也对身边的生活素材接触不多. 笔者认为，在教学导入设计中采用国旗中的五角星作为引例，可以兼顾学生学习经历的真实性，促进教学设计的社会价值和育人价值. 学生对于五角星耳熟能详，又在教室里，既生动又具体. 这里的情感教育甚至爱国教育又都在学生课堂上的听说读写中“流淌”，既经济，又实惠.

建构主义认为，学生的学习有效性需要事实上的感知，不是空洞的说教本节课. 通过国旗中的五角星感知“正”的图形意义的过程，联系正五角星存在于正五边形中，根据五边形是多边形的一个具体写照的过程，类比其他正多边形（如正三角形、正方形、正六边形等），认识正多边形的现实意义，通过众多具体形象的归纳，概括正多边形特征的过程，给出概念，符合数学认识的规律，具有合理的启发式效果.

数学思想方法的学习不能是简单抽象的结果，而是润物细无声的渗透过程. 本节课的数学思想方法内容丰富. 从特殊到一般，从归纳到抽象概括形成概念，这些都在学生的观察、实验、猜想、推理、归纳、验证等科学的操作过程中实现，不是简单地告知.

目前，教学设计中存在急功近利、不切实际的现象. 要么把数学教学设计简单认为数学完全是数字和图形符号的数学抽象，忽视数学与中国文化的结合，要么过分夸大国外数学的成果，忽视数学在中国发展历史上的渊源. 说起中国数学，好像就只有勾股定理和九章算术. 教师不学习数学史尤其是中国的数学史，学生只知道勾股定理，忽视了数学知识的中国特色，以及数学知识的与时俱进. 数学文化育人价值的中国味不可小觑.

3.7节结合过程观在教学设计上没有只停留在认识几个正多边形的概念、会画几个正多边形的图案、会算几个正多边形的内角的过程，而是放眼在深刻挖掘教材的设计意图上，培养学生体会图形中所彰显的数学文化底蕴的过程. 首先，通过学生课前的自主预习，主动探究“正”字的数学文化内涵. 通过中国古代艺术品到现代文明的红旗设计以及通过图片欣赏古代数学文化的传承，感受中国人用正多边形表达思想感情、追求美好生活、创造美好生活中国味的数学文化，通过课下正多边形的数学设计作业，让学生感受美、创造美.

古人云：“授之以鱼，不如授之以渔. ”目前课堂教学中存在不良倾向，即盲目追求课堂的容量和深度，有专家已经指出：这样的教学过程其实缺乏真正的“过程”，属于天上掉下一个“林妹妹”的现象. 本节课的教学设计注重过程，注重数学方法的层次性和多样性，结合过程教育，立足实现学生不仅知其然，更知其所以然.

新課标中指出：重要的数学概念和数学思想要体现螺旋上升的原则. 教学设计应具备全局的特色，层次性上要求教学过程由浅入深，因材施教. 本节课的教学设计从学生熟知的场景入手，让学生经历知识的形成过程、知识的理解和运用过程，强调了以学生的认知为主线（基础知识和基本技能），通过层次性的数学活动实现蕴含在知识中的数学思想方法的体会与理解，并形成问题解决的经验的过程. 第一个层次，先观察红旗中的五角星，从正五角星找到正五边形的缩影，认识正多边形的必要性，基础差的同学也对此感兴趣. 在这个层次中，落实了正多边形从直观感性认识到抽象概念的辨析与思考，提升了学生对含有“正”的图形的认识，感受了中华民族文化的博大精深. 第二个层次，通过等边三角形、正方形、正五边形等作图认识到正多边形一个内角的计算公式为，感受正多边形产生从定性到定量的过程，这也是正多边形自身的实现方式，体现了思维的直接. 第三个层次，利用学生学过的圆内接正三角形、正方形等认知，猜想如何利用圆确定正多边形，实现思维的多样性，思考的层次性由直接到间接，从而产生圆内接正多边形的概念，并且从内接正多边形欣赏正多边形构造的美丽图案，到体会正多边形的数形结合思想. 第四个层次，从圆的角度产生正多边形也可以用五角星认识到中国五角星的美丽、正多边形的魅力. 通过多样性增强课堂教学设计的合理性. 首先，从视觉的感官中认识正多边形的存在性和学习的必要性；其次，以正多边形的作图为主线，通过一系列动手操作，从直观性的视觉到理论上的探究，从抽象的概念认识转化为具体的数据来衡量，又从形到数、从抽象到具体的操作过程，通过一些具体的正多边形作图操作，从直接多边形到辅助圆产生正多边形，体会从一般到特殊，从直接到转化的操作过程……认识到正多边形产生的多样性和数学的和谐美，认识到正多边形创造生活多样性美.

理念决定行动，正确的教学理念产生合理有效的教学行为，引领正确的教学设计. 新课程标准中的“过程观”是我们教学设计的航标，细读课程基本理念、仔细对照教材、认真落实过程，才会真正落实课堂教学有效性，我们的课堂有效性才能不成为一句空话.